Espais de probabilitat i condicionament: axiomes, independència i Bayes

A batxillerat la probabilitat es fa comptant casos favorables entre casos possibles. A la universitat això es converteix en un cas particular molt concret, i el que passa a primer pla és una altra cosa: construir el model abans de calcular. La majoria dels errors de probabilitat no són errors aritmètics, sinó models mal plantejats — suposar equiprobabilitat quan no n'hi ha, tractar com a independents coses que no ho són, o intercanviar els dos costats d'un condicionament.

Els axiomes i el que se'n dedueix

Un espai de probabilitat és una terna: el conjunt $\Omega$ de tots els resultats possibles, una família $\mathcal{F}$ de successos (tècnicament una $\sigma$-àlgebra: conté $\Omega$, és estable per complementari i per unions numerables) i una mesura $\mathbb{P}$ amb $\mathbb{P}(\Omega) = 1$, no negativa i additiva sobre successos disjunts.

Sembla abstracte, però tot el que fas servir cada dia en surt en dues línies. Del complementari: $\mathbb{P}(A^{c}) = 1 - \mathbb{P}(A)$, i en particular el succés impossible té probabilitat zero. De l'additivitat aplicada a una descomposició en trossos disjunts:

$$\mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A\cap B),$$

on el terme que es resta és exactament la part que s'havia comptat dues vegades. I si una successió de successos creix cap a un límit, les probabilitats hi convergeixen, cosa que es demostra partint la unió en increments disjunts.

Probabilitat condicionada

Per a un succés $B$ amb probabilitat positiva,

$$\mathbb{P}(A\mid B) = \frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}.$$

La lectura correcta és que condicionar redefineix l'univers: passes a treballar dins de $B$ i renormalitzes perquè la probabilitat total torni a ser $1$. No és una probabilitat diferent d'un succés diferent, és la mateixa probabilitat mirada des d'un altre univers.

Reordenant la definició surt la regla del producte, $\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A\mid B)\mathbb{P}(B)$, que és molt més útil del que sembla perquè s'encadena: la probabilitat de tres coses és la de la primera, per la de la segona donada la primera, per la de la tercera donades les dues anteriors. Així es resolen els problemes d'extraccions successives sense reemplaçament.

Independència: el matís que cau a l'examen

Dos successos són independents quan $\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$. Dues confusions sistemàtiques:

• Independent no és incompatible. Si dos successos tenen probabilitat positiva i són incompatibles, aleshores $\mathbb{P}(A\cap B) = 0$ però el producte no ho és: són tan dependents com poden arribar a ser, perquè saber que ha passat un et diu amb certesa que l'altre no.
• Independència mútua no és independència dos a dos. Per a una família, la definició exigeix que la factorització es compleixi per a totes les subfamílies finites, no només per a les parelles.

Probabilitat total i Bayes

Si els successos $B_1, B_2, \ldots$ formen una partició de $\Omega$ amb probabilitats positives, qualsevol succés $A$ es trenca en trossos disjunts i

$$\mathbb{P}(A) = \sum_i \mathbb{P}(A\mid B_i)\,\mathbb{P}(B_i).$$

Això és simplement l'additivitat combinada amb la regla del producte, i és l'eina per calcular probabilitats de coses que passen «per diversos camins». El teorema de Bayes inverteix el condicionament:

$$\mathbb{P}(B_j\mid A) = \frac{\mathbb{P}(A\mid B_j)\,\mathbb{P}(B_j)}{\sum_i \mathbb{P}(A\mid B_i)\,\mathbb{P}(B_i)}.$$

El numerador és la versemblança per la probabilitat prèvia, i el denominador és simplement la probabilitat total de l'evidència, que fa de normalització. Bayes no és una fórmula nova: és la definició de condicionada escrita dues vegades.

Una manera de no equivocar-se

Exercici resolt: extraccions sense reemplaçament

Una urna conté tres boles vermelles i dues blaves. Quina és la probabilitat de treure'n dues de vermelles seguides, sense reposar?

Amb la regla del producte, encadenant els dos condicionaments:

$$\mathbb{P}(V_1\cap V_2) = \mathbb{P}(V_1)\,\mathbb{P}(V_2\mid V_1) = \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4} = \frac{3}{10}.$$

La segona fracció és $2/4$ i no $3/5$ precisament perquè no hi ha reemplaçament: després de treure una vermella queden dues vermelles de quatre boles. Les dues extraccions no són independents.

Es pot comprovar comptant conjunts: de les $\binom{5}{2} = 10$ parelles possibles, $\binom{3}{2} = 3$ són de dues vermelles, i $3/10$ coincideix.

Exercici resolt: un test mèdic

Una malaltia afecta l'$1\%$ de la població. Un test dona positiu al $99\%$ dels malalts i també al $5\%$ dels sans. Si et surt positiu, quina probabilitat tens d'estar malalt?

Probabilitat total del positiu:

$$\mathbb{P}(+) = 0{,}01\cdot 0{,}99 + 0{,}99\cdot 0{,}05 = 0{,}0099 + 0{,}0495 = 0{,}0594.$$

Bayes:

$$\mathbb{P}(M\mid +) = \frac{0{,}0099}{0{,}0594} \approx 0{,}167.$$

Només un $16{,}7\%$, tot i que el test «encerta el $99\%$ de les vegades». El motiu és que els sans són tantíssims més que els malalts que el $5\%$ de falsos positius genera cinc vegades més positius que els vertaders. Aquesta és la raó per la qual els cribratges de malalties rares es confirmen sempre amb una segona prova.

El pas següent és deixar de parlar de successos i començar a parlar de variables aleatòries, que és el llenguatge en què es fa tota la resta.