Distàncies, angles i perpendicularitat a l'espai

⏱ 9 min de lectura🔄 Actualitzat el 7 de setembre del 2026Selectivitat

Les preguntes de distàncies i angles són la segona part habitual d'un problema de geometria de les PAU: primer et fan classificar la posició relativa i després et demanen «la distància entre les dues rectes», «l'angle que formen la recta i el pla» o «el punt simètric respecte del pla». Totes les fórmules surten dels productes escalar, vectorial i mixt, i n'hi ha poques: sis distàncies, tres angles i un grapat de construccions de perpendicularitat. En aquesta pàgina tens cada fórmula amb la idea que hi ha al darrere, un exemple resolt de cada cas, els errors que més es repeteixen (sobretot el sinus de l'angle entre recta i pla) i una taula final per repassar. Convé tenir fresques les pàgines de vectors, rectes i plans i posicions relatives, perquè abans de calcular una distància sempre cal saber en quina posició estan els objectes.

Distància entre dos punts

És el mòdul del vector que els uneix:

d (P, Q) = ∣ P Q ∣ = (q_{1} - p_{1})^{2} + (q_{2} - p_{2})^{2} + (q_{3} - p_{3})^{2} .

Per exemple, $d ((1, 2, 3), (4, 0, 5)) = 9 + 4 + 4 = 17$ . Totes les altres distàncies acaben sent, en el fons, la distància entre dos punts ben triats.

Distància d'un punt a un pla

Fórmula de la distància punt-pla

Si $P = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ i $π : A x + B y + C z + D = 0$ ,

d (P, π) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}} .

El numerador és el resultat de substituir el punt a l'equació del pla (en valor absolut) i el denominador és el mòdul del vector normal. Si el punt és del pla, el numerador val zero i la distància també, com ha de ser.

Només amb el pla en forma general

La fórmula necessita els coeficients $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Si el pla ve en paramètriques o vectorial, primer passa'l a forma general (amb el producte vectorial dels directors). Aplicar la fórmula amb els nombres d'unes paramètriques és un error greu.

Distància d'un punt a un pla

Calcula la distància del punt $A = (2, 0, 4)$ al pla $π : 2 x - y + 2 z - 3 = 0$ .

d (A, π) = \frac{∣2 \cdot 2 - 0 + 2 \cdot 4 - 3∣}{4 + 1 + 4} = \frac{9}{3} = 3.

Distància d'un punt a una recta

Sigui $r$ la recta que passa per $Q$ amb director $v$ , i $P$ un punt exterior. Hi ha dos mètodes, i convé conèixer-los tots dos.

Mètode del producte vectorial. El mòdul $∣ QP \times v ∣$ és l'àrea del paral·lelogram de costats $QP$ i $v$ ; dividint per la base $∣ v ∣$ queda l'altura, que és la distància:

d (P, r) = \frac{∣ QP \times v ∣}{∣ v ∣} .

Mètode del pla perpendicular. Construeix el pla $π$ que passa per $P$ i és perpendicular a $r$ (el seu normal és $v$ ). Talla'l amb $r$ : el punt de tall $M$ és la projecció ortogonal de $P$ sobre $r$ , i $d (P, r) = d (P, M)$ . Aquest mètode és més llarg, però dona el peu de la perpendicular, que sovint també es demana (per exemple, per trobar el punt simètric).

Distància d'un punt a una recta pels dos mètodes

Calcula la distància de $P = (4, 1, 0)$ a la recta $r : (x, y, z) = (1, 0, - 1) + λ (2, 1, 2)$ .

Producte vectorial. $Q = (1, 0, - 1)$ , $v = (2, 1, 2)$ , $QP = (3, 1, 1)$ .

QP \times v = (1 \cdot 2 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 2 - 3 \cdot 2, 3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) = (1, - 4, 1), d (P, r) = \frac{1 + 16 + 1}{4 + 1 + 4} = \frac{3 2}{3} = 2 .

Pla perpendicular. El pla per $P$ amb normal $(2, 1, 2)$ és $2 x + y + 2 z + D = 0$ amb $8 + 1 + 0 + D = 0$ , és a dir, $2 x + y + 2 z - 9 = 0$ . Substituint la recta: $2 (1 + 2 λ) + λ + 2 (- 1 + 2 λ) = 9$ , d'on $9 λ = 9$ i $λ = 1$ . La projecció és $M = (3, 1, 1)$ i $d (P, M) = 1 + 0 + 1 = 2$ . Els dos mètodes coincideixen.

Distància entre dos plans, i entre recta i pla

Si dos plans es tallen, la distància és zero. Si són paral·lels, la distància és la de qualsevol punt d'un d'ells a l'altre. Amb els plans escrits amb els mateixos coeficients $A$ , $B$ , $C$ :

π_{1} : A x + B y + C z + D_{1} = 0, π_{2} : A x + B y + C z + D_{2} = 0 ⟹ d (π_{1}, π_{2}) = \frac{∣ D _{2} - D _{1} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}} .

Distància entre plans paral·lels

Distància entre $π_{1} : x - 2 y + 2 z = 1$ i $π_{2} : 2 x - 4 y + 4 z = 8$ .

Els normals $(1, - 2, 2)$ i $(2, - 4, 4)$ són proporcionals: plans paral·lels. Abans d'aplicar la fórmula, dividim $π_{2}$ per 2 perquè tingui els mateixos coeficients: $x - 2 y + 2 z = 4$ . Aleshores

d (π_{1}, π_{2}) = \frac{∣4 - 1∣}{1 + 4 + 4} = \frac{3}{3} = 1.

(Si no haguéssim igualat els coeficients, $∣8 - 1∣/3$ hauria donat un resultat fals.)

Per a una recta i un pla: si la recta talla el pla o hi està continguda, la distància és zero; si és paral·lela, es pren un punt qualsevol $P$ de la recta i $d (r, π) = d (P, π)$ .

Distància entre recta i pla paral·lels

La recta $r : (1, 2, 0) + λ (1, 1, 3)$ i el pla $π : x + 2 y - z = 2$ són paral·lels, perquè $(1, 1, 3) \cdot (1, 2, - 1) = 0$ i el punt $(1, 2, 0)$ no és del pla ( $1 + 4 - 0 = 5 \neq = 2$ ). La distància és

d (r, π) = d ((1, 2, 0), π) = \frac{∣1 + 4 - 0 - 2∣}{6} = \frac{3}{6} = \frac{6}{2} .

Distància entre dues rectes

Aquí és imprescindible classificar primer la posició relativa:

Coincidents o secants: distància zero.
Paral·leles: tria un punt $P$ d'una recta i calcula la distància de $P$ a l'altra, $d (r, s) = d (P, s)$ , amb la fórmula del producte vectorial.
Es creuen: amb $P \in r$ , $Q \in s$ i directors $u$ , $v$ ,

d (r, s) = \frac{[ P Q , u , v ]}{∣ u \times v ∣} .

La idea de la fórmula del producte mixt: el numerador és el volum del paral·lelepípede de costats $P Q$ , $u$ , $v$ , i el denominador és l'àrea de la base formada per $u$ i $v$ ; el quocient és l'altura, que és exactament la distància entre les rectes. Hi ha un segon mètode, el del pla paral·lel: construeix el pla que conté $r$ i és paral·lel a $s$ (passa per $P$ amb normal $u \times v$ ) i calcula la distància de $Q$ a aquest pla.

Distància entre dues rectes que es creuen

Calcula la distància entre $r : (1, 0, 2) + λ (1, 1, - 1)$ i $s : (2, 3, 0) + μ (2, - 1, 1)$ .

Els directors no són proporcionals i $P Q = (1, 3, - 2)$ . El producte mixt val

[P Q, u, v] = 112 31 - 1 - 2 - 1 1 = 1 - 6 + 2 + 4 - 1 - 3 = - 3 \neq = 0,

així que les rectes es creuen. El producte vectorial dels directors és $u \times v = (1 - 1, - 2 - 1, - 1 - 2) = (0, - 3, - 3)$ , de mòdul $32$ . Per tant,

d (r, s) = \frac{∣ - 3∣}{3 2} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2} .

Comprovació pel mètode del pla paral·lel. El pla que conté $r$ i és paral·lel a $s$ té normal $(0, 1, 1)$ (simplificant $(0, - 3, - 3)$ ) i passa per $(1, 0, 2)$ : $y + z - 2 = 0$ . La distància de $Q = (2, 3, 0)$ a aquest pla és $\frac{∣3 + 0 - 2∣}{2} = \frac{2}{2}$ . Coincideix.

Distància entre dues rectes paral·leles

Distància entre $r : (1, 0, 2) + λ (1, 1, - 1)$ i $t : (0, 1, 1) + μ (- 2, - 2, 2)$ .

Els directors són proporcionals, així que la fórmula del producte mixt no es pot fer servir ( $u \times v = 0$ ). Agafem el punt $Q = (0, 1, 1)$ de $t$ i calculem la seva distància a $r$ : $QP = (1, - 1, 1)$ i

QP \times u = ((- 1) (- 1) - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1), 1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 1) = (0, 2, 2), d (r, t) = \frac{8}{3} = \frac{2 2}{3} = \frac{2 6}{3} .

Aplicar la fórmula sense classificar

La fórmula del producte mixt només val per a rectes que es creuen. Si les rectes són paral·leles, el denominador és zero i el càlcul no té sentit; si són secants o coincidents, la distància és zero i no cal calcular res. Sempre: primer la posició relativa, després la fórmula.

Angles

Tots els angles entre varietats es demanen com a angle agut (entre $0^{\circ}$ i $9 0^{\circ}$ ), i per això apareix el valor absolut a totes les fórmules.

Angles entre rectes i plans

Dues rectes amb directors $u$ , $v$ : $cos α = \frac{∣ u \cdot v ∣}{∣ u ∣ ∣ v ∣}$ .
Dos plans amb normals $n_{1}$ , $n_{2}$ : $cos α = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣ ∣ n _{2} ∣}$ .
Recta i pla amb director $v$ i normal $n$ : $sin α = \frac{∣ v \cdot n ∣}{∣ v ∣ ∣ n ∣}$ .

El cas recta-pla porta sinus i no cosinus. La raó: l'angle que calcula el producte escalar és el que formen $v$ i $n$ , però el normal és perpendicular al pla, així que l'angle entre la recta i el pla és el complementari d'aquell. I el cosinus del complementari és el sinus. Si l'enunciat demana l'angle entre dues rectes que es creuen, la fórmula és la mateixa que per a rectes secants: només depèn de les direccions.

Angle entre dues rectes i entre dos plans

L'angle entre les rectes de directors $u = (1, 0, 1)$ i $v = (1, 1, 0)$ compleix $cos α = \frac{∣1 + 0 + 0∣}{2 2} = \frac{1}{2}$ , així que $α = 6 0^{\circ}$ .

L'angle entre els plans $x + z = 0$ i $z = 0$ , de normals $(1, 0, 1)$ i $(0, 0, 1)$ , compleix $cos α = \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2}$ , així que $α = 4 5^{\circ}$ .

Angle entre recta i pla

Angle entre la recta de director $v = (1, 2, 2)$ i el pla de normal $n = (2, 1, 2)$ .

sin α = \frac{∣1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2∣}{9 9} = \frac{8}{9}, α = arcsin \frac{8}{9} \approx 62, 7^{\circ} .

Si haguessis fet $arccos \frac{8}{9} \approx 27, 3^{\circ}$ , hauries obtingut l'angle entre el director i el normal, que és el complementari: $27, 3^{\circ} + 62, 7^{\circ} = 9 0^{\circ}$ .

Perpendicularitat i paral·lelisme

Les condicions es llegeixen directament dels vectors:

Situació	Condició
Rectes amb direccions perpendiculars	$u \cdot v = 0$ (i, per ser perpendiculars en sentit estricte, han de tallar-se)
Recta perpendicular a un pla	$v$ paral·lel a $n$ (components proporcionals)
Recta paral·lela a un pla	$v \cdot n = 0$ (després cal veure si hi està continguda)
Plans perpendiculars	$n_{1} \cdot n_{2} = 0$
Plans paral·lels	$n_{1}$ i $n_{2}$ proporcionals

D'aquí surten quatre construccions que apareixen contínuament a l'examen.

Recta perpendicular a un pla per un punt. Té director igual al normal del pla. Pla perpendicular a una recta per un punt. Té normal igual al director de la recta.

Projecció ortogonal d'un punt sobre un pla. Traça la recta perpendicular al pla per $P$ i talla-la amb el pla. Punt simètric respecte d'un pla. Si $M$ és la projecció, el simètric és $P^{'} = 2 M - P$ , perquè $M$ és el punt mitjà de $P$ i $P^{'}$ . Per a la projecció i el simètric respecte d'una recta, el paper del pla i la recta s'intercanvien: pla perpendicular a la recta per $P$ , tallat amb la recta.

Projecció ortogonal i simètric respecte d'un pla

Troba la projecció ortogonal de $A = (2, 0, 4)$ sobre el pla $π : 2 x - y + 2 z - 3 = 0$ i el punt simètric de $A$ respecte de $π$ .

Recta perpendicular a $π$ per $A$ : director $(2, - 1, 2)$ , $x = 2 + 2 λ$ , $y = - λ$ , $z = 4 + 2 λ$ . Substituint al pla, $2 (2 + 2 λ) + λ + 2 (4 + 2 λ) - 3 = 0$ , és a dir, $9 + 9 λ = 0$ , d'on $λ = - 1$ . La projecció és $M = (0, 1, 2)$ (comprovació: $0 - 1 + 4 - 3 = 0$ ).

Simètric: $A^{'} = 2 M - A = (0, 2, 4) - (2, 0, 4) = (- 2, 2, 0)$ .

Fixa't que $d (A, M) = 4 + 1 + 4 = 3$ , que coincideix amb la distància punt-pla calculada abans amb la fórmula. És una bona comprovació creuada.

Pla perpendicular a una recta i simètric respecte d'una recta

El pla perpendicular a $r : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{3}$ que passa per $Q = (0, 1, 1)$ té normal $(2, 1, 3)$ : $2 x + y + 3 z + D = 0$ amb $0 + 1 + 3 + D = 0$ , és a dir, $2 x + y + 3 z - 4 = 0$ .

Per al simètric d'un punt respecte d'una recta, reprenem l'exemple de la distància punt-recta: la projecció de $P = (4, 1, 0)$ sobre $r : (1, 0, - 1) + λ (2, 1, 2)$ era $M = (3, 1, 1)$ . El simètric és $P^{'} = 2 M - P = (6, 2, 2) - (4, 1, 0) = (2, 1, 2)$ .

Comprova amb la distància

Quan trobis una projecció $M$ o un simètric $P^{'}$ , comprova que $d (P, M) = d (M, P^{'})$ i que $M$ pertany al pla (o a la recta). Són dues línies i detecten gairebé tots els errors de signe.

Taula final de fórmules imprescindibles

Concepte	Fórmula
Distància entre dos punts	$d (P, Q) = ∣ P Q ∣$
Punt-pla	$d (P, π) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$
Punt-recta	$d (P, r) = \frac{∣ QP \times v ∣}{∣ v ∣}$ , amb $Q \in r$
Plans paral·lels	$d (π_{1}, π_{2}) = \frac{∣ D _{2} - D _{1} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ (mateixos $A, B, C$ )
Recta i pla paral·lels	$d (r, π) = d (P, π)$ , amb $P \in r$
Rectes paral·leles	$d (r, s) = d (P, s)$ , amb $P \in r$
Rectes que es creuen	$d (r, s) = \frac{∣[ P Q , u , v ]∣}{∣ u \times v ∣}$
Angle recta-recta	$cos α = \frac{∣ u \cdot v ∣}{∣ u ∣ ∣ v ∣}$
Angle pla-pla	$cos α = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣ ∣ n _{2} ∣}$
Angle recta-pla	$sin α = \frac{∣ v \cdot n ∣}{∣ v ∣ ∣ n ∣}$
Simètric de $P$ respecte de la projecció $M$	$P^{'} = 2 M - P$

Com redactar la resposta a l'examen

Una resposta de distància ha de deixar clar quin objecte és cada cosa i per què es pot aplicar la fórmula. Model per a dues rectes:

Els directors $u = \dots$ i $v = \dots$ no són proporcionals, i el producte mixt $[P Q, u, v] = \dots \neq = 0$ , de manera que les rectes es creuen. Aleshores $d (r, s) = \frac{∣ [ P Q , u , v ] ∣}{∣ u \times v ∣} = \dots$

Model per a un angle recta-pla:

El director de la recta és $v = \dots$ i el normal del pla és $n = \dots$ . Com que l'angle entre la recta i el pla és el complementari de l'angle entre $v$ i $n$ , $sin α = \frac{∣ v \cdot n ∣}{∣ v ∣∣ n ∣} = \dots$ , i per tant $α = \dots$

Dona les distàncies amb radicals simplificats (i, si vols, un valor decimal aproximat) i els angles en graus amb un decimal, indicant que són aguts.

Llista de comprovació

Has classificat la posició relativa abans d'escollir la fórmula de distància?
El pla és en forma general abans d'aplicar la fórmula punt-pla?
En plans paral·lels, tenen els mateixos coeficients $A$ , $B$ , $C$ ?
Angle recta-pla: has usat el sinus?
Has comprovat la projecció substituint-la al pla o a la recta, i el simètric amb $M$ com a punt mitjà?

Exercicis proposats

Exercici 1. Calcula la distància del punt $P = (2, - 1, 3)$ al pla $x + 2 y + 2 z = 1$ . Després, troba el punt simètric de $A = (1, 2, 3)$ respecte del pla $x + y + z = 3$ i la distància de $A$ a aquest pla.

Solució de l'exercici 1

Primera part: $d (P, π) = \frac{∣2 - 2 + 6 - 1∣}{1 + 4 + 4} = \frac{5}{3}$ .

Segona part: recta perpendicular al pla per $A$ : $(1 + λ, 2 + λ, 3 + λ)$ . Substituint, $6 + 3 λ = 3$ , d'on $λ = - 1$ i la projecció és $M = (0, 1, 2)$ (comprovació: $0 + 1 + 2 = 3$ ). Simètric: $A^{'} = 2 M - A = (- 1, 0, 1)$ . Distància: $d (A, M) = 1 + 1 + 1 = 3$ , que coincideix amb la fórmula $\frac{∣1 + 2 + 3 - 3∣}{3} = 3$ .

Exercici 2. Sigui $r$ la recta $x = 1 + λ$ , $y = 2 λ$ , $z = 2 - λ$ . Calcula l'angle que forma $r$ amb el pla $2 x + y - z = 0$ i l'angle que forma amb una recta de director $(1, 1, 0)$ .

Solució de l'exercici 2

Director de $r$ : $v = (1, 2, - 1)$ . Normal del pla: $n = (2, 1, - 1)$ .

Angle recta-pla: $sin α = \frac{∣2 + 2 + 1∣}{6 6} = \frac{5}{6}$ , així que $α = arcsin \frac{5}{6} \approx 56, 4^{\circ}$ .

Angle entre rectes: $cos β = \frac{∣1 + 2 + 0∣}{6 2} = \frac{3}{12} = \frac{3}{2}$ , així que $β = 3 0^{\circ}$ .

Exercici 3. Comprova que les rectes $r : (1, 1, 0) + λ (1, 0, 1)$ i $s : (0, 0, 1) + μ (0, 1, 1)$ es creuen i calcula la distància entre elles.

Solució de l'exercici 3

Els directors $u = (1, 0, 1)$ i $v = (0, 1, 1)$ no són proporcionals. Amb $P = (1, 1, 0)$ i $Q = (0, 0, 1)$ , $P Q = (- 1, - 1, 1)$ i

[P Q, u, v] = - 1 10 - 1 01 111 = 0 + 0 + 1 - 0 - (- 1) - (- 1) = 3 \neq = 0,

de manera que es creuen. $u \times v = (0 - 1, 0 - 1, 1 - 0) = (- 1, - 1, 1)$ , de mòdul $3$ . Per tant,

d (r, s) = \frac{3}{3} = 3 .

📄 Vols aquest tema en paper? Descarrega el resum del bloc en PDF.

Descarrega el PDF