Mètodes d'integració: parts, fraccions simples i integrals impròpies

A primer curs d'enginyeria, la pregunta de càlcul integral que més punts reparteix no és «calcula aquesta primitiva» sinó «tria el mètode, justifica'l i digues si la integral té sentit». Aquesta pàgina recull els mètodes d'integració que has de dominar (canvi de variable, integració per parts, fraccions simples, potències trigonomètriques i el canvi universal) i, sobretot, la part que a batxillerat no vas veure: les integrals impròpies i els tests que decideixen si convergeixen. Si necessites repassar les integrals més bàsiques, tens la pàgina d'integrals de selectivitat; aquí anem un pas més enllà en rigor.

Primitiva: una família de funcions en un interval

La paraula clau és interval. La unicitat de la constant només es demostra en un interval (és una conseqüència del teorema del valor mitjà), i per això si el domini de $f$ té diversos trossos, la constant pot ser diferent a cadascun. Per exemple, les primitives de $1/x$ són $\ln|x| + C_1$ per a $x > 0$ i $\ln|x| + C_2$ per a $x < 0$, amb $C_1$ i $C_2$ independents. A l'examen s'espera que escriguis el $+C$ i que, quan la primitiva tingui logaritmes o singularitats, declaris en quin interval és vàlida.

El teorema fonamental del càlcul

El teorema fonamental del càlcul (TFC) té dues parts, i totes dues es fan servir contínuament.

La primera part es combina amb la regla de la cadena quan el límit superior no és $x$ sinó una funció de $x$: si $G(x) = \int_a^{h(x)} f(t)\,dt$, aleshores $G'(x) = f(h(x))\,h'(x)$.

Taula mínima d'immediates

No cal memoritzar cinquanta fórmules: amb aquestes i la regla «un factor $a$ a dins genera un $1/a$ a fora» es cobreix gairebé tot.

Integral	Resultat	Observació
$\int x^n\,dx$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$	$n \neq -1$
$\int \dfrac{dx}{x}$	$\ln\lvert x \rvert + C$	valor absolut obligatori
$\int e^{ax}\,dx$	$\dfrac{1}{a}e^{ax} + C$
$\int \cos(ax)\,dx$	$\dfrac{1}{a}\sin(ax) + C$	i $\int \sin(ax)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax) + C$
$\int \dfrac{dx}{1 + x^2}$	$\arctan x + C$	amb $a^2 + x^2$: $\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}$
$\int \dfrac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}$	$\arcsin x + C$	amb $\sqrt{a^2 - x^2}$: $\arcsin\frac{x}{a}$
$\int \dfrac{g'(x)}{g(x)}\,dx$	$\ln\lvert g(x) \rvert + C$	la «quasi immediata» més útil

Arbre de decisió: quin mètode?

Abans de tocar el llapis, mira l'estructura de l'integrand i recorre aquesta llista en ordre. El mètode que tries s'ha de poder justificar amb una frase («veig una funció i la seva derivada», «és un producte de polinomi per logaritme»).

1. Simplifica primer: identitats trigonomètriques, divisió de polinomis, separar fraccions.
2. Veus $g'(x)$ multiplicant una funció de $g(x)$? → canvi de variable $u = g(x)$.
3. Producte de polinomi per exponencial, logaritme o inversa trigonomètrica? Logaritme o arctangent sols? → integració per parts.
4. Quocient de polinomis $P/Q$? → divisió (si $\deg P \geq \deg Q$) i fraccions simples.
5. Potències de sinus i cosinus? → paritat dels exponents i identitats.
6. Funció racional de $\sin x$ i $\cos x$ que no cedeix a res del que hi ha a dalt? → canvi universal $t = \tan(x/2)$.
7. Arrels del tipus $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$, $\sqrt{x^2 - a^2}$? → canvi trigonomètric.

Canvi de variable

El canvi de variable és la regla de la cadena llegida al revés. Si $u = g(x)$ és derivable,

$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \qquad \int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du .$$

En una integral definida tens dues opcions vàlides: canviar també els límits (com a la fórmula) o desfer el canvi abans d'avaluar. El que no pots fer és barrejar-les: avaluar una primitiva escrita en $u$ amb límits que són valors de $x$.

Canvis típics que apareixen sense parar:

• $\int \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\,dx$: amb $u = 1 + x^2$, $du = 2x\,dx$, surt $\sqrt{1 + x^2} + C$.
• $\int \tan x\,dx = \int \dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\ln|\cos x| + C$ (és un $g'/g$ amb signe).
• $\int \dfrac{dx}{x \ln x} = \ln|\ln x| + C$, amb $u = \ln x$.
• $\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx$: amb $u = x^2$ els límits passen a ser $0$ i $1$, i el resultat és $e - 1$.

Els altres dos canvis de la família són $x = a\tan t$ per a $\sqrt{a^2 + x^2}$ i $x = a/\cos t$ per a $\sqrt{x^2 - a^2}$. Amb el canvi $x = \tan t$, per exemple, $\int \dfrac{dx}{x^2\sqrt{x^2 + 1}} = -\dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} + C$.

Integració per parts

De la derivada d'un producte, $(uv)' = u'v + uv'$, s'obté la fórmula

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du .$$

L'elecció de $u$ ha de fer que la integral nova sigui més fàcil que l'original. Una guia que funciona quasi sempre: tria com a $u$, per ordre de preferència, logaritmes, inverses trigonomètriques, polinomis, exponencials i trigonomètriques (regla «LIPET»). Els polinomis baixen de grau en derivar-los; els logaritmes i les inverses trigonomètriques es converteixen en funcions racionals.

Funcions racionals: divisió i fraccions simples

Per integrar $P(x)/Q(x)$ el procediment és mecànic si el segueixes en ordre:

1. Si $\deg P \geq \deg Q$, fes la divisió: $P/Q = \text{quocient} + R/Q$ amb $\deg R < \deg Q$.
2. Factoritza $Q$ sobre $\mathbb{R}$: factors lineals $(x - a)^m$ i factors quadràtics irreductibles $(x^2 + bx + c)^m$ amb $b^2 - 4c < 0$.
3. Descompon $R/Q$ en fraccions simples: cada factor $(x - a)^m$ aporta $\dfrac{A_1}{x - a} + \cdots + \dfrac{A_m}{(x - a)^m}$, i cada factor quadràtic $(x^2 + bx + c)^m$ aporta termes $\dfrac{B_k x + C_k}{(x^2 + bx + c)^k}$.
4. Integra cada tros: els lineals donen logaritmes o potències, els quadràtics donen logaritmes i arctangents.

Potències trigonomètriques

Per a $\int \sin^m x\cos^n x\,dx$ la regla és conservar una derivada:

• Si $n$ és senar, reserva un $\cos x\,dx$ (serà $du$ amb $u = \sin x$) i converteix la resta amb $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
• Si $m$ és senar, reserva un $\sin x\,dx$ i usa $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ (amb $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$).
• Si tots dos són parells, no hi ha derivada que reservar: baixa el grau amb $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ i $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$.

Per exemple, $\int \sin^2 x\cos^3 x\,dx = \int \sin^2 x(1 - \sin^2 x)\cos x\,dx = \dfrac{\sin^3 x}{3} - \dfrac{\sin^5 x}{5} + C$, mentre que $\int \sin^2 x\cos^2 x\,dx = \int \frac{\sin^2 2x}{4}\,dx = \dfrac{x}{8} - \dfrac{\sin 4x}{32} + C$ (entre $0$ i $\pi$ val $\pi/8$).

Racionals trigonomètriques: el canvi universal

Quan l'integrand és una funció racional de $\sin x$ i $\cos x$ i cap paritat ajuda, el canvi $t = \tan(x/2)$ ho converteix tot en una funció racional de $t$:

$$\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \qquad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \qquad dx = \frac{2\,dt}{1 + t^2}.$$

Integrals impròpies: són límits

La integral de Riemann està definida per a funcions fitades en intervals tancats i fitats. Quan falla una de les dues condicions, la integral no existeix per definició i s'ha de definir com un límit.

Si la singularitat és en un punt interior $c \in (a, b)$, cal dividir: $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$, i les dues parts han de convergir per separat. No es permet cap cancel·lació d'infinits entre els dos trossos (això seria el valor principal de Cauchy, que és un altre concepte i no substitueix la convergència). El mateix passa amb $\int_{-\infty}^{\infty}$: es parteix en un punt qualsevol i es demanen dos límits independents.

Tests de comparació i el p-test

Sovint no cal (o no es pot) calcular la primitiva: per a integrands no negatius, comparar amb un model conegut decideix la convergència. Els models són les potències.

Els dos llindars són oposats i és fàcil confondre'ls. La intuïció: a l'infinit necessitem que la funció decaigui ràpid (exponent gran); prop de zero necessitem que la singularitat sigui suau (exponent petit). El cas $p = 1$ divergeix en tots dos: $\ln x$ no està fitat ni a l'infinit ni a zero.

Protocol de resolució

1. Classifica la integral: pròpia o impròpia? Marca sobre l'eix l'infinit i totes les singularitats (zeros de denominadors, logaritmes, arrels). Si n'hi ha alguna d'interior, parteix l'interval.
2. Tria el mètode amb l'arbre de decisió i escriu en una frase per què.
3. Calcula la primitiva i comprova-la derivant.
4. Si és definida, avalua amb Barrow (canviant els límits si hi ha hagut substitució). Si és impròpia, escriu el límit explícitament i resol-lo.
5. Si no pots trobar la primitiva i només et demanen el caràcter, aplica el p-test o la comparació amb l'integrand fitat pel model adequat.
6. Estima el signe i l'ordre de magnitud del resultat: un integrand positiu no pot donar un nombre negatiu; una integral entre $0$ i $1$ d'una funció menor que $1$ no pot superar $1$.

Exercicis proposats

Exercici 1. Calcula $\displaystyle\int x^2\ln x\,dx$ i comprova el resultat derivant-lo. Després calcula $\displaystyle\int_0^1 \arctan x\,dx$.

Solució de l'exercici 1

Per parts amb $u = \ln x$, $dv = x^2\,dx$, de manera que $v = x^3/3$ i $du = dx/x$:

$$\int x^2\ln x\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \int \frac{x^2}{3}\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C, \qquad x > 0.$$

Comprovació: $\big(\tfrac{x^3}{3}\ln x - \tfrac{x^3}{9}\big)' = x^2\ln x + \tfrac{x^2}{3} - \tfrac{x^2}{3} = x^2\ln x$.

Per a la segona, amb la primitiva de l'exemple (c) de la secció de parts:

$$\int_0^1 \arctan x\,dx = \Big[x\arctan x - \tfrac{1}{2}\ln(1 + x^2)\Big]_0^1 = \frac{\pi}{4} - \frac{\ln 2}{2} \approx 0{,}439 .$$

És positiu i menor que $\pi/4$ (el màxim de l'integrand), com ha de ser.

Exercici 2. Calcula $\displaystyle\int \frac{3x^2 + 2x - 3}{x^3 - x}\,dx$ i indica en quins intervals és vàlida la primitiva.

Solució de l'exercici 2

El grau del numerador és menor: no cal dividir. Factoritzem $x^3 - x = x(x - 1)(x + 1)$ (tres arrels reals simples):

$$\frac{3x^2 + 2x - 3}{x(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1}, \qquad 3x^2 + 2x - 3 = A(x^2 - 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 1).$$

Amb $x = 0$: $-3 = -A$, $A = 3$. Amb $x = 1$: $2 = 2B$, $B = 1$. Amb $x = -1$: $-2 = 2C$, $C = -1$. Per tant

$$\int \frac{3x^2 + 2x - 3}{x^3 - x}\,dx = 3\ln|x| + \ln|x - 1| - \ln|x + 1| + C,$$

vàlida en cadascun dels intervals $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$ i $(1, \infty)$, amb una constant possiblement diferent a cadascun.

Exercici 3. Estudia la convergència i, si escau, calcula: (a) $\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{dx}{x^2 + 4}$; (b) $\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{dx}{x\sqrt{x}}$ i $\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}$; (c) $\displaystyle\int_0^2 \frac{dx}{(x - 1)^2}$.

Solució de l'exercici 3

(a) Primera espècie. $\displaystyle\lim_{b \to \infty}\Big[\tfrac{1}{2}\arctan\tfrac{x}{2}\Big]_0^b = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{4}$. Convergent.

(b) La primera és $\int_1^\infty x^{-3/2}\,dx$ amb $p = 3/2 > 1$: convergent, i val $\lim_{b \to \infty}\big[-2x^{-1/2}\big]_1^b = 2$. La segona és $p = 1/2 < 1$ a l'origen: convergent, i també val $2$. Fixa't que $p = 3/2$ divergiria a l'origen i $p = 1/2$ divergiria a l'infinit: els llindars són oposats.

(c) Singularitat interior a $x = 1$: cal dividir. $\displaystyle\int_1^2 \frac{dx}{(x - 1)^2} = \lim_{t \to 1^+}\Big[-\frac{1}{x - 1}\Big]_t^2 = \lim_{t \to 1^+}\Big(-1 + \frac{1}{t - 1}\Big) = \infty$. Divergent. (Si ho compares amb el p-test, prop de $x = 1$ l'integrand és $u^{-2}$ amb $u = x - 1$, i $p = 2 \geq 1$.) Aplicar Barrow directament donaria $-2$, un resultat negatiu per a un integrand positiu: senyal inequívoc d'error.

Per veure què fer amb aquestes integrals (àrees, volums, integrals dobles i coordenades polars), continua amb àrees, volums i integrals dobles. Si la primitiva no existeix en forma tancada, els mètodes numèrics (trapezis i Simpson) donen el valor amb l'error controlat. I recorda que tot el que hem fet depèn de la continuïtat de l'integrand, que estudies a límits, continuïtat i derivada.