Posicions relatives de rectes i plans a l'espai

Dues rectes secants i el seu punt de tall

Estudia la posició relativa de $r: (x, y, z) = (1, 0, 2) + \lambda (1, 1, -1)$ i $s: (x, y, z) = (0, 2, 0) + \mu (2, -1, 1)$.

Els directors $\vec{u} = (1, 1, -1)$ i $\vec{v} = (2, -1, 1)$ no són proporcionals, així que no són paral·leles. Amb $P = (1, 0, 2)$ i $Q = (0, 2, 0)$, $\overrightarrow{PQ} = (-1, 2, -2)$, i

Són coplanàries i no paral·leles: secants. Punt de tall: igualem $1 + \lambda = 2\mu$, $\lambda = 2 - \mu$, $2 - \lambda = \mu$. De la segona i la tercera, $\lambda = 2 - \mu$ i $\lambda = 2 - \mu$ (la mateixa), i substituint a la primera, $3 - \mu = 2\mu$, de manera que $\mu = 1$ i $\lambda = 1$. El punt és $(2, 1, 1)$ (comprova que surt igual per les dues rectes).

Dues rectes que es creuen

Amb la mateixa recta $r$, sigui ara $s': (x, y, z) = (2, 3, 0) + \mu (2, -1, 1)$.

Els directors continuen sense ser proporcionals. Ara $\overrightarrow{PQ} = (1, 3, -2)$ i

No són coplanàries: les rectes es creuen. Si intentessis trobar el punt de tall igualant paramètriques, el sistema sortiria incompatible.

Paral·leles o coincidents?

Sigui $t: (x, y, z) = (0, 1, 1) + \mu (-2, -2, 2)$. El seu director és $-2 \cdot (1, 1, -1)$, proporcional al de $r$, així que $r$ i $t$ tenen la mateixa direcció. Per decidir si són la mateixa recta mirem si $Q = (0, 1, 1)$ pertany a $r$: $\overrightarrow{PQ} = (-1, 1, -1)$ no és proporcional a $(1, 1, -1)$ (la primera component obliga a $\lambda = -1$, la segona a $\lambda = 1$). Per tant, són paral·leles i diferents.

Si en canvi el punt fos $Q' = (3, 2, 0)$, tindríem $\overrightarrow{PQ'} = (2, 2, -2) = 2\vec{u}$, i les rectes serien coincidents.

Dues rectes amb el mètode dels rangs

Siguin $r: \begin{cases} x - y = 1 \\ z = 2 \end{cases}$ i $s: \begin{cases} x + y = 3 \\ x - z = 0 \end{cases}$.

Les tres primeres files de $M$ tenen determinant $\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$, així que $\operatorname{rang}(M) = 3$. Resolent amb les tres primeres equacions surt $x = 2$, $y = 1$, $z = 2$, i aquest punt també compleix la quarta ($2 - 2 = 0$): el sistema és compatible determinat, $\operatorname{rang}(M') = 3$, i les rectes són secants en el punt $(2, 1, 2)$.

Recta secant a un pla

Posició relativa de $r: (x, y, z) = (1, 2, 0) + \lambda (1, -1, 2)$ i $\pi: 2x + y - z = 3$.

Amb el producte escalar: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (1, -1, 2) \cdot (2, 1, -1) = 2 - 1 - 2 = -1 \neq 0$, així que són secants. Per trobar el punt substituïm: $2(1 + \lambda) + (2 - \lambda) - 2\lambda = 3$, és a dir, $4 - \lambda = 3$, d'on $\lambda = 1$. El punt de tall és $(2, 1, 2)$; comprovació: $4 + 1 - 2 = 3$.

Continguda o paral·lela

Sigui $r: (x, y, z) = (1, 2, 0) + \lambda (1, 1, 3)$ i $\pi_1: x + 2y - z = 5$. Com que $(1, 1, 3) \cdot (1, 2, -1) = 1 + 2 - 3 = 0$, la recta no talla el pla en un únic punt. El punt $P = (1, 2, 0)$ compleix $1 + 4 - 0 = 5$: la recta està continguda en $\pi_1$.

Amb el pla $\pi_2: x + 2y - z = 2$ (mateix normal), el producte escalar continua sent zero, però $P$ dona $1 + 4 - 0 = 5 \neq 2$: la recta és paral·lela a $\pi_2$. Per substitució s'obté $(1 + \lambda) + 2(2 + \lambda) - 3\lambda = 2$, que es redueix a $5 = 2$, una contradicció.

Dos plans

Els plans $2x - 4y + 6z = 2$ i $x - 2y + 3z = 1$ són coincidents: la primera equació és el doble de la segona. Els plans $x - 2y + 3z = 1$ i $x - 2y + 3z = 5$ són paral·lels (mateix normal, termes independents diferents). Els plans $x - 2y + 3z = 1$ i $x - y + z = 0$ són secants, perquè $(1, -2, 3)$ i $(1, -1, 1)$ no són proporcionals; la recta intersecció té director $(1, -2, 3) \times (1, -1, 1) = (1, 2, 1)$ i, fent $z = 0$, passa pel punt $(-1, -1, 0)$.

Tres plans amb paràmetre

Discuteix la posició relativa dels plans $\pi_1: x + 2y - z = 1$, $\pi_2: 2x + y + z = 2$ i $\pi_3: x - y + mz = 1$ segons el valor de $m$.

que s'anul·la només per a $m = 2$.

Si $m \neq 2$: $\operatorname{rang}(M) = \operatorname{rang}(M') = 3$, sistema compatible determinat. Els tres plans es tallen en un únic punt. Resolent (Cramer o Gauss) surt el punt $(1, 0, 0)$, que de fet compleix les tres equacions per a qualsevol $m$.

Si $m = 2$: la tercera fila de $M$ és la segona menys la primera, i el mateix passa amb els termes independents ($2 - 1 = 1$). Per tant, $\operatorname{rang}(M) = \operatorname{rang}(M') = 2$ i el sistema és compatible indeterminat amb un paràmetre. Cap parell de normals és proporcional, així que els tres plans són diferents i comparteixen una recta (feix de plans). La recta té director $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = (1, 2, -1) \times (2, 1, 1) = (3, -3, -3)$, o simplement $(1, -1, -1)$, i passa per $(1, 0, 0)$.

Feix o prisma

Siguin $\pi_1: x + y + z = 1$, $\pi_2: x - y + 2z = 3$ i $\pi_3: 2x + 3z = m$. Fixa't que $\vec{n}_3 = \vec{n}_1 + \vec{n}_2$, així que $|M| = 0$ per a qualsevol $m$, i com que $\vec{n}_1$ i $\vec{n}_2$ no són proporcionals, $\operatorname{rang}(M) = 2$ sempre. Sumant les dues primeres equacions surt $2x + 3z = 4$.

• Si $m = 4$: la tercera equació és la suma de les altres dues, $\operatorname{rang}(M') = 2$: els tres plans (diferents) passen per una recta comuna, de director $(1, 1, 1) \times (1, -1, 2) = (3, -1, -2)$ que passa per $(2, -1, 0)$.
• Si $m \neq 4$: $\operatorname{rang}(M') = 3$, sistema incompatible. Cap parell de normals és proporcional, així que no hi ha plans paral·lels: els plans es tallen dos a dos formant un prisma triangular.

Dues rectes amb paràmetre

Estudia, segons $a$, la posició relativa de $r: (1, 0, 2) + \lambda (1, 1, -1)$ i $s: (0, 2, 0) + \mu (2, -1, a)$.

El director $(2, -1, a)$ mai no és proporcional a $(1, 1, -1)$ (les dues primeres components ja ho impedeixen), així que les rectes no són ni paral·leles ni coincidents per a cap valor de $a$. Amb $\overrightarrow{PQ} = (-1, 2, -2)$,

Si $a = 1$ el producte mixt és zero i les rectes són secants (és l'exemple de més amunt: es tallen a $(2, 1, 1)$). Si $a \neq 1$, el producte mixt no és zero i les rectes es creuen.

Recta i pla amb paràmetre

Estudia, segons $k$, la posició de $r: (1, 2, 0) + \lambda (1, -1, 2)$ i $\pi_k: x + ky + z = 3$.

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (1, -1, 2) \cdot (1, k, 1) = 1 - k + 2 = 3 - k$.

• Si $k \neq 3$, la recta és secant al pla. Substituint, $(1 + \lambda) + k(2 - \lambda) + 2\lambda = 3$ dona $\lambda = \dfrac{2(k - 1)}{k - 3}$, que determina el punt de tall.
• Si $k = 3$, el director és perpendicular al normal. El punt $(1, 2, 0)$ dona $1 + 6 + 0 = 7 \neq 3$, així que la recta és paral·lela al pla i no hi està continguda.