Repte del bloc: una recepta per a tot el grup

Els temes d'aquest bloc s'han treballat per separat, i als problemes reals no venen separats. Aquesta situació ajunta fraccions, proporcionalitat, divisió entera i aproximació en un sol enunciat, i cada apartat necessita una eina diferent.

El que has de dominar abans: tot el bloc de nombres i càlcul, especialment fraccions i aproximacions.

La situació

Una recepta per a 6 persones necessita $\dfrac34$ kg de farina i $\dfrac25$ L de llet. Es prepara per a 15 persones. La farina es ven en paquets d'1 kg.

1. Calcula les quantitats exactes de farina i de llet.

2. Quants paquets de farina s'han de comprar i quanta en sobrarà?

3. Si només es vol un decimal per a la farina, quina aproximació s'obté i quin error absolut introdueix?

Com s'aborda una situació com aquesta

Identifica el model abans de calcular. Les quantitats d'ingredients són proporcionals al nombre de persones: doblar els comensals dobla la farina. Per tant es pot fer servir un factor d'escala.

Separa el que és exacte del que és pràctic. L'apartat 1 demana un resultat exacte, i això vol dir fraccions. L'apartat 2 demana un nombre de paquets, que ha de ser enter. L'apartat 3 demana una aproximació i el seu error. Són tres tipus de resposta diferents, i confondre'ls és l'error central del problema.

Comprova el sentit a cada pas. Quinze persones són dues vegades i mitja sis persones, de manera que totes les quantitats han de créixer en aquesta proporció.

Apartat 3: l'aproximació i el seu error

L'aproximació a un decimal. El valor exacte és $1{,}875$ kg. La primera xifra que s'elimina és el $7$, que és $\geq 5$, de manera que es puja la xifra anterior:

$$1{,}875 \approx 1{,}9 \ \text{kg}.$$

L'error absolut.

$$E_a = |1{,}875 - 1{,}9| = 0{,}025 \ \text{kg} = 25 \ \text{g}.$$

L'error relatiu, que és el que diu si l'aproximació és bona:

$$E_r = \frac{0{,}025}{1{,}875} \approx 0{,}0133 = 1{,}33\,\%.$$

Interpretació. Un error de $25$ grams sobre gairebé dos quilos de farina és poc més d'un $1\,\%$: per a una recepta, perfectament acceptable. Si en comptes de farina fossin $25$ grams de llevat sobre $5$ grams necessaris, el mateix error absolut seria catastròfic. És l'error relatiu el que informa, no l'absolut.

Comprovació del sentit del signe. L'aproximació ($1{,}9$) és més gran que el valor exacte ($1{,}875$), de manera que arrodonint es compra una mica de més. Per a un ingredient que s'ha de cobrir, equivocar-se per excés és menys greu que per defecte.

I si s'hagués truncat. $1{,}875$ truncat a un decimal és $1{,}8$, amb error absolut $0{,}075$ kg: tres vegades més gran. És el que deia el tema d'aproximacions: arrodonir sempre dona un error com a màxim la meitat del que dona truncar.

Extensió: i si fossin 20 persones?

Refés tot el problema per a $20$ persones, i mira quines respostes canvien de naturalesa.

El factor d'escala.

$$k = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}.$$

Aquí ja apareix una diferència important: $\frac{10}{3}$ no és un decimal exacte, és $3{,}333\ldots$ periòdic.

Les quantitats exactes.

$$\text{farina: } \frac34\cdot\frac{10}{3} = \frac{30}{12} = \frac52 = 2{,}5 \ \text{kg},$$$$\text{llet: } \frac25\cdot\frac{10}{3} = \frac{20}{15} = \frac43 \ \text{L}.$$

Fixa't en el que ha passat. La farina surt un decimal exacte ($2{,}5$) perquè la fracció es simplifica i queda denominador $2$. La llet, en canvi, queda $\frac43 = 1{,}333\ldots$, un periòdic: el denominador $3$ no es pot convertir en potència de deu.

Aquí es veu per què convé treballar amb fraccions. La resposta exacta de la llet és $\frac43$ L. Qualsevol decimal que escrivis ($1{,}3$, $1{,}33$, $1{,}3333$) és una aproximació amb el seu error. Amb la fracció no hi ha cap pèrdua.

Els paquets de farina. Calen $2{,}5$ kg, de manera que es compren 3 paquets i sobren $0{,}5$ kg.

Comprovació del criteri. Aquí l'arrodoniment habitual de $2{,}5$ seria ambigu (just al mig), i el criteri de «cobrir la quantitat» el resol sense dubtes: 3.

La llet, en pràctica. $\frac43$ L són $1{,}333\ldots$ L, és a dir uns 1.333 mL. Amb ampolles d'un litre en caldrien 2, i sobrarien $\frac23$ L.

Què mostra aquesta extensió. Que canviar un número de l'enunciat pot canviar el tipus de resultat: amb $15$ persones tot sortia exacte en decimal, i amb $20$ apareix un periòdic. Per això el criteri no és «quin decimal escric» sinó «quina és la resposta exacta i quan convé aproximar-la».

Què s'ha fet servir de cada tema

Aquesta situació toca cinc temes del bloc, i val la pena veure-ho explícit:

Fraccions (temes 4 a 6): el producte de fraccions per escalar la recepta, i la resta de fraccions per calcular el que sobra.

Decimals i fraccions generatrius (tema 7): decidir si una fracció dona decimal exacte o periòdic, que és el que determina si es pot escriure sense pèrdua.

Aproximacions i errors (tema 10): l'arrodoniment a un decimal, l'error absolut i l'error relatiu com a mesura de si l'aproximació és acceptable.

Divisibilitat (tema 3), de manera indirecta: la simplificació de les fraccions i el criteri del denominador surten de la descomposició en factors primers.

Proporcionalitat, que és el bloc següent: el factor d'escala $k$ és la constant de proporcionalitat, i el model «quantitat proporcional al nombre de persones» és el que justifica tot el càlcul.

La idea transversal, i la que val més la pena endur-se'n: en un problema real, la part difícil no és calcular sinó decidir quin tipus de resposta es demana. Una quantitat exacta, un recompte enter i una aproximació amb el seu error són tres coses diferents, i la mateixa situació te les pot demanar totes tres en apartats consecutius.