☰ Índex de temes

Mètodes d'integració: parts, fraccions simples i integrals impròpies

⏱ 11 min de lectura🔄 Actualitzat el 7 de setembre del 2026Universitat

A primer curs d'enginyeria, la pregunta de càlcul integral que més punts reparteix no és «calcula aquesta primitiva» sinó «tria el mètode, justifica'l i digues si la integral té sentit». Aquesta pàgina recull els mètodes d'integració que has de dominar (canvi de variable, integració per parts, fraccions simples, potències trigonomètriques i el canvi universal) i, sobretot, la part que a batxillerat no vas veure: les integrals impròpies i els tests que decideixen si convergeixen. Si necessites repassar les integrals més bàsiques, tens la pàgina d'integrals de selectivitat; aquí anem un pas més enllà en rigor.

Primitiva: una família de funcions en un interval

Primitiva

Una funció $F$ és una primitiva de $f$ en un interval $I$ si $F^{'} (x) = f (x)$ per a tot $x \in I$ . Si $F$ és una primitiva, qualsevol altra primitiva en $I$ és de la forma $F + C$ amb $C$ constant, i s'escriu

\int f (x) d x = F (x) + C .

La paraula clau és interval. La unicitat de la constant només es demostra en un interval (és una conseqüència del teorema del valor mitjà), i per això si el domini de $f$ té diversos trossos, la constant pot ser diferent a cadascun. Per exemple, les primitives de $1/ x$ són $ln ∣ x ∣ + C_{1}$ per a $x > 0$ i $ln ∣ x ∣ + C_{2}$ per a $x < 0$ , amb $C_{1}$ i $C_{2}$ independents. A l'examen s'espera que escriguis el $+ C$ i que, quan la primitiva tingui logaritmes o singularitats, declaris en quin interval és vàlida.

El teorema fonamental del càlcul

El teorema fonamental del càlcul (TFC) té dues parts, i totes dues es fan servir contínuament.

Teorema fonamental del càlcul

Sigui $f$ contínua en $[a, b]$ .

Derivar una integral. La funció $G (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ és derivable en $(a, b)$ i $G^{'} (x) = f (x)$ . És a dir, tota funció contínua té primitiva.
Regla de Barrow. Si $F$ és qualsevol primitiva de $f$ en $[a, b]$ , aleshores $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ .

La primera part es combina amb la regla de la cadena quan el límit superior no és $x$ sinó una funció de $x$ : si $G (x) = \int_{a}^{h (x)} f (t) d t$ , aleshores $G^{'} (x) = f (h (x)) h^{'} (x)$ .

Derivar una integral amb límit variable

Calcula la derivada de $G (x) = \int_{1}^{x^{3}} e^{- t^{2}} d t$ .

L'integrand no té primitiva elemental, però no ens cal: pel TFC i la regla de la cadena,

G^{'} (x) = e^{- (x^{3})^{2}} \cdot (x^{3})^{'} = 3 x^{2} e^{- x^{6}} .

Fixa't que la variable $t$ desapareix del tot: és una variable «muda» d'integració.

Barrow travessant una discontinuïtat

La regla de Barrow exigeix $f$ contínua (o almenys integrable) a tot l'interval. Escriure $\int_{- 1}^{1} x^{- 2} d x = [- 1/ x]_{- 1}^{1} = - 2$ és un error clàssic: un integrand positiu no pot donar una integral negativa. El problema és que $1/ x^{2}$ té una singularitat a $x = 0$ , i la integral és impròpia (i, com veurem, divergent). Abans d'aplicar Barrow, classifica la integral com a pròpia o impròpia.

Taula mínima d'immediates

No cal memoritzar cinquanta fórmules: amb aquestes i la regla «un factor $a$ a dins genera un $1/ a$ a fora» es cobreix gairebé tot.

Integral	Resultat	Observació
$\int x^{n} d x$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$	$n \neq = - 1$
$\int \frac{d x}{x}$	$ln ∣ x ∣ + C$	valor absolut obligatori
$\int e^{a x} d x$	$\frac{1}{a} e^{a x} + C$
$\int cos (a x) d x$	$\frac{1}{a} sin (a x) + C$	i $\int sin (a x) d x = - \frac{1}{a} cos (a x) + C$
$\int \frac{d x}{1 + x ^{2}}$	$arctan x + C$	amb $a^{2} + x^{2}$ : $\frac{1}{a} arctan \frac{x}{a}$
$\int \frac{d x}{1 - x ^{2}}$	$arcsin x + C$	amb $a^{2} - x^{2}$ : $arcsin \frac{x}{a}$
$\int \frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )} d x$	$ln ∣ g (x)∣ + C$	la «quasi immediata» més útil

Arbre de decisió: quin mètode?

Abans de tocar el llapis, mira l'estructura de l'integrand i recorre aquesta llista en ordre. El mètode que tries s'ha de poder justificar amb una frase («veig una funció i la seva derivada», «és un producte de polinomi per logaritme»).

Simplifica primer: identitats trigonomètriques, divisió de polinomis, separar fraccions.
Veus $g^{'} (x)$ multiplicant una funció de $g (x)$ ? → canvi de variable $u = g (x)$ .
Producte de polinomi per exponencial, logaritme o inversa trigonomètrica? Logaritme o arctangent sols? → integració per parts.
Quocient de polinomis $P / Q$ ? → divisió (si $de g P \geq de g Q$ ) i fraccions simples.
Potències de sinus i cosinus? → paritat dels exponents i identitats.
Funció racional de $sin x$ i $cos x$ que no cedeix a res del que hi ha a dalt? → canvi universal $t = tan (x /2)$ .
Arrels del tipus $a^{2} - x^{2}$ , $a^{2} + x^{2}$ , $x^{2} - a^{2}$ ? → canvi trigonomètric.

Canvi de variable

El canvi de variable és la regla de la cadena llegida al revés. Si $u = g (x)$ és derivable,

\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (u) d u, \int_{a}^{b} f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int_{g (a)}^{g (b)} f (u) d u .

En una integral definida tens dues opcions vàlides: canviar també els límits (com a la fórmula) o desfer el canvi abans d'avaluar. El que no pots fer és barrejar-les: avaluar una primitiva escrita en $u$ amb límits que són valors de $x$ .

Canvis típics que apareixen sense parar:

$\int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x$ : amb $u = 1 + x^{2}$ , $d u = 2 x d x$ , surt $1 + x^{2} + C$ .
$\int tan x d x = \int \frac{sin x}{cos x} d x = - ln ∣ cos x ∣ + C$ (és un $g^{'} / g$ amb signe).
$\int \frac{d x}{x ln x} = ln ∣ ln x ∣ + C$ , amb $u = ln x$ .
$\int_{0}^{1} 2 x e^{x^{2}} d x$ : amb $u = x^{2}$ els límits passen a ser $0$ i $1$ , i el resultat és $e - 1$ .

Canvi trigonomètric x = a\sin t

Calcula $\int 4 - x^{2} d x$ .

L'arrel $a^{2} - x^{2}$ amb $a = 2$ demana $x = 2 sin t$ , amb $t \in [- π /2, π /2]$ perquè el canvi sigui invertible. Aleshores $d x = 2 cos t d t$ i $4 - 4 sin^{2} t = 2 cos t$ (positiu en aquest interval). La integral es converteix en

\int 4 cos^{2} t d t = \int 2 (1 + cos 2 t) d t = 2 t + sin 2 t + C = 2 t + 2 sin t cos t + C .

Desfem el canvi amb $t = arcsin (x /2)$ , $sin t = x /2$ i $cos t = 4 - x^{2} /2$ :

\int 4 - x^{2} d x = 2 arcsin \frac{x}{2} + \frac{x 4 - x ^{2}}{2} + C .

Control: avaluant entre $0$ i $2$ surt $2 \cdot \frac{π}{2} = π$ , que és l'àrea d'un quart de cercle de radi 2. Correcte.

Els altres dos canvis de la família són $x = a tan t$ per a $a^{2} + x^{2}$ i $x = a / cos t$ per a $x^{2} - a^{2}$ . Amb el canvi $x = tan t$ , per exemple, $\int \frac{d x}{x ^{2} x ^{2} + 1} = - \frac{x ^{2} + 1}{x} + C$ .

Integració per parts

De la derivada d'un producte, $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , s'obté la fórmula

\int u d v = uv - \int v d u .

L'elecció de $u$ ha de fer que la integral nova sigui més fàcil que l'original. Una guia que funciona quasi sempre: tria com a $u$ , per ordre de preferència, logaritmes, inverses trigonomètriques, polinomis, exponencials i trigonomètriques (regla «LIPET»). Els polinomis baixen de grau en derivar-los; els logaritmes i les inverses trigonomètriques es converteixen en funcions racionals.

Quatre integrals per parts que has de saber fer

(a) $\int x^{2} e^{x} d x$ . Amb $u = x^{2}$ , $d v = e^{x} d x$ : $x^{2} e^{x} - \int 2 x e^{x} d x$ . Repetim amb $u = 2 x$ : $2 x e^{x} - 2 e^{x}$ . En total,

\int x^{2} e^{x} d x = (x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + C .

(b) $\int ln x d x$ . Aquí el truc és $u = ln x$ i $d v = d x$ , de manera que $v = x$ i $d u = d x / x$ :

\int ln x d x = x ln x - \int x \cdot \frac{d x}{x} = x ln x - x + C .

(c) $\int arctan x d x$ . El mateix truc, amb $d u = \frac{d x}{1 + x ^{2}}$ :

\int arctan x d x = x arctan x - \int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = x arctan x - \frac{1}{2} ln (1 + x^{2}) + C .

(d) $I = \int e^{x} cos x d x$ (integral cíclica). Amb $u = e^{x}$ , $d v = cos x d x$ : $I = e^{x} sin x - \int e^{x} sin x d x$ . Tornem a integrar per parts la nova integral amb $u = e^{x}$ , $d v = sin x d x$ : $\int e^{x} sin x d x = - e^{x} cos x + \int e^{x} cos x d x = - e^{x} cos x + I$ . Substituint,

I = e^{x} sin x + e^{x} cos x - I ⟹ I = \frac{e ^{x} ( sin x + cos x )}{2} + C .

La integral reapareix i es resol com una equació. És imprescindible mantenir la mateixa elecció ( $u$ = exponencial) les dues vegades; si la canvies, tornes al punt de partida.

El control universal: deriva la primitiva

Qualsevol primitiva es comprova derivant-la. A l'exemple (a), $((x^{2} - 2 x + 2) e^{x})^{'} = (2 x - 2) e^{x} + (x^{2} - 2 x + 2) e^{x} = x^{2} e^{x}$ . Són trenta segons que et poden estalviar tota la puntuació d'un apartat.

Funcions racionals: divisió i fraccions simples

Per integrar $P (x) / Q (x)$ el procediment és mecànic si el segueixes en ordre:

Si $de g P \geq de g Q$ , fes la divisió: $P / Q = quocient + R / Q$ amb $de g R < de g Q$ .
Factoritza $Q$ sobre $R$ : factors lineals $(x - a)^{m}$ i factors quadràtics irreductibles $(x^{2} + b x + c)^{m}$ amb $b^{2} - 4 c < 0$ .
Descompon $R / Q$ en fraccions simples: cada factor $(x - a)^{m}$ aporta $\frac{A _{1}}{x - a} + \dots + \frac{A _{m}}{( x - a ) ^{m}}$ , i cada factor quadràtic $(x^{2} + b x + c)^{m}$ aporta termes $\frac{B _{k} x + C _{k}}{( x ^{2} + b x + c ) ^{k}}$ .
Integra cada tros: els lineals donen logaritmes o potències, els quadràtics donen logaritmes i arctangents.

Arrels reals simples, amb divisió prèvia

Calcula $\int \frac{x ^{3} + 2 x}{x ^{2} - 1} d x$ .

Com que el numerador té grau més gran, dividim: $x^{3} + 2 x = x (x^{2} - 1) + 3 x$ , de manera que l'integrand és $x + \frac{3 x}{x ^{2} - 1}$ . Ara $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ i

\frac{3 x}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} ⟹ 3 x = A (x + 1) + B (x - 1) .

Amb $x = 1$ : $A = 3/2$ . Amb $x = - 1$ : $B = 3/2$ . Per tant

\int \frac{x ^{3} + 2 x}{x ^{2} - 1} d x = \frac{x ^{2}}{2} + \frac{3}{2} ln ∣ x - 1∣ + \frac{3}{2} ln ∣ x + 1∣ + C = \frac{x ^{2}}{2} + \frac{3}{2} ln ∣ x^{2} - 1∣ + C,

vàlid en qualsevol interval que no contingui $x = \pm 1$ .

Arrel múltiple i factor quadràtic irreductible

(a) $\int \frac{5 x + 1}{( x - 1 ) ^{2} ( x + 2 )} d x$ . L'arrel doble exigeix dos termes:

\frac{5 x + 1}{( x - 1 ) ^{2} ( x + 2 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{( x - 1 ) ^{2}} + \frac{C}{x + 2} .

Multiplicant pel denominador, $5 x + 1 = A (x - 1) (x + 2) + B (x + 2) + C (x - 1)^{2}$ . Amb $x = 1$ : $6 = 3 B$ , $B = 2$ . Amb $x = - 2$ : $- 9 = 9 C$ , $C = - 1$ . Comparant els coeficients de $x^{2}$ : $0 = A + C$ , $A = 1$ . La integral és

ln ∣ x - 1∣ - \frac{2}{x - 1} - ln ∣ x + 2∣ + C .

(b) $\int \frac{x + 3}{( x - 1 ) ( x ^{2} + 1 )} d x$ . El factor $x^{2} + 1$ és irreductible i aporta un numerador de grau 1:

\frac{x + 3}{( x - 1 ) ( x ^{2} + 1 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x ^{2} + 1} .

Amb $x = 1$ : $4 = 2 A$ , $A = 2$ . Igualant $x + 3 = 2 (x^{2} + 1) + (B x + C) (x - 1)$ coeficient a coeficient: $x^{2}$ : $0 = 2 + B$ , $B = - 2$ ; terme independent: $3 = 2 - C$ , $C = - 1$ . Separem el segon tros en $\frac{- 2 x}{x ^{2} + 1}$ (un $g^{'} / g$ ) i $\frac{- 1}{x ^{2} + 1}$ (una arctangent):

\int \frac{x + 3}{( x - 1 ) ( x ^{2} + 1 )} d x = 2 ln ∣ x - 1∣ - ln (x^{2} + 1) - arctan x + C .

Potències trigonomètriques

Per a $\int sin^{m} x cos^{n} x d x$ la regla és conservar una derivada:

Si $n$ és senar, reserva un $cos x d x$ (serà $d u$ amb $u = sin x$ ) i converteix la resta amb $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ .
Si $m$ és senar, reserva un $sin x d x$ i usa $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ (amb $u = cos x$ , $d u = - sin x d x$ ).
Si tots dos són parells, no hi ha derivada que reservar: baixa el grau amb $cos^{2} x = \frac{1 + c o s 2 x}{2}$ i $sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}$ .

Per exemple, $\int sin^{2} x cos^{3} x d x = \int sin^{2} x (1 - sin^{2} x) cos x d x = \frac{sin ^{3} x}{3} - \frac{sin ^{5} x}{5} + C$ , mentre que $\int sin^{2} x cos^{2} x d x = \int \frac{s i n ^{2} 2 x}{4} d x = \frac{x}{8} - \frac{sin 4 x}{32} + C$ (entre $0$ i $π$ val $π /8$ ).

Racionals trigonomètriques: el canvi universal

Quan l'integrand és una funció racional de $sin x$ i $cos x$ i cap paritat ajuda, el canvi $t = tan (x /2)$ ho converteix tot en una funció racional de $t$ :

sin x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}, cos x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}, d x = \frac{2 d t}{1 + t ^{2}} .

Canvi universal

Calcula $\int \frac{d x}{2 + cos x}$ .

Amb el canvi, $2 + cos x = \frac{2 ( 1 + t ^{2} ) + 1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} = \frac{3 + t ^{2}}{1 + t ^{2}}$ , i la integral queda

\int \frac{1 + t ^{2}}{3 + t ^{2}} \cdot \frac{2 d t}{1 + t ^{2}} = \int \frac{2 d t}{3 + t ^{2}} = \frac{2}{3} arctan \frac{t}{3} + C = \frac{2}{3} arctan (\frac{tan ( x /2 )}{3}) + C .

El canvi és vàlid en intervals on $tan (x /2)$ està definida, és a dir, que no continguin punts $x = π + 2 k π$ . Un altre exemple clàssic: $\int_{0}^{π /2} \frac{d x}{1 + sin x + cos x} = ln 2$ , perquè el canvi la redueix a $\int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t}$ .

Integrals impròpies: són límits

La integral de Riemann està definida per a funcions fitades en intervals tancats i fitats. Quan falla una de les dues condicions, la integral no existeix per definició i s'ha de definir com un límit.

Integral impròpia de primera i de segona espècie

Primera espècie (interval infinit): si $f$ és integrable en $[a, b]$ per a tot $b > a$ , $\int_{a}^{\infty} f (x) d x := b \to \infty lim \int_{a}^{b} f (x) d x .$
Segona espècie (integrand no fitat): si $f$ té una singularitat a $x = a$ i és integrable en $[t, b]$ per a tot $t \in (a, b)$ , $\int_{a}^{b} f (x) d x := t \to a^{+} lim \int_{t}^{b} f (x) d x .$

La integral convergeix si el límit existeix i és finit; si no, divergeix.

Si la singularitat és en un punt interior $c \in (a, b)$ , cal dividir: $\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f$ , i les dues parts han de convergir per separat. No es permet cap cancel·lació d'infinits entre els dos trossos (això seria el valor principal de Cauchy, que és un altre concepte i no substitueix la convergència). El mateix passa amb $\int_{- \infty}^{\infty}$ : es parteix en un punt qualsevol i es demanen dos límits independents.

Convergència i divergència: quatre casos

(a) $\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = b \to \infty lim arctan b - arctan 0 = \frac{π}{2}$ . Convergent.

(b) $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x} = t \to 0^{+} lim [2 x]_{t}^{1} = t \to 0^{+} lim (2 - 2 t) = 2$ . Convergent, tot i que l'integrand tendeix a infinit.

(c) $\int_{2}^{\infty} \frac{d x}{x ln x} = b \to \infty lim [ln (ln x)]_{2}^{b} = \infty$ . Divergent, encara que l'integrand tendeix a zero: tendir a zero no és suficient.

(d) $\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x ^{2}}$ . Singularitat interior a $x = 0$ : dividim. $\int_{0}^{1} x^{- 2} d x = lim_{t \to 0^{+}} [- 1/ x]_{t}^{1} = lim_{t \to 0^{+}} (- 1 + 1/ t) = \infty$ . Ja n'hi ha prou: una part divergeix, i la integral divergeix. El valor $- 2$ que surt aplicant Barrow a cegues és fals.

Tests de comparació i el p-test

Sovint no cal (o no es pot) calcular la primitiva: per a integrands no negatius, comparar amb un model conegut decideix la convergència. Els models són les potències.

p-test: els dos llindars

\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x ^{p}} {convergeix divergeix si p > 1, si p \leq 1, \int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{p}} {convergeix divergeix si p < 1, si p \geq 1.

Els dos llindars són oposats i és fàcil confondre'ls. La intuïció: a l'infinit necessitem que la funció decaigui ràpid (exponent gran); prop de zero necessitem que la singularitat sigui suau (exponent petit). El cas $p = 1$ divergeix en tots dos: $ln x$ no està fitat ni a l'infinit ni a zero.

Criteri de comparació

Siguin $0 \leq f (x) \leq g (x)$ en l'interval d'integració (impròpia per la mateixa raó).

Si $\int g$ convergeix, aleshores $\int f$ convergeix.
Si $\int f$ divergeix, aleshores $\int g$ divergeix.

Comparació per límit: si $f, g > 0$ i $lim f (x) / g (x) = L$ amb $0 < L < \infty$ (al punt problemàtic), les dues integrals tenen el mateix caràcter.

Decidir sense calcular

(a) $\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x ^{3} + 1}$ . Per a $x \geq 1$ , $0 < \frac{1}{x ^{3} + 1} < \frac{1}{x ^{3}}$ i $p = 3 > 1$ : convergent (el valor numèric és aproximadament $0, 374$ , però no ens cal).

(b) $\int_{1}^{\infty} \frac{x + 1}{x ^{2}} d x$ . L'integrand és $\frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} > \frac{1}{x}$ , i $\int_{1}^{\infty} d x / x$ divergeix ( $p = 1$ ): divergent.

(c) $\int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x$ . A $[0, 1]$ és pròpia. A $[1, \infty)$ , $e^{- x^{2}} \leq e^{- x}$ i $\int_{1}^{\infty} e^{- x} d x = e^{- 1}$ convergeix: convergent. (De fet val $π /2$ , però cal un altre mètode per saber-ho.)

(d) $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ( 1 + x )}$ . Prop de $x = 0$ , l'integrand es comporta com $x^{- 1/2}$ : el quocient entre tots dos tendeix a $1$ . Com que $p = 1/2 < 1$ , convergent per comparació per límit.

Errors que es repeteixen cada convocatòria

Avaluar la primitiva a $\infty$ o al pol com si fos un nombre. Escriu sempre un paràmetre finit i el límit.
Travessar una singularitat interior amb una sola aplicació de Barrow (l'exemple de $1/ x^{2}$ a $[- 1, 1]$ ).
Confondre els llindars del p-test: $1/ x^{2}$ convergeix a l'infinit però divergeix a zero; $1/ x$ fa exactament el contrari.
Usar la comparació amb el signe equivocat: que $f \leq g$ i $\int g$ divergeixi no diu res de $\int f$ .
Oblidar el valor absolut dins dels logaritmes, o el $+ C$ .
Canviar l'integrand però no els límits en una substitució definida.

Protocol de resolució

Classifica la integral: pròpia o impròpia? Marca sobre l'eix l'infinit i totes les singularitats (zeros de denominadors, logaritmes, arrels). Si n'hi ha alguna d'interior, parteix l'interval.
Tria el mètode amb l'arbre de decisió i escriu en una frase per què.
Calcula la primitiva i comprova-la derivant.
Si és definida, avalua amb Barrow (canviant els límits si hi ha hagut substitució). Si és impròpia, escriu el límit explícitament i resol-lo.
Si no pots trobar la primitiva i només et demanen el caràcter, aplica el p-test o la comparació amb l'integrand fitat pel model adequat.
Estima el signe i l'ordre de magnitud del resultat: un integrand positiu no pot donar un nombre negatiu; una integral entre $0$ i $1$ d'una funció menor que $1$ no pot superar $1$ .

Llista de comprovació

Has escrit l'interval de validesa de la primitiva i el $+ C$ ?
Has derivat la primitiva per comprovar-la?
Integral definida amb substitució: límits en la nova variable o canvi desfet?
Impròpia: has escrit el límit? Hi ha singularitats interiors separades?
Comparació: la desigualtat va en el sentit que necessites i l'integrand és no negatiu?
El signe i la mida del resultat són plausibles?

Exercicis proposats

Exercici 1. Calcula $\int x^{2} ln x d x$ i comprova el resultat derivant-lo. Després calcula $\int_{0}^{1} arctan x d x$ .

Solució de l'exercici 1

Per parts amb $u = ln x$ , $d v = x^{2} d x$ , de manera que $v = x^{3} /3$ i $d u = d x / x$ :

\int x^{2} ln x d x = \frac{x ^{3}}{3} ln x - \int \frac{x ^{2}}{3} d x = \frac{x ^{3}}{3} ln x - \frac{x ^{3}}{9} + C, x > 0.

Comprovació: $(\frac{x ^{3}}{3} ln x - \frac{x ^{3}}{9})^{'} = x^{2} ln x + \frac{x ^{2}}{3} - \frac{x ^{2}}{3} = x^{2} ln x$ .

Per a la segona, amb la primitiva de l'exemple (c) de la secció de parts:

\int_{0}^{1} arctan x d x = [x arctan x - \frac{1}{2} ln (1 + x^{2})]_{0}^{1} = \frac{π}{4} - \frac{ln 2}{2} \approx 0, 439.

És positiu i menor que $π /4$ (el màxim de l'integrand), com ha de ser.

Exercici 2. Calcula $\int \frac{3 x ^{2} + 2 x - 3}{x ^{3} - x} d x$ i indica en quins intervals és vàlida la primitiva.

Solució de l'exercici 2

El grau del numerador és menor: no cal dividir. Factoritzem $x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1)$ (tres arrels reals simples):

\frac{3 x ^{2} + 2 x - 3}{x ( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1}, 3 x^{2} + 2 x - 3 = A (x^{2} - 1) + B x (x + 1) + C x (x - 1) .

Amb $x = 0$ : $- 3 = - A$ , $A = 3$ . Amb $x = 1$ : $2 = 2 B$ , $B = 1$ . Amb $x = - 1$ : $- 2 = 2 C$ , $C = - 1$ . Per tant

\int \frac{3 x ^{2} + 2 x - 3}{x ^{3} - x} d x = 3 ln ∣ x ∣ + ln ∣ x - 1∣ - ln ∣ x + 1∣ + C,

vàlida en cadascun dels intervals $(- \infty, - 1)$ , $(- 1, 0)$ , $(0, 1)$ i $(1, \infty)$ , amb una constant possiblement diferent a cadascun.

Exercici 3. Estudia la convergència i, si escau, calcula: (a) $\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{x ^{2} + 4}$ ; (b) $\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x x}$ i $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x}$ ; (c) $\int_{0}^{2} \frac{d x}{( x - 1 ) ^{2}}$ .

Solució de l'exercici 3

(a) Primera espècie. $b \to \infty lim [\frac{1}{2} arctan \frac{x}{2}]_{0}^{b} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$ . Convergent.

(b) La primera és $\int_{1}^{\infty} x^{- 3/2} d x$ amb $p = 3/2 > 1$ : convergent, i val $lim_{b \to \infty} [- 2 x^{- 1/2}]_{1}^{b} = 2$ . La segona és $p = 1/2 < 1$ a l'origen: convergent, i també val $2$ . Fixa't que $p = 3/2$ divergiria a l'origen i $p = 1/2$ divergiria a l'infinit: els llindars són oposats.

(c) Singularitat interior a $x = 1$ : cal dividir. $\int_{1}^{2} \frac{d x}{( x - 1 ) ^{2}} = t \to 1^{+} lim [- \frac{1}{x - 1}]_{t}^{2} = t \to 1^{+} lim (- 1 + \frac{1}{t - 1}) = \infty$ . Divergent. (Si ho compares amb el p-test, prop de $x = 1$ l'integrand és $u^{- 2}$ amb $u = x - 1$ , i $p = 2 \geq 1$ .) Aplicar Barrow directament donaria $- 2$ , un resultat negatiu per a un integrand positiu: senyal inequívoc d'error.

Per veure què fer amb aquestes integrals (àrees, volums, integrals dobles i coordenades polars), continua amb àrees, volums i integrals dobles. Si la primitiva no existeix en forma tancada, els mètodes numèrics (trapezis i Simpson) donen el valor amb l'error controlat. I recorda que tot el que hem fet depèn de la continuïtat de l'integrand, que estudies a límits, continuïtat i derivada.