Límits i continuïtat: indeterminacions, asímptotes i teorema de Bolzano

Els límits són la base de tot el bloc d'anàlisi de les PAU de Matemàtiques II: sense ells no hi ha asímptotes, ni continuïtat, ni derivades, ni regla de L'Hôpital. A l'examen apareixen de tres maneres: com a càlcul directe d'un límit amb indeterminació, com a pas intermedi per trobar les asímptotes d'una funció i com a eina per estudiar la continuïtat d'una funció definida a trossos que depèn d'un paràmetre. En aquesta pàgina hi ha tota la teoria que necessites, els tipus d'indeterminació amb la manera de resoldre cadascun, la classificació de les discontinuïtats i el teorema de Bolzano amb exemples del tipus que cauen a la selectivitat.

Idea de límit i límits laterals

Dir que $\lim_{x \to a} f(x) = L$ significa que els valors $f(x)$ s'acosten tant com vulguem a $L$ quan $x$ s'acosta a $a$ (sense que $x$ arribi a valer $a$). El límit no depèn de què val $f(a)$, ni tan sols de si existeix: només mira el comportament de la funció al voltant del punt.

Com que a $a$ s'hi pot arribar per l'esquerra o per la dreta, definim els límits laterals $\lim_{x \to a^-} f(x)$ i $\lim_{x \to a^+} f(x)$. El límit existeix si i només si els dos laterals existeixen i coincideixen:

$$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L .$$

Els laterals són imprescindibles en dues situacions: funcions definides a trossos (a cada costat del punt hi ha una expressió diferent) i denominadors que s'anul·len (a cada costat el signe pot ser diferent).

També podem estudiar què fa la funció quan $x$ es fa molt gran, positiu o negatiu: són els límits a l'infinit, $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ i $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Els resultats poden ser un nombre, $+\infty$, $-\infty$ o no existir (com passa amb $\sin x$, que oscil·la sense acostar-se a res).

Càlcul de límits sense indeterminació

La majoria de límits es resolen substituint: si la funció és polinòmica, racional amb denominador no nul, exponencial, logarítmica o trigonomètrica al seu domini, el límit en un punt és simplement el valor de la funció. Per exemple, $\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x) = 10$.

Als límits a l'infinit d'un polinomi mana el terme de grau més alt. Per exemple, $\lim_{x \to +\infty} (-2x^3 + 5x) = -\infty$, perquè $-2x^3$ domina i és negatiu. Per a les funcions racionals (quocient de polinomis) compares els graus del numerador i del denominador:

Graus	Límit quan $x \to \pm\infty$	Exemple
grau num. $<$ grau den.	$0$	$\lim_{x \to \infty} \dfrac{x+1}{x^2+2} = 0$
grau num. $=$ grau den.	quocient dels coeficients principals	$\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2+1}{x^2-4} = 3$
grau num. $>$ grau den.	$\pm\infty$ (mira els signes)	$\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^3}{x+1} = +\infty$

Quan el denominador s'anul·la i el numerador no, el límit és infinit i el que cal decidir és el signe: es fa amb els laterals. Per exemple, a $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2}$ el denominador és negatiu per l'esquerra i positiu per la dreta, de manera que el límit per l'esquerra és $-\infty$ i per la dreta $+\infty$.

Indeterminacions i com resoldre-les

Una indeterminació apareix quan la substitució dona una expressió que no té un valor definit. Les que entren a les PAU són $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $1^\infty$ i $0 \cdot \infty$. Cadascuna té una tècnica pròpia. Existeixen també $0^0$ i $\infty^0$, que es resolen amb el mateix truc que $1^\infty$ (escrivint $f^g = e^{g \cdot \ln f}$), però surten molt poc.

Indeterminació 0/0: factoritzar o multiplicar pel conjugat

Si el quocient de dos polinomis dona $\frac{0}{0}$, els dos tenen el factor $(x - a)$: factoritza (Ruffini o identitats notables), simplifica i torna a substituir. Si hi ha arrels quadrades, multiplica numerador i denominador pel conjugat de l'expressió amb l'arrel.

Indeterminació ∞/∞

Per a funcions racionals, aplica la taula de graus anterior (o divideix numerador i denominador per la potència més alta de $x$). Amb arrels, compta l'arrel de $x^n$ com a grau $n/2$: per exemple $\sqrt{x^2 + 1}$ es comporta com $x$ quan $x \to +\infty$.

Indeterminació ∞ − ∞

Sol aparèixer amb una resta d'arrels o d'una arrel i un polinomi. Multiplica i divideix pel conjugat de la resta per convertir-la en un quocient $\frac{\infty}{\infty}$.

Indeterminació 1^∞: el nombre e

Quan la base tendeix a $1$ i l'exponent a infinit, el resultat és una potència de $e$. La fórmula que cal recordar és

$$\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\,\lim_{x \to a} g(x)\,\left[f(x) - 1\right]} \qquad \text{(si } f \to 1 \text{ i } g \to \infty\text{)}.$$

Indeterminació 0 · ∞

Es transforma en $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ passant un dels factors al denominador, i llavors s'aplica la tècnica corresponent (o la regla de L'Hôpital, que veuràs a aplicacions de les derivades). Per exemple, $\lim_{x \to +\infty} x\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)$ és $\infty \cdot 0$; multiplicant pel conjugat del parèntesi queda $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1} + x} = \frac{1}{2}$.

Asímptotes

Una asímptota és una recta a la qual la gràfica s'acosta indefinidament. N'hi ha de tres tipus i cadascun es detecta amb un límit concret.

• Vertical $x = a$: quan algun dels límits laterals a $a$ és infinit. En les funcions racionals, els candidats són els zeros del denominador que no s'anul·len també al numerador després de simplificar.
• Horitzontal $y = L$: quan $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ és un nombre. Cal mirar $+\infty$ i $-\infty$ per separat (poden donar horitzontals diferents, com passa amb $e^x$ o $\arctan x$).
• Obliqua $y = mx + n$: quan no hi ha horitzontal en aquell costat ($+\infty$ o $-\infty$, s'estudien per separat) i els límits següents són finits amb $m \neq 0$:

$$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \qquad n = \lim_{x \to \pm\infty} \left[f(x) - mx\right].$$

En una funció racional hi ha asímptota obliqua exactament quan el grau del numerador supera en una unitat el del denominador, i llavors la manera més ràpida de trobar-la és fer la divisió de polinomis: el quocient és l'asímptota.

Continuïtat en un punt

Intuïtivament, contínua vol dir que la gràfica es pot dibuixar sense aixecar el llapis. Segons quina de les tres condicions falla, la discontinuïtat és d'un tipus o altre:

Tipus	Què passa	Exemple
Evitable	El límit existeix i és finit, però no coincideix amb $f(a)$ o $f(a)$ no existeix	$\dfrac{x^2-1}{x-1}$ en $x=1$ (límit $2$, la funció no hi és definida)
De salt finit	Els laterals existeixen, són finits i diferents	una funció a trossos amb un «esglaó»
De salt infinit (asimptòtica)	Algun lateral és infinit	$\dfrac{1}{x}$ en $x=0$
Essencial	Algun lateral no existeix	$\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ en $x=0$, que oscil·la

S'anomena evitable perquè n'hi ha prou amb redefinir $f(a)$ com el valor del límit perquè la funció passi a ser contínua.

Les funcions elementals són contínues a tot el seu domini: les polinòmiques a tot $\mathbb{R}$; les racionals a $\mathbb{R}$ menys els zeros del denominador; $e^x$, $a^x$, $\sin x$ i $\cos x$ a tot $\mathbb{R}$; $\ln x$ i $\log_a x$ a $(0, +\infty)$; $\sqrt{x}$ a $[0, +\infty)$; $\tan x$ allà on $\cos x \neq 0$. La suma, el producte i la composició de funcions contínues també ho són. Per això, en la pràctica, només cal estudiar la continuïtat en dos llocs: als punts fora del domini i als punts on canvia la definició d'una funció a trossos.

Funcions a trossos amb paràmetres

És l'exercici de continuïtat més freqüent a les PAU: et donen una funció definida amb dues o tres expressions i un o dos paràmetres, i et demanen els valors que la fan contínua. El mètode és sempre el mateix: a cada punt de canvi de definició, imposa que els límits laterals coincideixin (i coincideixin amb el valor de la funció). Cada punt de canvi dona una equació.

Teorema de Bolzano

La idea és evident si la dibuixes: una corba contínua que comença per sota de l'eix i acaba per sobre ha de tallar l'eix en algun moment. El teorema té dues aplicacions típiques:

1. Demostrar que una equació té solució en un interval, sense resoldre-la. Si l'equació és $g(x) = h(x)$, es defineix $f(x) = g(x) - h(x)$ i s'aplica Bolzano a $f$.
2. Aproximar una arrel dividint successivament l'interval per la meitat i quedant-se amb la meitat on hi ha canvi de signe (mètode de la bisecció).

Altres teoremes sobre funcions contínues

Dos resultats més apareixen a vegades com a pregunta teòrica o com a justificació dins d'un problema:

• Teorema del valor intermedi. Si $f$ és contínua a $[a, b]$, pren tots els valors compresos entre $f(a)$ i $f(b)$. Bolzano és el cas particular en què el valor buscat és $0$. Serveix per demostrar, per exemple, que $f(x) = k$ té solució en un interval: s'aplica Bolzano a $f(x) - k$.
• Teorema de Weierstrass. Si $f$ és contínua a l'interval tancat $[a, b]$, aleshores té màxim i mínim absoluts en aquest interval. Aquest teorema és el que garanteix que els problemes d'optimització en un interval tancat tenen solució, i explica per què, a més dels punts on $f' = 0$, cal comprovar sempre els extrems de l'interval.

Fixa't en la hipòtesi: l'interval ha de ser tancat. La funció $f(x) = \frac{1}{x}$ és contínua a $(0, 1]$ però no té màxim.

Com redactar la resposta a l'examen

En un càlcul de límit, escriu primer què dona la substitució («és una indeterminació del tipus $\frac{0}{0}$») i després la tècnica que apliques; els passos intermedis han de ser igualtats de límits, no fletxes soltes. En un estudi de continuïtat, tracta cada punt conflictiu per separat amb el mateix esquema: valor de la funció, límit per l'esquerra, límit per la dreta, conclusió amb el tipus de discontinuïtat. Per a paràmetres, acaba sempre amb una frase del tipus «la funció és contínua a $\mathbb{R}$ si i només si $a = \ldots$ i $b = \ldots$».

Els límits tornen a aparèixer a la definició de derivada i, amb la regla de L'Hôpital, a les aplicacions de les derivades.

Exercicis proposats

Exercici 1. Calcula els límits següents.

$$\text{a)}\ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4x + 3}, \qquad \text{b)}\ \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right), \qquad \text{c)}\ \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{2x}.$$

Solució de l'exercici 1

a) Indeterminació $\frac{0}{0}$. Factoritzem: $\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-1)} \to \dfrac{6}{2} = 3$.

b) Indeterminació $\infty - \infty$. Multipliquem pel conjugat: $\dfrac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+x} + x} \to \dfrac{1}{2}$.

c) Indeterminació $1^\infty$. Exponent: $\lim 2x\left(\dfrac{x+3}{x} - 1\right) = \lim 2x \cdot \dfrac{3}{x} = 6$. El límit és $e^6$.

Exercici 2. Determina $a$ i $b$ perquè la funció següent sigui contínua a tot $\mathbb{R}$, i classifica la discontinuïtat o discontinuïtats que tindria si $a = 0$ i $b = 6$.

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + a x & \text{si } x \le 1 \\ \dfrac{b}{x} & \text{si } 1 < x \le 2 \\ x + 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

Solució de l'exercici 2

Els trossos són contínus als seus intervals (el segon perquè $x \neq 0$). En $x = 2$: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \frac{b}{2}$ i $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 3$, d'on $b = 6$. En $x = 1$: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + a$ i $\lim_{x \to 1^+} f(x) = b = 6$, d'on $a = 5$. Resposta: $a = 5$, $b = 6$.

Si $a = 0$ i $b = 6$, en $x = 2$ la funció és contínua ($\frac{6}{2} = 3$), però en $x = 1$ els laterals valen $1$ i $6$: discontinuïtat de salt finit.

Exercici 3. Demostra que l'equació $x^3 + x = 5$ té una solució a l'interval $(1, 2)$ i troba un interval de longitud $0{,}1$ que la contingui.

Solució de l'exercici 3

Sigui $f(x) = x^3 + x - 5$, polinòmica i per tant contínua a $[1, 2]$. $f(1) = -3 < 0$ i $f(2) = 5 > 0$; per Bolzano existeix $c \in (1, 2)$ amb $f(c) = 0$.

Per afinar, provem valors: $f(1{,}5) = 3{,}375 + 1{,}5 - 5 = -0{,}125 < 0$ i $f(1{,}6) = 4{,}096 + 1{,}6 - 5 = 0{,}696 > 0$. Aplicant Bolzano a $[1{,}5,\ 1{,}6]$, la solució és en aquest interval (val aproximadament $1{,}516$).