Diagonalització de matrius: valors propis, vectors propis i potències

⏱ 11 min de lectura🔄 Actualitzat el 7 de setembre del 2026Universitat

La diagonalització de matrius és el punt d'arribada del bloc d'àlgebra lineal: consisteix a trobar una base en què una matriu quadrada actuï només estirant o encongint cada direcció, sense barrejar-les. Les direccions que ho permeten són els vectors propis i els factors d'escala són els valors propis, que surten com a arrels del polinomi característic. Quan hi ha prou direccions independents, la matriu es descompon com $A = P D P^{- 1}$ amb $D$ diagonal, i aleshores calcular $A^{n}$ , resoldre sistemes dinàmics o estudiar vibracions es converteix en una operació d'una línia. En aquesta pàgina trobaràs les definicions, el criteri de diagonalitzabilitat amb les multiplicitats, la construcció de $P$ i $D$ , els casos que fallen i el protocol per resoldre el problema d'examen. Necessitaràs el càlcul de determinants i de nuclis que hem vist a determinants, inversa i rang i a espais vectorials i bases.

Valor propi i vector propi

Sigui $A \in M_{n} (K)$ . Un escalar $λ \in K$ és un valor propi de $A$ si existeix un vector $v \neq = 0$ tal que

A v = λ v .

Qualsevol vector $v \neq = 0$ que compleixi aquesta igualtat és un vector propi associat a $λ$ .

Geomètricament, $A$ transforma els vectors de $R^{n}$ i, en general, en canvia la direcció. Un vector propi és una direcció invariant: $A$ només l'escala pel factor $λ$ (l'estira si $∣ λ ∣ > 1$ , l'encongeix si $∣ λ ∣ < 1$ , la inverteix si $λ < 0$ i l'aixafa sobre l'origen si $λ = 0$ ). Un vector propi mai no és el vector zero, perquè $A \cdot 0 = 0 = λ \cdot 0$ es compleix per a qualsevol $λ$ i no identificaria cap direcció. En canvi, $λ = 0$ sí que pot ser un valor propi: passa exactament quan $Ker A \neq = {0}$ , és a dir, quan $det A = 0$ .

Fixa't que si $v$ és vector propi, també ho és $μv$ per a qualsevol $μ \neq = 0$ : els vectors propis vénen en rectes (o subespais) senceres, no d'un en un.

Polinomi característic

Per trobar els valors propis reescrivim la condició: $A v = λ v$ equival a $(A - λ I) v = 0$ . Aquest sistema homogeni té una solució $v \neq = 0$ si i només si la matriu $A - λ I$ és singular, és a dir, si el seu determinant és zero.

Polinomi característic

El polinomi característic de $A \in M_{n} (K)$ és

p_{A} (λ) = det (A - λ I) .

És un polinomi de grau $n$ en $λ$ , i els valors propis de $A$ són exactament les seves arrels a $K$ .

Alguns textos defineixen $det (λ I - A)$ ; les arrels i les multiplicitats són les mateixes (només canvia el signe global quan $n$ és senar), però no barregis les dues convencions dins d'un mateix càlcul. Dues propietats útils per comprovar: el terme independent de $p_{A}$ és $det A$ i el coeficient de $λ^{n - 1}$ és $\pm tr A$ ; per tant el producte dels valors propis és el determinant i la suma és la traça (comptant multiplicitats). Si els valors propis que has trobat no compleixen això, hi ha un error.

Espai propi

Per a cada valor propi $λ$ , el conjunt

E_{λ} = Ker (A - λ I) = {v \in K^{n} : (A - λ I) v = 0}

és un subespai vectorial, l'espai propi de $λ$ . Conté tots els vectors propis associats a $λ$ i, a més, el vector zero. Per calcular-lo, substitueixes $λ$ a la matriu, resols el sistema homogeni $(A - λ I) v = 0$ per Gauss i dones una base de les solucions. Els vectors d'aquesta base són els vectors propis que faràs servir després.

Valors propis diferents

Sigui $A = (4213)$ . El polinomi característic és

p_{A} (λ) = 4 - λ 2 1 3 - λ = (4 - λ) (3 - λ) - 2 = λ^{2} - 7 λ + 10 = (λ - 5) (λ - 2) .

Els valors propis són $λ_{1} = 5$ i $λ_{2} = 2$ . Control: suma $7 = tr A$ , producte $10 = det A$ .

Espai propi de $5$ . $A - 5 I = (- 1 2 1 - 2)$ ; la segona fila és $- 2$ vegades la primera, així que el sistema es redueix a $- x + y = 0$ . $E_{5} = ⟨(1, 1)⟩$ .

Espai propi de $2$ . $A - 2 I = (2211)$ , sistema $2 x + y = 0$ . $E_{2} = ⟨(1, - 2)⟩$ .

Comprovació directa: $A (1, 1)^{T} = (5, 5)^{T} = 5 (1, 1)^{T}$ i $A (1, - 2)^{T} = (2, - 4)^{T} = 2 (1, - 2)^{T}$ . Les dues direccions són independents i formen una base de $R^{2}$ .

Matrius semblants i què vol dir diagonalitzar

Dues matrius $A$ i $B$ de $M_{n} (K)$ són semblants si existeix una matriu inversible $P$ tal que $B = P^{- 1} A P$ . Representen la mateixa transformació lineal en dues bases diferents: $P$ és la matriu de canvi de base. Les matrius semblants comparteixen tot allò que no depèn de la base:

Invariants per semblança

Si $B = P^{- 1} A P$ , aleshores $A$ i $B$ tenen el mateix polinomi característic i, per tant, el mateix determinant, la mateixa traça i els mateixos valors propis amb les mateixes multiplicitats.

La demostració és una línia: $det (B - λ I) = det (P^{- 1} (A - λ I) P) = det (P)^{- 1} det (A - λ I) det (P) = det (A - λ I)$ . Per exemple, amb la matriu $A$ de l'exemple anterior i $P = (1011)$ s'obté $B = P^{- 1} A P = (2205)$ , que té traça 7, determinant 10 i valors propis 2 i 5, com $A$ .

Matriu diagonalitzable

$A \in M_{n} (K)$ és diagonalitzable sobre $K$ si és semblant a una matriu diagonal: existeixen $P \in M_{n} (K)$ inversible i $D$ diagonal tals que

P^{- 1} A P = D, equivalentment A = P D P^{- 1} .

La lectura és la següent: les columnes de $P$ són una base de $K^{n}$ formada per vectors propis, i la diagonal de $D$ diu quin factor d'escala té cadascuna. Diagonalitzar és trobar aquesta base.

Multiplicitat algebraica i geomètrica

Quan el polinomi característic té una arrel repetida, cal distingir dos nombres.

Multiplicitats

Per a un valor propi $λ$ de $A \in M_{n} (K)$ :

La multiplicitat algebraica $m_{a} (λ)$ és la multiplicitat de $λ$ com a arrel de $p_{A}$ .
La multiplicitat geomètrica $m_{g} (λ)$ és la dimensió de l'espai propi, $m_{g} (λ) = dim E_{λ} = n - rang (A - λ I)$ .

Sempre es compleix $1 \leq m_{g} (λ) \leq m_{a} (λ)$ .

La desigualtat diu que una arrel simple ( $m_{a} = 1$ ) té sempre un espai propi de dimensió exactament 1, així que no dona mai problemes. Una arrel repetida, en canvi, no decideix res per si sola: pot tenir un espai propi de dimensió igual a la multiplicitat (bé) o més petit (malament), i l'única manera de saber-ho és calcular el rang de $A - λ I$ .

Criteri de diagonalitzabilitat

Criteri necessari i suficient

$A \in M_{n} (K)$ és diagonalitzable sobre $K$ si i només si existeix una base de $K^{n}$ formada per vectors propis. Si el polinomi característic es descompon completament sobre $K$ (totes les arrels són de $K$ ), això equival a

m_{g} (λ) = m_{a} (λ) per a tot valor propi λ, o sigui λ \sum dim E_{λ} = n .

Com que vectors propis de valors propis diferents són sempre independents, es dedueix el criteri suficient més usat: si $A$ té $n$ valors propis diferents, és diagonalitzable. Però no és necessari: la matriu identitat té un únic valor propi i és diagonal.

Construcció de P i D i comprovació

Un cop saps que $A$ és diagonalitzable, tria una base de vectors propis $v_{1}, \dots, v_{n}$ (ajuntant les bases dels espais propis) amb $A v_{i} = λ_{i} v_{i}$ i posa

P = [v_{1} v_{2} \dots v_{n}], D = diag (λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}) .

El mateix ordre. L'entrada $i$ de la diagonal de $D$ ha de ser el valor propi de la columna $i$ de $P$ . Si un valor propi té multiplicitat 2, apareix dues vegades a $D$ , a les posicions de les seves dues columnes. Qualsevol ordre és vàlid, però ha de ser coherent.

La comprovació més robusta no requereix calcular $P^{- 1}$ : com que $A P = [A v_{1} \dots A v_{n}] = [λ_{1} v_{1} \dots λ_{n} v_{n}] = P D$ , n'hi ha prou amb verificar

A P = P D .

Aquest producte comprova alhora que cada columna és un vector propi i que l'ordre de $D$ és correcte. Els tres controls mínims són: $P$ és quadrada, $det P \neq = 0$ i $A P = P D$ .

Arrel repetida, però diagonalitzable

Sigui $A = 121 21 - 1 003$ . Desenvolupant $det (A - λ I)$ per la tercera columna,

p_{A} (λ) = (3 - λ) 1 - λ 2 2 1 - λ = (3 - λ) ((1 - λ)^{2} - 4) = (3 - λ) (λ - 3) (λ + 1) = - (λ - 3)^{2} (λ + 1) .

Valors propis: $λ = 3$ amb $m_{a} (3) = 2$ i $λ = - 1$ amb $m_{a} (- 1) = 1$ . Control: $3 + 3 - 1 = 5 = tr A$ i $3 \cdot 3 \cdot (- 1) = - 9 = det A$ .

Espai propi de $3$ . $A - 3 I = - 2 21 2 - 2 - 1 000$ . Les tres files són proporcionals a $(1, - 1, 0)$ , així que el rang és 1 i $m_{g} (3) = 3 - 1 = 2 = m_{a} (3)$ . L'única equació és $x - y = 0$ , amb $y$ i $z$ lliures: $E_{3} = ⟨(1, 1, 0), (0, 0, 1)⟩$ .

Espai propi de $- 1$ . $A + I = 221 22 - 1 004$ , rang 2. De la primera fila $y = - x$ ; de la tercera, $x - y + 4 z = 2 x + 4 z = 0$ , és a dir $z = - x /2$ . Amb $x = 2$ : $E_{- 1} = ⟨(2, - 2, - 1)⟩$ .

Decisió. $dim E_{3} + dim E_{- 1} = 2 + 1 = 3 = n$ : $A$ és diagonalitzable. Amb l'ordre $(3, 3, - 1)$ ,

P = 110001 2 - 2 - 1, D = 300030 00 - 1 .

Comprovació. $det P = 4 \neq = 0$ i

A P = 330003 - 2 21 = P D .

La primera columna de $A P$ és $3 \cdot (1, 1, 0)$ , la segona $3 \cdot (0, 0, 1)$ i la tercera $- 1 \cdot (2, - 2, - 1)$ , tal com havia de ser.

Arrel repetida i defecte geomètric: no diagonalitzable

Sigui $A = 210120113$ . Desenvolupant per la tercera fila, $p_{A} (λ) = (3 - λ) ((2 - λ)^{2} - 1) = (3 - λ) (λ - 1) (λ - 3) = - (λ - 3)^{2} (λ - 1)$ . Torna a haver-hi una arrel doble, $λ = 3$ .

A - 3 I = - 1 10 1 - 1 0 110 .

Sumant les dues primeres files s'obté $2 z = 0$ , i aleshores $x = y$ : el rang de $A - 3 I$ és 2 i $E_{3} = ⟨(1, 1, 0)⟩$ té dimensió 1. Per tant $m_{g} (3) = 1 < 2 = m_{a} (3)$ : només hi ha una direcció pròpia independent per a un valor propi que n'hauria d'aportar dues, i $A$ no és diagonalitzable (ni sobre $R$ ni sobre $C$ : el problema no és el cos, sinó la falta de vectors propis).

El cas més petit d'aquest fenomen és el cisallament $(1011)$ : $p (λ) = (λ - 1)^{2}$ , però $E_{1} = ⟨(1, 0)⟩$ té dimensió 1.

Saltar del polinomi a la conclusió

Veure una arrel doble i escriure «per tant no és diagonalitzable» (o «per tant és diagonalitzable») sense calcular $dim E_{λ}$ és l'error més freqüent i el que més punts costa. Els dos exemples anteriors tenen polinomis característics amb la mateixa estructura, una arrel doble i una de simple, i un és diagonalitzable i l'altre no. L'única diferència és el rang de $A - 3 I$ .

Sobre quin cos diagonalitzem

«Diagonalitzable» sempre vol dir diagonalitzable sobre un cos concret, i la resposta pot canviar segons el cos. La matriu de rotació de $90°$ ,

R = (01 - 1 0), p_{R} (λ) = λ^{2} + 1,

no té cap valor propi real: cap direcció del pla queda invariant en girar-lo un quart de volta, cosa que geomètricament és evident. Per tant $R$ no és diagonalitzable sobre $R$ . Sobre $C$ , en canvi, $λ^{2} + 1 = 0$ té les arrels $λ = \pm j$ (unitat imaginària en notació d'enginyeria), que són diferents, i $R$ sí que és diagonalitzable, amb vectors propis $(j, 1)$ i $(- j, 1)$ . El mateix passa amb qualsevol rotació d'angle $θ \neq = 0, π$ : el polinomi és $λ^{2} - 2 cos θ λ + 1$ i les arrels són $cos θ \pm j sin θ$ . Quan un problema no diu res, s'entén que es treballa sobre $R$ , i cal dir explícitament «no és diagonalitzable sobre $R$ perquè el polinomi característic té arrels complexes».

Aplicació: potències d'una matriu

Si $A = P D P^{- 1}$ , aleshores $A^{2} = P D P^{- 1} P D P^{- 1} = P D^{2} P^{- 1}$ , i per inducció

A^{n} = P D^{n} P^{- 1}, D^{n} = diag (λ_{1}^{n}, \dots, λ_{n}^{n}) .

Elevar una matriu diagonal és elevar cada entrada, així que el cost de calcular $A^{100}$ és el mateix que el de calcular $A^{2}$ . Aquesta és la raó pràctica per diagonalitzar: la descomposició desacobla una dinàmica en direccions independents, cadascuna de les quals evoluciona multiplicant-se per $λ^{n}$ .

Potència n-èsima d'una matriu 2x2

Tornem a $A = (4213)$ , amb $P = (11 1 - 2)$ (columnes $(1, 1)$ i $(1, - 2)$ ) i $D = diag (5, 2)$ . Com que $det P = - 3$ ,

P^{- 1} = \frac{1}{3} (21 1 - 1), A^{n} = P D^{n} P^{- 1} = \frac{1}{3} (11 1 - 2) (5^{n} 0 0 2^{n}) (21 1 - 1) = \frac{1}{3} (2 \cdot 5^{n} + 2^{n} 2 \cdot 5^{n} - 2 \cdot 2^{n} 5^{n} - 2^{n} 5^{n} + 2 \cdot 2^{n}) .

Comprovació amb $n = 1$ : $\frac{1}{3} (12639) = A$ . Amb $n = 2$ , la fórmula dona $\frac{1}{3} (54422133) = (1814711)$ , que coincideix amb el producte directe $A \cdot A$ . Per exemple, $A^{10}$ té a l'entrada $(1, 2)$ el valor $(5^{10} - 2^{10}) /3 = 3255867$ , sense fer nou productes de matrius.

Comprova amb n = 1 i n = 2

Una fórmula per a $A^{n}$ es verifica en deu segons substituint $n = 1$ (ha de sortir $A$ ) i $n = 2$ (compara amb $A \cdot A$ ). Si les dues comprovacions passen, la fórmula és correcta amb una probabilitat altíssima; si una falla, l'error sol ser a $P^{- 1}$ o a l'ordre del producte $P D^{n} P^{- 1}$ .

Matrius simètriques

Les matrius simètriques reals ( $A^{T} = A$ ) tenen un comportament excepcionalment bo, i apareixen contínuament en enginyeria (matrius d'inèrcia, de rigidesa, de covariància, formes quadràtiques).

Teorema espectral (cas real)

Tota matriu simètrica real és diagonalitzable sobre $R$ : tots els seus valors propis són reals i, a més, els vectors propis de valors propis diferents són ortogonals. Es pot triar $P$ ortogonal ( $P^{- 1} = P^{T}$ ).

Per exemple, $A = 211121112$ té $p_{A} (λ) = - (λ - 4) (λ - 1)^{2}$ . Tot i l'arrel doble, el teorema garanteix que $dim E_{1} = 2$ , i en efecte $A - I$ té les tres files iguals a $(1, 1, 1)$ , rang 1, amb $E_{1} = {x + y + z = 0} = ⟨(1, - 1, 0), (1, 0, - 1)⟩$ i $E_{4} = ⟨(1, 1, 1)⟩$ . Observa que $(1, 1, 1)$ és perpendicular a tot $E_{1}$ . Si una matriu simètrica et surt no diagonalitzable, has fet un error de càlcul.

Protocol de diagonalització

Aquest és l'ordre que espera un corrector, i cada pas dona punts per separat:

Polinomi característic. Calcula $det (A - λ I)$ aprofitant l'estructura (files o columnes amb zeros, blocs triangulars, factors comuns). Factoritza'l completament i escriu cada valor propi amb la seva multiplicitat algebraica. Control: suma $= tr A$ , producte $= det A$ .
Cos. Si alguna arrel no és de $K$ , la matriu no és diagonalitzable sobre $K$ . Digues-ho i, si escau, continua sobre $C$ .
Espais propis. Per a cada valor propi, escriu $A - λ I$ , calcula'n el rang i dedueix $m_{g} (λ) = n - rang (A - λ I)$ . Resol el sistema homogeni i dona una base de $E_{λ}$ .
Decisió. Compara $m_{g}$ amb $m_{a}$ per a cada valor propi. Si coincideixen totes, és diagonalitzable; si alguna falla, no ho és, i has d'assenyalar quin valor propi «perd» direccions.
$P$ i $D$ . Columnes de $P$ = vectors propis; diagonal de $D$ = valors propis, en el mateix ordre.
Comprovació. $det P \neq = 0$ i $A P = P D$ . Només si et demanen $A^{n}$ o $A^{- 1}$ calcula $P^{- 1}$ .

Llista de comprovació

El polinomi característic té grau $n$ i els valors propis sumen la traça i multipliquen el determinant?
Has calculat $dim E_{λ}$ per a cada arrel repetida, en lloc de decidir només amb el polinomi?
La suma de les dimensions dels espais propis és $n$ ?
Cada columna de $P$ està a la posició del seu valor propi a $D$ ?
Has comprovat $A P = P D$ (o almenys $A v_{i} = λ_{i} v_{i}$ per a cada columna)?
Has dit sobre quin cos diagonalitzes?

Exercicis proposats

Exercici 1. Diagonalitza $A = (1320)$ i troba una fórmula per a $A^{n}$ .

Solució de l'exercici 1

$p_{A} (λ) = (1 - λ) (- λ) - 6 = λ^{2} - λ - 6 = (λ - 3) (λ + 2)$ . Dos valors propis diferents, $3$ i $- 2$ : diagonalitzable. Control: $3 - 2 = 1 = tr A$ , $3 \cdot (- 2) = - 6 = det A$ .

$E_{3}$ : $A - 3 I = (- 2 3 2 - 3)$ , equació $x = y$ , $E_{3} = ⟨(1, 1)⟩$ . $E_{- 2}$ : $A + 2 I = (3322)$ , equació $3 x + 2 y = 0$ , $E_{- 2} = ⟨(2, - 3)⟩$ .

$P = (11 2 - 3)$ , $D = diag (3, - 2)$ , $det P = - 5$ , $P^{- 1} = \frac{1}{5} (31 2 - 1)$ . Comprovació: $A P = (33 - 4 6) = P D$ . Aleshores

A^{n} = \frac{1}{5} (3 \cdot 3^{n} + 2 (- 2)^{n} 3 \cdot 3^{n} - 3 (- 2)^{n} 2 \cdot 3^{n} - 2 (- 2)^{n} 2 \cdot 3^{n} + 3 (- 2)^{n}) .

Amb $n = 2$ : $\frac{1}{5} (35151030) = (7326) = A^{2}$ .

Exercici 2. Estudia per a quins valors de $a \in R$ és diagonalitzable $A = 3 a 1 032001$ , i diagonalitza-la quan sigui possible.

Solució de l'exercici 2

La matriu és triangular inferior, així que $p_{A} (λ) = (3 - λ)^{2} (1 - λ)$ per a qualsevol $a$ : valors propis $3$ (doble) i $1$ (simple). El valor propi simple no dona problemes; tot depèn de $dim E_{3}$ .

A - 3 I = 0 a 1 002 00 - 2 .

Si $a \neq = 0$ , les files $(a, 0, 0)$ i $(1, 2, - 2)$ són independents, el rang és 2 i $m_{g} (3) = 1 < 2$ : no diagonalitzable. Si $a = 0$ , només queda la fila $(1, 2, - 2)$ , el rang és 1 i $m_{g} (3) = 2$ : diagonalitzable.

Per a $a = 0$ : $E_{3}$ ve donat per $x + 2 y - 2 z = 0$ , amb base $((- 2, 1, 0), (2, 0, 1))$ . $E_{1}$ : $A - I = 201022000$ dona $x = y = 0$ , $E_{1} = ⟨(0, 0, 1)⟩$ . Per tant

P = - 2 10 201001, D = diag (3, 3, 1),

i es comprova que $A P = P D$ (per exemple, la tercera columna de $A P$ és $(0, 0, 1)^{T} = 1 \cdot (0, 0, 1)^{T}$ ).

Exercici 3. Sigui $A = 211 01 - 1 0 - 1 1$ . Troba els valors propis i una base de cada espai propi, decideix si és diagonalitzable i, si ho és, escriu $P$ i $D$ i comprova que $A P = P D$ .

Solució de l'exercici 3

Desenvolupant per la primera fila, $p_{A} (λ) = (2 - λ) ((1 - λ)^{2} - 1) = (2 - λ) λ (λ - 2) = - λ (λ - 2)^{2}$ . Valors propis: $2$ (doble) i $0$ (simple). Control: $2 + 2 + 0 = 4 = tr A$ ; $det A = 0$ , coherent amb el valor propi $0$ .

$E_{2}$ : $A - 2 I = 011 0 - 1 - 1 0 - 1 - 1$ té rang 1, així que $m_{g} (2) = 2 = m_{a} (2)$ . L'equació $x - y - z = 0$ dona $E_{2} = ⟨(1, 1, 0), (1, 0, 1)⟩$ .

$E_{0} = Ker A$ : de la primera fila $x = 0$ , i de la segona $y = z$ : $E_{0} = ⟨(0, 1, 1)⟩$ .

Com que $2 + 1 = 3$ , $A$ és diagonalitzable amb

P = 110101011, D = diag (2, 2, 0), det P = - 2 \neq = 0.

Comprovació: $A P = 220202000$ , que és $P D$ (columnes $2 (1, 1, 0)$ , $2 (1, 0, 1)$ i $0 \cdot (0, 1, 1)$ ).

Als exàmens resolts del bloc trobaràs un problema complet de diagonalització amb càlcul de $A^{n}$ i un problema mixt que connecta el nucli d'un sistema homogeni amb paràmetre amb els espais propis d'una matriu. Si necessites repassar com aïllar $X$ en equacions del tipus $X (A - λ I) = B$ , que apareixen en aquest context, mira matrius i equacions matricials.