Matrius i equacions matricials: operacions, inversa i protocol de resolució

Les matrius són el llenguatge amb què l'àlgebra lineal d'enginyeria codifica sistemes, transformacions i models. En aquesta primera pàgina del bloc fixem les regles del joc: quines operacions estan definides, quines propietats es conserven respecte dels nombres reals i quines es perden (la commutativitat, la simplificació, l'existència d'inversa). El punt culminant són les equacions matricials, l'exercici que obre gairebé tots els exàmens de primer curs: resoldre-les no és qüestió de calcular molt, sinó de decidir pel costat correcte abans de tocar cap nombre. Si vens de batxillerat, la pàgina de sistemes d'equacions de selectivitat és un bon repàs previ.

La matriu com a objecte

Una matriu de mida $m \times n$ sobre $\mathbb{R}$ és una taula de $m$ files i $n$ columnes de nombres reals. Escrivim $A = (a_{ij})$, on l'índex $i$ recorre les files ($1 \le i \le m$) i l'índex $j$ les columnes ($1 \le j \le n$). El conjunt de totes les matrius d'aquesta mida es denota $M_{m \times n}(\mathbb{R})$; quan $m = n$ escrivim simplement $M_n(\mathbb{R})$ i parlem de matrius quadrades d'ordre $n$.

Aquesta insistència en la mida no és pedanteria. La primera pregunta de qualsevol problema amb matrius hauria de ser «quina mida té cada cosa?», perquè és el que decideix si una operació existeix i quina forma tindrà el resultat.

Matrius especials

Hi ha unes quantes famílies que cal reconèixer d'un cop d'ull, perquè simplifiquen càlculs i apareixen com a hipòtesis de teoremes.

Nom	Condició	Per què importa
Nul·la $0_{m \times n}$	totes les entrades són $0$	element neutre de la suma; pot ser rectangular
Quadrada	$m = n$	l'única que admet determinant, traça, potències i inversa
Diagonal	quadrada amb $a_{ij} = 0$ si $i \ne j$	les potències es fan entrada a entrada
Identitat $I_n$	diagonal amb uns a la diagonal	element neutre del producte: $AI = IA = A$
Triangular superior (inferior)	$a_{ij} = 0$ si $i > j$ (si $i < j$)	el determinant és el producte de la diagonal
Simètrica	$A^t = A$	necessàriament quadrada; $a_{ij} = a_{ji}$
Antisimètrica	$A^t = -A$	la diagonal és forçosament nul·la, perquè $a_{ii} = -a_{ii}$

Suma i producte per un escalar

Si $A, B \in M_{m \times n}(\mathbb{R})$ i $\lambda \in \mathbb{R}$, definim $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ i $(\lambda A)_{ij} = \lambda a_{ij}$. Les dues operacions es fan entrada a entrada, i per això només tenen sentit entre matrius d'exactament la mateixa mida.

Les propietats són les que esperaries: la suma és associativa i commutativa, té element neutre (la matriu nul·la) i cada matriu té oposada ($-A$); el producte per escalar és distributiu respecte de les dues sumes, $\lambda(A + B) = \lambda A + \lambda B$ i $(\lambda + \mu)A = \lambda A + \mu A$, i compleix $\lambda(\mu A) = (\lambda\mu)A$ i $1 \cdot A = A$. Amb això, $M_{m \times n}(\mathbb{R})$ és un espai vectorial de dimensió $mn$: una idea que reprendrem a la pàgina d'espais vectorials i bases.

Producte de matrius

Aquí és on les matrius deixen de comportar-se com nombres. El producte $AB$ només està definit quan el nombre de columnes de $A$ coincideix amb el nombre de files de $B$:

$$A \in M_{m \times r}(\mathbb{R}),\quad B \in M_{r \times n}(\mathbb{R}) \;\Longrightarrow\; AB \in M_{m \times n}(\mathbb{R}), \qquad (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{r} a_{ik} b_{kj}.$$

La regla mnemotècnica és $(m \times r)(r \times n) = m \times n$: les dimensions interiors han de coincidir i les exteriors donen la mida del resultat. Cada entrada $(AB)_{ij}$ és el producte escalar de la fila $i$ de $A$ amb la columna $j$ de $B$.

Quan les mides ho permeten, el producte és associatiu, $A(BC) = (AB)C$, i distributiu respecte de la suma per les dues bandes, $A(B + C) = AB + AC$ i $(A + B)C = AC + BC$. També commuta amb els escalars, $\lambda(AB) = (\lambda A)B = A(\lambda B)$. El que no es conserva són tres coses que a $\mathbb{R}$ dones per fetes.

1. El producte no és commutatiu. Fins i tot amb matrius quadrades del mateix ordre, en general $AB \ne BA$:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$$

2. Hi ha divisors de zero. Un producte pot ser la matriu nul·la sense que cap factor ho sigui:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Per tant, de $AB = 0$ no pots deduir «$A = 0$ o $B = 0$».

3. No es pot simplificar. Amb la mateixa $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ tenim $AI_2 = A$ i també $A\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = A$. És a dir, $AB = AC$ amb $B \ne C$. La implicació $AB = AC \Rightarrow B = C$ només és vàlida si $A$ és inversible (multiplicant per $A^{-1}$ a l'esquerra).

Potències i composició

Per a $A \in M_n(\mathbb{R})$ definim $A^0 = I_n$ i $A^k = A \cdot A \cdots A$ ($k$ factors). Les potències d'una mateixa matriu sí que commuten entre elles, $A^p A^q = A^{p+q}$, però la fórmula $(AB)^2 = A^2 B^2$ és falsa en general, perquè $(AB)^2 = ABAB$ i per reordenar caldria que $A$ i $B$ commutessin. Per la mateixa raó, $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$, amb el terme del mig sense simplificar.

El producte té una lectura funcional que ho explica tot. Una matriu $B \in M_{r \times n}$ defineix l'aplicació $x \mapsto Bx$ de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^r$, i $A \in M_{m \times r}$ defineix $y \mapsto Ay$ de $\mathbb{R}^r$ a $\mathbb{R}^m$. Aleshores $(AB)x = A(Bx)$: el producte codifica la composició, on actua primer la matriu de la dreta. Que composar en un ordre o en l'altre doni resultats diferents és exactament el que expressa la no commutativitat.

Transposada i simetria

La transposada de $A \in M_{m \times n}$ és la matriu $A^t \in M_{n \times m}$ amb $(A^t)_{ij} = a_{ji}$: les files passen a ser columnes. Les regles són

$$(A^t)^t = A,\qquad (A + B)^t = A^t + B^t,\qquad (\lambda A)^t = \lambda A^t,\qquad (AB)^t = B^t A^t .$$

La darrera és la regla crítica: transposar un producte capgira l'ordre dels factors. Té una raó de mides: si $A$ és $m \times r$ i $B$ és $r \times n$, llavors $A^t B^t$ seria $(n \times r)(m \times r)$, que en general ni tan sols està definit. Per a tres factors, $(ABC)^t = C^t B^t A^t$. Amb l'exemple anterior, $(AB)^t = \begin{pmatrix} 8 & 2 \\ 14 & -1 \end{pmatrix}$, que coincideix amb $B^t A^t$ i no amb $A^t B^t$ (que és $3 \times 3$).

Una conseqüència útil: per a qualsevol $A$, la matriu $AA^t$ és simètrica, perquè $(AA^t)^t = (A^t)^t A^t = AA^t$. El mateix passa amb $A^t A$. Aquestes dues matrius apareixen constantment (mínims quadrats, tensors d'inèrcia, matrius de covariància) precisament per aquesta propietat. Per a la $A$ de l'exemple, $AA^t = \begin{pmatrix} 14 & -1 \\ -1 & 17 \end{pmatrix}$.

Tota matriu quadrada es descompon de manera única com a suma d'una simètrica i una antisimètrica:

$$A = \underbrace{\tfrac{1}{2}(A + A^t)}_{\text{simètrica}} + \underbrace{\tfrac{1}{2}(A - A^t)}_{\text{antisimètrica}} .$$

Traça

La traça d'una matriu quadrada és la suma de la diagonal, $\operatorname{tr}(A) = \sum_i a_{ii}$. És lineal, $\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)$ i $\operatorname{tr}(\lambda A) = \lambda \operatorname{tr}(A)$, i compleix $\operatorname{tr}(A^t) = \operatorname{tr}(A)$ i la propietat cíclica $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, encara que $AB \ne BA$. Comprova-ho amb les matrius de l'apartat de commutativitat: els dos productes tenen traça $2$. Més endavant veuràs que la traça és la suma dels valors propis, cosa que la converteix en un control ràpid en diagonalització.

Matriu inversa

La unicitat es demostra en una línia: si $B$ i $C$ són inverses, $B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C$. Fixa't que l'argument només fa servir l'associativitat. Les propietats que has de tenir a mà són

$$(A^{-1})^{-1} = A,\qquad (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1},\qquad (A^t)^{-1} = (A^{-1})^t,\qquad (\lambda A)^{-1} = \tfrac{1}{\lambda}A^{-1}\ (\lambda \ne 0).$$

Igual que la transposada, la inversa d'un producte capgira l'ordre. La comprovació és directa: $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = I$. I la tercera surt de transposar $AA^{-1} = I$: $(A^{-1})^t A^t = I$.

La pregunta important és quan existeix la inversa. La resposta completa (amb determinant, rang i sistemes) és el teorema de caracterització que trobaràs a determinants, inversa i rang; aquí en tens l'avanç:

Per a ordre 2 la fórmula és explícita: si $ad - bc \ne 0$,

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$$

Per exemple, $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ té determinant $6 - 5 = 1$ i inversa $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$; multiplica-les i obtindràs $I_2$.

Equacions matricials

Una equació matricial és una igualtat on la incògnita $X$ és una matriu. Sembla que el problema és calcular, però en realitat és decidir: quina mida té $X$, per quin costat multiplicar i quina condició d'inversibilitat cal exigir. El protocol de decisió és sempre el mateix.

1. Mides. Determina la mida de $X$ a partir de la igualtat (cada producte ha d'estar definit i els dos membres han de tenir la mateixa mida).
2. Transposades. Si $X$ apareix transposada, transposa tota l'equació recordant que l'ordre dels productes es capgira.
3. Agrupa. Passa a un mateix membre tots els termes que contenen $X$ i a l'altre els que no.
4. Factoritza pel costat comú. Si $X$ és a la dreta de tots els seus coeficients, treu factor comú per la dreta: $AX + BX = (A + B)X$. Si és a l'esquerra, per l'esquerra. Un terme $X$ sol s'escriu $IX$ o $XI$.
5. Inverteix, amb condició. Només ara multiplica per la inversa del coeficient de $X$, pel costat on aquest coeficient toca $X$, i escriu la condició d'inversibilitat.
6. Comprova substituint a l'equació original (no a la factoritzada).

Equació	Forma factoritzada	Solució (si la inversa existeix)
$AX = B$	—	$X = A^{-1}B$
$XA = B$	—	$X = BA^{-1}$
$AXB = C$	—	$X = A^{-1}CB^{-1}$
$AX + X = B$	$(A + I)X = B$	$X = (A + I)^{-1}B$
$X - AX = B$	$(I - A)X = B$	$X = (I - A)^{-1}B$
$XA + 2X = B$	$X(A + 2I) = B$	$X = B(A + 2I)^{-1}$

Observa que la condició no és mai «$A$ inversible» sinó «el coeficient factoritzat és inversible»: a $AX + X = B$ cal que $A + I$ ho sigui, i $A$ pot ser perfectament singular.

Protocol de resolució

Davant de qualsevol problema amb matrius, a examen o al laboratori, segueix aquest ordre i escriu-ne cada pas.

1. Mides. Escriu $m \times n$ de cada matriu i comprova que totes les operacions de l'enunciat estan definides. Anota la mida de la incògnita.
2. Estructura. Reconeix matrius especials (diagonal, triangular, simètrica): sovint estalvien tot el càlcul.
3. Manipulació simbòlica primer. Aïlla $X$ amb lletres, sense nombres, indicant a cada pas la propietat que fas servir (transposada capgira, factoritzar pel costat comú, inversa pel costat correcte).
4. Condicions. Abans d'escriure una inversa, certifica-la: determinant no nul o rang màxim.
5. Càlcul. Ara sí, nombres. Prefereix operacions que puguis verificar (Gauss-Jordan sobre la inversa, producte fila per columna amb control de mida).
6. Comprovació independent. Substitueix el resultat a l'equació original, o verifica $MX = N$ amb el producte. Una comprovació que reutilitza el mateix camí no detecta l'error del camí.

Exercicis proposats

Exercici 1. Siguin $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ i $C \in M_3(\mathbb{R})$ qualsevol. Sense calcular, decideix quins dels productes $AB$, $BA$, $AC$, $CA$, $BC$, $A^tC$ estan definits i quina mida tenen. Després calcula $AB$ i $BA$.

Solució de l'exercici 1

$A$ és $3 \times 2$, $B$ és $2 \times 3$ i $C$ és $3 \times 3$. Estan definits $AB$ ($3 \times 3$), $BA$ ($2 \times 2$), $CA$ ($3 \times 2$), $BC$ ($2 \times 3$) i $A^tC$ ($2 \times 3$). No està definit $AC$, perquè $(3 \times 2)(3 \times 3)$ té dimensions interiors diferents.

$$AB = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 5 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix},\qquad BA = \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}.$$

Observa que $\operatorname{tr}(AB) = 3 = \operatorname{tr}(BA)$, tot i que les mides són diferents.

Exercici 2. Resol l'equació $XA + 2X = B$ amb $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, indicant la condició que fas servir.

Solució de l'exercici 2

$X$ és $2 \times 2$ i és a l'esquerra dels dos coeficients: $X(A + 2I) = B$. Com que $A + 2I = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ té determinant $3 \ne 0$, és inversible, amb $(A + 2I)^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. La inversa multiplica per la dreta:

$$X = B(A + 2I)^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 8 \end{pmatrix}.$$

Comprovació: $XA + 2X = X(A + 2I) = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = B$.

Exercici 3. (a) Per a quins valors de $k$ és inversible $A_k = \begin{pmatrix} k & 1 \\ 2 & k \end{pmatrix}$? Calcula'n la inversa quan existeixi. (b) Demostra que si $A$ és inversible i $A^2 = A$, aleshores $A = I$. (c) Descompon $S = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & 5 \\ 6 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ com a suma d'una matriu simètrica i una d'antisimètrica.

Solució de l'exercici 3

(a) $\det A_k = k^2 - 2$, així que $A_k$ és inversible si i només si $k \ne \pm\sqrt{2}$, i llavors $A_k^{-1} = \dfrac{1}{k^2 - 2}\begin{pmatrix} k & -1 \\ -2 & k \end{pmatrix}$.

(b) Multiplica $A^2 = A$ per $A^{-1}$ a l'esquerra: $A^{-1}A^2 = A^{-1}A$, és a dir $A = I$. Sense la hipòtesi d'inversibilitat la conclusió és falsa: $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ compleix $A^2 = A$ i no és la identitat (és un altre exemple de per què no es pot simplificar).

(c) $\tfrac{1}{2}(S + S^t) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ i $\tfrac{1}{2}(S - S^t) = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -4 \\ -2 & 0 & 3 \\ 4 & -3 & 0 \end{pmatrix}$. La suma de les dues torna $S$, i la segona té la diagonal nul·la, com ha de ser.

Amb les regles d'aquesta pàgina ja pots llegir la següent, on el determinant deixa de ser un «avanç» i es converteix en l'eina que certifica inverses i rangs: determinants, inversa i rang. Trobaràs problemes complets d'equacions matricials a la pàgina d'exàmens resolts.