Simulacre d'examen de mètodes d'integració

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = e^{x}\,dx \Rightarrow v = e^{x}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x e^{x}\,dx = \left(x - 1\right) e^{x} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x e^{x}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = x + 7$ i $u' = 1$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $1$.

$\int \frac{1}{x + 7}\,dx = \frac{1}{1}\int \frac{1}{x + 7}\,dx = \frac{1}{1}\ln|x + 7| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 2 x - 2$ i $u' = 2$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $2$.

$\int \frac{1}{2 x - 2}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{2}{2 x - 2}\,dx = \frac{1}{2}\ln|2 x - 2| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = e^{6 x}\,dx \Rightarrow v = \frac{e^{6 x}}{6}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x e^{6 x}\,dx = \frac{\left(6 x - 1\right) e^{6 x}}{36} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x e^{6 x}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 3 x + 6$ i $u' = 3$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $3$.

$\int \frac{1}{3 x + 6}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{3}{3 x + 6}\,dx = \frac{1}{3}\ln|3 x + 6| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 4 x + 9$ i $u' = 4$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $4$.

$\int \frac{1}{4 x + 9}\,dx = \frac{1}{4}\int \frac{4}{4 x + 9}\,dx = \frac{1}{4}\ln|4 x + 9| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 6 x - 2$ i $u' = 6$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $6$.

$\int \frac{1}{6 x - 2}\,dx = \frac{1}{6}\int \frac{6}{6 x - 2}\,dx = \frac{1}{6}\ln|6 x - 2| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 7 x + 7$ i $u' = 7$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $7$.

$\int \frac{1}{7 x + 7}\,dx = \frac{1}{7}\int \frac{7}{7 x + 7}\,dx = \frac{1}{7}\ln|7 x + 7| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.