Inequacions: resoldre desigualtats i escriure el conjunt de solucions

Una inequació es resol gairebé igual que una equació, amb una diferència que no es pot oblidar i un canvi important en la resposta: la solució no és un número, és un conjunt.

El que has de dominar abans: equacions de primer grau, regles de signes i intervals.

Les operacions permeses i la que canvia el sentit

Sumar o restar la mateixa quantitat als dos membres conserva el sentit de la desigualtat.

Multiplicar o dividir per un número positiu també el conserva.

Multiplicar o dividir per un número negatiu l'inverteix.

Per què. Multiplicar per un negatiu capgira l'ordre dels nombres a la recta. Mira-ho:

$$2 < 5 \qquad\text{però}\qquad -2 > -5.$$

El $-2$ està més a la dreta que el $-5$, de manera que és més gran. En multiplicar per $-1$, l'ordre s'ha invertit, i per això el símbol també ha de girar.

La solució és un interval

La resposta a una inequació de primer grau és normalment un interval, i s'ha d'escriure com a tal:

$$x > -2 \qquad\text{és}\qquad (-2, +\infty).$$

Els extrems s'inclouen amb $\leq$ i $\geq$, i s'escriuen amb claudàtor. S'exclouen amb $<$ i $>$, i s'escriuen amb parèntesi. L'infinit mai no s'inclou, de manera que sempre va amb parèntesi.

Donar només el punt frontera (dir «$x = -2$») no descriu el conjunt de solucions: descriu un únic valor que, de fet, en aquest cas ni tan sols hi pertany.

Sistemes d'inequacions

Quan es demanen dues condicions alhora, la solució és la intersecció dels dos conjunts: els valors que compleixen les dues.

Es resol cada inequació per separat, es dibuixen els dos conjunts a la mateixa recta i es mira on se superposen. Si no se superposen enlloc, no hi ha solució.

Inequacions de segon grau: estudi de signes

Si la inequació es pot factoritzar, el camí és:

1. Troba els zeros de cada factor.
2. Divideix la recta en els intervals que determinen.
3. Mira el signe de cada factor a cada interval i multiplica'ls.
4. Tria els intervals amb el signe que et demanen.

I una advertència: no multipliquis mai per una expressió de signe desconegut sense separar casos, perquè no saps si el sentit es conserva o s'inverteix.

Exercici resolt: inequació amb extrem inclòs

Resol $5x - 4 \leq 11$.

Suma $4$ als dos membres.

$$5x \leq 15.$$

Divideix per $5$. És positiu, de manera que el sentit es manté:

$$x \leq 3.$$

Conjunt de solucions.

$$x \in (-\infty, 3].$$

Comprovació a l'extrem. A $x=3$: $15 - 4 = 11$, i $11 \leq 11$ és cert. L'extrem s'inclou, i per això el claudàtor és tancat.

Comprovació amb un valor interior. A $x = 0$: $-4 \leq 11$ ✓

Comprovació amb un valor de fora. A $x = 4$: $16 \leq 11$ és fals ✓

El detall que diferencia aquest exercici de l'anterior. Aquí el divisor era positiu i el símbol no gira. Mirar el signe del número pel qual divideixes, cada vegada, és l'única precaució que demana tot el tema.

Exercici resolt: inequació de segon grau amb estudi de signes

Resol $(x-1)(x-4) \leq 0$.

Pas 1 — troba els zeros dels factors.

$$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1, \qquad x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4.$$

Pas 2 — divideix la recta en tres intervals: $(-\infty, 1)$, $(1, 4)$ i $(4, +\infty)$.

Pas 3 — estudia el signe de cada factor a cada interval. Prenem un valor de prova de cada tram:

Interval	$x-1$	$x-4$	Producte
$x = 0$	$-$	$-$	$+$
$x = 2$	$+$	$-$	$-$
$x = 5$	$+$	$+$	$+$

Pas 4 — tria el que et demanen. Volem que el producte sigui menor o igual que zero, és a dir negatiu o nul. L'únic interval amb producte negatiu és el del mig.

Pas 5 — decideix els extrems. Com que la inequació és $\leq$, els valors que fan el producte igual a zero també hi entren, i aquests són precisament $x=1$ i $x=4$.

$$x \in [1, 4].$$

Comprovació.

• $x = 2$ (dins): $(1)(-2) = -2 \leq 0$ ✓
• $x = 1$ (extrem): $(0)(-3) = 0 \leq 0$ ✓
• $x = 4$ (extrem): $(3)(0) = 0 \leq 0$ ✓
• $x = 0$ (fora): $(-1)(-4) = 4 \leq 0$ fals ✓

Per què no es pot resoldre «dividint». La temptació seria dividir els dos membres per $x-1$, però no es coneix el signe de $x-1$: és negatiu si $x<1$ i positiu si $x>1$. Dividir per una expressió de signe desconegut obligaria a separar casos, i l'estudi de signes és precisament la manera ordenada de fer-ho tot de cop.

Una comprovació de coherència. El producte de dos factors és negatiu quan tenen signes contraris, i això només pot passar entre els dos zeros. Que la solució hagi sortit l'interval central no és casualitat: amb un producte de dos factors lineals i el coeficient principal positiu, sempre és així.

On ho faràs servir

Les inequacions són l'eina de tots els problemes amb restriccions: pressupostos màxims, capacitats mínimes, marges de tolerància, condicions de seguretat. Sempre que un enunciat diu «com a màxim», «almenys» o «no més de», la traducció és una inequació i no una equació.

Al bloc de funcions, l'estudi de signes és el que et dirà on una gràfica està per damunt o per sota de l'eix, i a batxillerat és el mètode per determinar el domini d'una funció amb arrels i per estudiar on creix o decreix una funció a partir del signe de la derivada.

I la idea que una resposta pot ser un conjunt, i no un número, és un dels salts conceptuals importants del curs. Val la pena acostumar-s'hi ara: escriure l'interval complet, amb els extrems ben decidits, és el que es puntua.