Posicions relatives de rectes i plans a l'espai

⏱ 12 min de lectura🔄 Actualitzat el 7 de setembre del 2026Selectivitat

Estudiar la posició relativa de dues rectes, d'una recta i un pla o de dos o tres plans és la pregunta de geometria que més sovint apareix a les PAU de Matemàtiques II, i moltes vegades ve amb un paràmetre. La bona notícia és que tots els casos es decideixen amb només dues eines: comprovar si uns vectors són proporcionals (paral·lelisme) i comprovar si un producte mixt o un determinant val zero (coplanaritat), o bé, de manera equivalent, comparar rangs amb el teorema de Rouché-Frobenius. En aquesta pàgina tens tots els casos ordenats, els dos mètodes per a cada un, les rectes que es creuen (el cas que no existeix en el pla i que més punts costa), els exercicis amb paràmetre i les redaccions model. Dono per sabudes les equacions de rectes i plans i els productes entre vectors.

Posició relativa de dues rectes

A l'espai, dues rectes poden ser coincidents (són la mateixa), paral·leles (mateixa direcció, cap punt comú), secants (es tallen en un punt) o es creuen (no són paral·leles ni es tallen: no hi ha cap pla que les contingui totes dues). Aquest últim cas és nou respecte al pla i és el que cal tenir més present.

Mètode vectorial

Siguin $r$ la recta que passa per $P$ amb director $u$ i $s$ la que passa per $Q$ amb director $v$ . Es necessiten els dos directors i el vector $P Q$ que uneix un punt de cada recta.

Classificació de dues rectes pel mètode vectorial

$u$ i $v$	Condició addicional	Posició
proporcionals	$P Q$ proporcional a $u$ (és a dir, $Q \in r$ )	coincidents
proporcionals	$P Q$ no proporcional a $u$	paral·leles
no proporcionals	$[u, v, P Q] = 0$	secants
no proporcionals	$[u, v, P Q] \neq = 0$	es creuen

La lògica: si els directors són proporcionals, les rectes tenen la mateixa direcció i només falta veure si comparteixen algun punt. Si no ho són, les rectes es tallen exactament quan són coplanàries, i tres vectors són coplanaris quan el producte mixt s'anul·la.

Quan les rectes són secants, el punt de tall es troba igualant les paramètriques, $P + λ u = Q + μ v$ , que és un sistema de tres equacions amb dues incògnites $λ$ i $μ$ . Es resol amb dues equacions i es comprova amb la tercera.

Dues rectes secants i el seu punt de tall

Estudia la posició relativa de $r : (x, y, z) = (1, 0, 2) + λ (1, 1, - 1)$ i $s : (x, y, z) = (0, 2, 0) + μ (2, - 1, 1)$ .

Els directors $u = (1, 1, - 1)$ i $v = (2, - 1, 1)$ no són proporcionals, així que no són paral·leles. Amb $P = (1, 0, 2)$ i $Q = (0, 2, 0)$ , $P Q = (- 1, 2, - 2)$ , i

[u, v, P Q] = 12 - 1 1 - 1 2 - 1 1 - 2 = 2 - 1 - 4 - (- 1) - 2 - (- 4) = 0.

Són coplanàries i no paral·leles: secants. Punt de tall: igualem $1 + λ = 2 μ$ , $λ = 2 - μ$ , $2 - λ = μ$ . De la segona i la tercera, $λ = 2 - μ$ i $λ = 2 - μ$ (la mateixa), i substituint a la primera, $3 - μ = 2 μ$ , de manera que $μ = 1$ i $λ = 1$ . El punt és $(2, 1, 1)$ (comprova que surt igual per les dues rectes).

Dues rectes que es creuen

Amb la mateixa recta $r$ , sigui ara $s^{'} : (x, y, z) = (2, 3, 0) + μ (2, - 1, 1)$ .

Els directors continuen sense ser proporcionals. Ara $P Q = (1, 3, - 2)$ i

[u, v, P Q] = 121 1 - 1 3 - 1 1 - 2 = 2 + 1 - 6 - 1 - 3 - (- 4) = - 3 \neq = 0.

No són coplanàries: les rectes es creuen. Si intentessis trobar el punt de tall igualant paramètriques, el sistema sortiria incompatible.

Paral·leles o coincidents?

Sigui $t : (x, y, z) = (0, 1, 1) + μ (- 2, - 2, 2)$ . El seu director és $- 2 \cdot (1, 1, - 1)$ , proporcional al de $r$ , així que $r$ i $t$ tenen la mateixa direcció. Per decidir si són la mateixa recta mirem si $Q = (0, 1, 1)$ pertany a $r$ : $P Q = (- 1, 1, - 1)$ no és proporcional a $(1, 1, - 1)$ (la primera component obliga a $λ = - 1$ , la segona a $λ = 1$ ). Per tant, són paral·leles i diferents.

Si en canvi el punt fos $Q^{'} = (3, 2, 0)$ , tindríem $P Q^{'} = (2, 2, - 2) = 2 u$ , i les rectes serien coincidents.

Mètode dels rangs

Si les dues rectes venen donades com a intersecció de plans, tens quatre equacions lineals amb tres incògnites. Sigui $M$ la matriu de coeficients ( $4 \times 3$ ) i $M^{'}$ l'ampliada ( $4 \times 4$ ). Els punts comuns a les dues rectes són les solucions del sistema, i Rouché-Frobenius ho classifica:

$rang (M)$	$rang (M^{'})$	Sistema	Posició
2	2	SCI amb 1 paràmetre	coincidents
2	3	SI	paral·leles
3	3	SCD	secants
3	4	SI	es creuen

El rang de $M$ val 2 quan les dues rectes tenen la mateixa direcció i 3 quan no. Per això un sistema incompatible pot correspondre a dos casos diferents: cal mirar $rang (M)$ per distingir-los.

Dues rectes amb el mètode dels rangs

Siguin $r : {x - y = 1 z = 2$ i $s : {x + y = 3 x - z = 0$ .

M = 1011 - 1 010 010 - 1, M^{'} = 1011 - 1 010 010 - 1 1230 .

Les tres primeres files de $M$ tenen determinant $101 - 1 01 010 = - 2 \neq = 0$ , així que $rang (M) = 3$ . Resolent amb les tres primeres equacions surt $x = 2$ , $y = 1$ , $z = 2$ , i aquest punt també compleix la quarta ( $2 - 2 = 0$ ): el sistema és compatible determinat, $rang (M^{'}) = 3$ , i les rectes són secants en el punt $(2, 1, 2)$ .

Sistema incompatible no vol dir paral·leles

En el pla, si dues rectes no tenen cap punt comú, són paral·leles. A l'espai, no: també poden creuar-se. Sempre que el sistema surti incompatible, digues explícitament si els directors són proporcionals (paral·leles) o no (es creuen).

Posició relativa de recta i pla

Una recta $r$ amb director $v$ i punt $P$ , i un pla $π : A x + B y + C z + D = 0$ amb normal $n = (A, B, C)$ , poden estar en tres posicions: la recta talla el pla en un punt, la recta és paral·lela al pla (cap punt comú) o la recta està continguda en el pla.

Esquema de les tres posicions relatives d'una recta i un pla: recta continguda en el pla, recta paral·lela a distància d del pla i recta secant que talla el pla en un punt P — Recta continguda, paral·lela i secant respecte d'un pla.

Amb el producte escalar

La recta és paral·lela al pla (o hi està continguda) exactament quan el director és perpendicular al normal:

$v \cdot n$	$P \in π$ ?	Posició
$\neq = 0$	(no cal)	secants: la recta talla el pla en un punt
$= 0$	sí	recta continguda en el pla
$= 0$	no	recta paral·lela al pla

Per substitució

Substitueix les paramètriques de la recta, $x = x_{0} + λ v_{1}$ , $y = y_{0} + λ v_{2}$ , $z = z_{0} + λ v_{3}$ , a l'equació del pla. Queda una equació de primer grau en $λ$ :

si té una solució, la recta és secant i, substituint aquest $λ$ a la recta, tens el punt de tall;
si queda $0 = 0$ , tots els punts de la recta són del pla: recta continguda;
si queda una contradicció ( $0 = 5$ , per exemple), cap punt de la recta és del pla: recta paral·lela.

El mètode de substitució fa dues feines alhora

A l'examen, substituir les paramètriques al pla és el mètode més rendible: classifica la posició i, si hi ha tall, dona el punt sense cap càlcul addicional. El producte escalar és més ràpid només si no et demanen el punt.

Recta secant a un pla

Posició relativa de $r : (x, y, z) = (1, 2, 0) + λ (1, - 1, 2)$ i $π : 2 x + y - z = 3$ .

Amb el producte escalar: $v \cdot n = (1, - 1, 2) \cdot (2, 1, - 1) = 2 - 1 - 2 = - 1 \neq = 0$ , així que són secants. Per trobar el punt substituïm: $2 (1 + λ) + (2 - λ) - 2 λ = 3$ , és a dir, $4 - λ = 3$ , d'on $λ = 1$ . El punt de tall és $(2, 1, 2)$ ; comprovació: $4 + 1 - 2 = 3$ .

Continguda o paral·lela

Sigui $r : (x, y, z) = (1, 2, 0) + λ (1, 1, 3)$ i $π_{1} : x + 2 y - z = 5$ . Com que $(1, 1, 3) \cdot (1, 2, - 1) = 1 + 2 - 3 = 0$ , la recta no talla el pla en un únic punt. El punt $P = (1, 2, 0)$ compleix $1 + 4 - 0 = 5$ : la recta està continguda en $π_{1}$ .

Amb el pla $π_{2} : x + 2 y - z = 2$ (mateix normal), el producte escalar continua sent zero, però $P$ dona $1 + 4 - 0 = 5 \neq = 2$ : la recta és paral·lela a $π_{2}$ . Per substitució s'obté $(1 + λ) + 2 (2 + λ) - 3 λ = 2$ , que es redueix a $5 = 2$ , una contradicció.

Posició relativa de dos plans

Dos plans $π_{1} : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$ i $π_{2} : A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ són coincidents, paral·lels o secants (es tallen en una recta). Es decideix comparant els coeficients:

Si $\frac{A _{1}}{A _{2}} = \frac{B _{1}}{B _{2}} = \frac{C _{1}}{C _{2}} = \frac{D _{1}}{D _{2}}$ , les dues equacions són proporcionals: plans coincidents.
Si els normals són proporcionals però els termes independents no segueixen la mateixa proporció: plans paral·lels i diferents.
Si els normals no són proporcionals: plans secants, i la recta d'intersecció té director $n_{1} \times n_{2}$ .

Amb rangs: $rang (M) = rang (M^{'}) = 1$ per a coincidents, $rang (M) = 1 < rang (M^{'}) = 2$ per a paral·lels i $rang (M) = rang (M^{'}) = 2$ per a secants.

Dos plans

Els plans $2 x - 4 y + 6 z = 2$ i $x - 2 y + 3 z = 1$ són coincidents: la primera equació és el doble de la segona. Els plans $x - 2 y + 3 z = 1$ i $x - 2 y + 3 z = 5$ són paral·lels (mateix normal, termes independents diferents). Els plans $x - 2 y + 3 z = 1$ i $x - y + z = 0$ són secants, perquè $(1, - 2, 3)$ i $(1, - 1, 1)$ no són proporcionals; la recta intersecció té director $(1, - 2, 3) \times (1, - 1, 1) = (1, 2, 1)$ i, fent $z = 0$ , passa pel punt $(- 1, - 1, 0)$ .

Posició relativa de tres plans

Tres plans formen un sistema de tres equacions amb tres incògnites, i aquí la discussió amb Rouché-Frobenius és la manera natural de treballar. Sigui $M$ la matriu de coeficients ( $3 \times 3$ ) i $M^{'}$ l'ampliada. Però atenció: el rang diu quantes solucions hi ha, no sempre com estan col·locats els plans, i per a la interpretació fina cal complementar amb la proporcionalitat de normals.

Tres plans i rangs

$rang (M)$	$rang (M^{'})$	Sistema	Posició dels tres plans
3	3	SCD	es tallen en un únic punt
2	2	SCI, 1 paràmetre	tenen una recta comuna: o bé els tres són diferents i passen per la mateixa recta (feix), o bé dos són coincidents i el tercer els talla
1	1	SCI, 2 paràmetres	els tres plans són coincidents
2	3	SI	cap punt comú: o bé dos plans són paral·lels i el tercer els talla, o bé es tallen dos a dos en tres rectes paral·leles (prisma triangular)
1	2	SI	els tres plans són paral·lels (com a mínim dos són diferents; pot ser que dos coincideixin)

Per distingir els subcasos: en el cas $(2, 2)$ mira si dues equacions són proporcionals; en el cas $(2, 3)$ mira si dos normals són proporcionals (dos paral·lels) o cap parell ho és (prisma).

Tres plans amb paràmetre

Discuteix la posició relativa dels plans $π_{1} : x + 2 y - z = 1$ , $π_{2} : 2 x + y + z = 2$ i $π_{3} : x - y + m z = 1$ segons el valor de $m$ .

∣ M ∣ = 121 21 - 1 - 1 1 m = m + 2 + 2 + 1 + 1 - 4 m = 6 - 3 m,

que s'anul·la només per a $m = 2$ .

Si $m \neq = 2$ : $rang (M) = rang (M^{'}) = 3$ , sistema compatible determinat. Els tres plans es tallen en un únic punt. Resolent (Cramer o Gauss) surt el punt $(1, 0, 0)$ , que de fet compleix les tres equacions per a qualsevol $m$ .

Si $m = 2$ : la tercera fila de $M$ és la segona menys la primera, i el mateix passa amb els termes independents ( $2 - 1 = 1$ ). Per tant, $rang (M) = rang (M^{'}) = 2$ i el sistema és compatible indeterminat amb un paràmetre. Cap parell de normals és proporcional, així que els tres plans són diferents i comparteixen una recta (feix de plans). La recta té director $n_{1} \times n_{2} = (1, 2, - 1) \times (2, 1, 1) = (3, - 3, - 3)$ , o simplement $(1, - 1, - 1)$ , i passa per $(1, 0, 0)$ .

Feix o prisma

Siguin $π_{1} : x + y + z = 1$ , $π_{2} : x - y + 2 z = 3$ i $π_{3} : 2 x + 3 z = m$ . Fixa't que $n_{3} = n_{1} + n_{2}$ , així que $∣ M ∣ = 0$ per a qualsevol $m$ , i com que $n_{1}$ i $n_{2}$ no són proporcionals, $rang (M) = 2$ sempre. Sumant les dues primeres equacions surt $2 x + 3 z = 4$ .

Si $m = 4$ : la tercera equació és la suma de les altres dues, $rang (M^{'}) = 2$ : els tres plans (diferents) passen per una recta comuna, de director $(1, 1, 1) \times (1, - 1, 2) = (3, - 1, - 2)$ que passa per $(2, - 1, 0)$ .
Si $m \neq = 4$ : $rang (M^{'}) = 3$ , sistema incompatible. Cap parell de normals és proporcional, així que no hi ha plans paral·lels: els plans es tallen dos a dos formant un prisma triangular.

Posicions amb paràmetre

Quan apareix un paràmetre, hi ha sempre un o pocs valors crítics en què la posició canvia: on un determinant o producte mixt s'anul·la, on dos vectors passen a ser proporcionals o on un producte escalar val zero. El mètode és el mateix que en la discussió de sistemes:

Escriu la condició geomètrica en forma algebraica (producte mixt, producte escalar, proporcionalitat).
Resol l'equació per trobar els valors crítics.
Estudia per separat el cas general i cada valor crític.
Escriu la conclusió geomètrica de cada cas.

Dues rectes amb paràmetre

Estudia, segons $a$ , la posició relativa de $r : (1, 0, 2) + λ (1, 1, - 1)$ i $s : (0, 2, 0) + μ (2, - 1, a)$ .

El director $(2, - 1, a)$ mai no és proporcional a $(1, 1, - 1)$ (les dues primeres components ja ho impedeixen), així que les rectes no són ni paral·leles ni coincidents per a cap valor de $a$ . Amb $P Q = (- 1, 2, - 2)$ ,

[u, v, P Q] = 12 - 1 1 - 1 2 - 1 a - 2 = 3 - 3 a .

Si $a = 1$ el producte mixt és zero i les rectes són secants (és l'exemple de més amunt: es tallen a $(2, 1, 1)$ ). Si $a \neq = 1$ , el producte mixt no és zero i les rectes es creuen.

Recta i pla amb paràmetre

Estudia, segons $k$ , la posició de $r : (1, 2, 0) + λ (1, - 1, 2)$ i $π_{k} : x + k y + z = 3$ .

$v \cdot n = (1, - 1, 2) \cdot (1, k, 1) = 1 - k + 2 = 3 - k$ .

Si $k \neq = 3$ , la recta és secant al pla. Substituint, $(1 + λ) + k (2 - λ) + 2 λ = 3$ dona $λ = \frac{2 ( k - 1 )}{k - 3}$ , que determina el punt de tall.
Si $k = 3$ , el director és perpendicular al normal. El punt $(1, 2, 0)$ dona $1 + 6 + 0 = 7 \neq = 3$ , així que la recta és paral·lela al pla i no hi està continguda.

Com redactar la resposta a l'examen

Les redaccions següents contenen tot el que el corrector espera: els vectors, la comprovació i la conclusió.

Dues rectes.

Els vectors directors són $u = \dots$ i $v = \dots$ , que no són proporcionals; per tant, les rectes no són paral·leles. Prenem $P = \dots \in r$ i $Q = \dots \in s$ , de manera que $P Q = \dots$ . El producte mixt $[u, v, P Q] = \dots$ és zero / no és zero; per tant, les rectes són coplanàries i secants / no són coplanàries i es creuen.

Recta i pla.

El vector director de la recta és $v = \dots$ i el vector normal del pla és $n = \dots$ . Com que $v \cdot n = \dots \neq = 0$ , la recta talla el pla. Substituint les paramètriques obtenim $λ = \dots$ i el punt de tall és $\dots$ (O bé: com que $v \cdot n = 0$ i el punt $P$ compleix / no compleix l'equació del pla, la recta està continguda / és paral·lela.)

Dos plans.

Els vectors normals són $n_{1} = \dots$ i $n_{2} = \dots$ . Com que són / no són proporcionals, els plans són paral·lels / secants. En el cas paral·lel, comparant els termes independents, són coincidents / diferents.

Els tres errors que més punts costen

Concloure «paral·leles» a partir d'un sistema incompatible sense mirar si els directors són proporcionals: poden creuar-se.
Dir «paral·leles» (o «paral·lels») i no comprovar si de fet són coincidents. La comprovació és un punt en una recta o una proporció de termes independents.
En tres plans, quedar-se en «SCI» o «SI» sense interpretar-ho geomètricament quan l'enunciat demana la posició relativa.

Llista de comprovació

Has extret un punt i un director de cada recta i un normal de cada pla?
Has mirat primer la proporcionalitat de directors (o de normals)?
Si no són proporcionals, has calculat el producte mixt (dues rectes) o el producte escalar (recta i pla)?
Amb paràmetre, has estudiat cada valor crític per separat?
Has acabat amb una frase geomètrica: «es tallen en el punt…», «es creuen», «són paral·lels», «tenen una recta comuna»?

Exercicis proposats

Exercici 1. Estudia la posició relativa de les rectes $r : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z}{3}$ i $s : x = 3 + 4 μ$ , $y = - 2 - 2 μ$ , $z = 3 + 6 μ$ .

Solució de l'exercici 1

Directors: $u = (2, - 1, 3)$ i $v = (4, - 2, 6) = 2 u$ . Són proporcionals, així que les rectes tenen la mateixa direcció. Punts: $P = (1, - 1, 0) \in r$ i $Q = (3, - 2, 3) \in s$ , amb $P Q = (2, - 1, 3) = u$ . Com que $P Q$ és proporcional al director, $Q$ pertany a $r$ i les rectes són coincidents. (Trampa habitual: dir «paral·leles» sense comprovar el punt.)

Exercici 2. Estudia la posició relativa de la recta $r : {x + y - z = 0 2 x - y + 3 z = 5$ i el pla $π : x + 2 y - 4 z = - 7$ . Si es tallen, troba el punt.

Solució de l'exercici 2

Director de $r$ : $(1, 1, - 1) \times (2, - 1, 3) = (3 - 1, - 2 - 3, - 1 - 2) = (2, - 5, - 3)$ . Punt de $r$ : amb $y = 0$ , $x = z$ i $2 x + 3 x = 5$ , així que $P = (1, 0, 1)$ . Paramètriques: $x = 1 + 2 λ$ , $y = - 5 λ$ , $z = 1 - 3 λ$ .

$v \cdot n = (2, - 5, - 3) \cdot (1, 2, - 4) = 2 - 10 + 12 = 4 \neq = 0$ : la recta és secant al pla. Substituint, $(1 + 2 λ) + 2 (- 5 λ) - 4 (1 - 3 λ) = - 7$ , és a dir, $- 3 + 4 λ = - 7$ , d'on $λ = - 1$ . El punt de tall és $(- 1, 5, 4)$ . Comprovació al pla: $- 1 + 10 - 16 = - 7$ .

Exercici 3. Discuteix, segons $m$ , la posició relativa dels plans $π_{1} : x + y + z = 3$ , $π_{2} : x - y + z = 1$ i $π_{3} : x + y + m z = m + 2$ , i interpreta cada cas.

Solució de l'exercici 3

$∣ M ∣ = 111 1 - 1 1 11 m = - m + 1 + 1 + 1 - 1 - m = 2 - 2 m$ , que s'anul·la per a $m = 1$ .

Si $m \neq = 1$ : $rang (M) = rang (M^{'}) = 3$ , els tres plans es tallen en un únic punt. Restant $π_{2}$ de $π_{1}$ surt $y = 1$ ; de $π_{1}$ , $x + z = 2$ , i de $π_{3}$ , $x + m z = m + 1$ ; restant, $(m - 1) z = m - 1$ , així que $z = 1$ i $x = 1$ . El punt és $(1, 1, 1)$ per a tot $m \neq = 1$ .
Si $m = 1$ : $π_{3}$ es converteix en $x + y + z = 3$ , que és exactament $π_{1}$ . Aleshores $rang (M) = rang (M^{'}) = 2$ : dos plans coincidents ( $π_{1} = π_{3}$ ) tallats per $π_{2}$ en una recta, que és la de director $(1, 1, 1) \times (1, - 1, 1) = (2, 0, - 2)$ , o $(1, 0, - 1)$ , i que passa per $(1, 1, 1)$ .

📄 Vols aquest tema en paper? Descarrega el resum del bloc en PDF.

Descarrega el PDF