Exercicis de mètodes d'integració

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = e^{x}\,dx \Rightarrow v = e^{x}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x e^{x}\,dx = \left(x - 1\right) e^{x} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x e^{x}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = x + 1$ i $u' = 1$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $1$.

$\int \frac{1}{x + 1}\,dx = \frac{1}{1}\int \frac{1}{x + 1}\,dx = \frac{1}{1}\ln|x + 1| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = \sin(x)\,dx \Rightarrow v = -\cos(x)$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x \sin{\left(x \right)}\,dx = - x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x \sin{\left(x \right)}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = x + 2$ i $u' = 1$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $1$.

$\int \frac{1}{x + 2}\,dx = \frac{1}{1}\int \frac{1}{x + 2}\,dx = \frac{1}{1}\ln|x + 2| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = \cos(x)\,dx \Rightarrow v = \sin(x)$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x \cos{\left(x \right)}\,dx = x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x \cos{\left(x \right)}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = x + 3$ i $u' = 1$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $1$.

$\int \frac{1}{x + 3}\,dx = \frac{1}{1}\int \frac{1}{x + 3}\,dx = \frac{1}{1}\ln|x + 3| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = e^{2 x}\,dx \Rightarrow v = \frac{e^{2 x}}{2}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x e^{2 x}\,dx = \frac{\left(2 x - 1\right) e^{2 x}}{4} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x e^{2 x}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = x - 2$ i $u' = 1$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $1$.

$\int \frac{1}{x - 2}\,dx = \frac{1}{1}\int \frac{1}{x - 2}\,dx = \frac{1}{1}\ln|x - 2| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = \sin(2 x)\,dx \Rightarrow v = -\frac{\cos(2 x)}{2}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x \sin{\left(2 x \right)}\,dx = - \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x \sin{\left(2 x \right)}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = x + 4$ i $u' = 1$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $1$.

$\int \frac{1}{x + 4}\,dx = \frac{1}{1}\int \frac{1}{x + 4}\,dx = \frac{1}{1}\ln|x + 4| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.