Distàncies, angles i perpendicularitat a l'espai

Les preguntes de distàncies i angles són la segona part habitual d'un problema de geometria de les PAU: primer et fan classificar la posició relativa i després et demanen «la distància entre les dues rectes», «l'angle que formen la recta i el pla» o «el punt simètric respecte del pla». Totes les fórmules surten dels productes escalar, vectorial i mixt, i n'hi ha poques: sis distàncies, tres angles i un grapat de construccions de perpendicularitat. En aquesta pàgina tens cada fórmula amb la idea que hi ha al darrere, un exemple resolt de cada cas, els errors que més es repeteixen (sobretot el sinus de l'angle entre recta i pla) i una taula final per repassar. Convé tenir fresques les pàgines de vectors, rectes i plans i posicions relatives, perquè abans de calcular una distància sempre cal saber en quina posició estan els objectes.

Distància entre dos punts

És el mòdul del vector que els uneix:

$$d(P, Q) = |\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{(q_1 - p_1)^2 + (q_2 - p_2)^2 + (q_3 - p_3)^2}.$$

Per exemple, $d\big((1, 2, 3), (4, 0, 5)\big) = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17}$. Totes les altres distàncies acaben sent, en el fons, la distància entre dos punts ben triats.

Distància d'un punt a un pla

El numerador és el resultat de substituir el punt a l'equació del pla (en valor absolut) i el denominador és el mòdul del vector normal. Si el punt és del pla, el numerador val zero i la distància també, com ha de ser.

Distància d'un punt a una recta

Sigui $r$ la recta que passa per $Q$ amb director $\vec{v}$, i $P$ un punt exterior. Hi ha dos mètodes, i convé conèixer-los tots dos.

Mètode del producte vectorial. El mòdul $|\overrightarrow{QP} \times \vec{v}|$ és l'àrea del paral·lelogram de costats $\overrightarrow{QP}$ i $\vec{v}$; dividint per la base $|\vec{v}|$ queda l'altura, que és la distància:

$$d(P, r) = \frac{|\overrightarrow{QP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}.$$

Mètode del pla perpendicular. Construeix el pla $\pi$ que passa per $P$ i és perpendicular a $r$ (el seu normal és $\vec{v}$). Talla'l amb $r$: el punt de tall $M$ és la projecció ortogonal de $P$ sobre $r$, i $d(P, r) = d(P, M)$. Aquest mètode és més llarg, però dona el peu de la perpendicular, que sovint també es demana (per exemple, per trobar el punt simètric).

Distància entre dos plans, i entre recta i pla

Si dos plans es tallen, la distància és zero. Si són paral·lels, la distància és la de qualsevol punt d'un d'ells a l'altre. Amb els plans escrits amb els mateixos coeficients $A$, $B$, $C$:

$$\pi_1: Ax + By + Cz + D_1 = 0, \quad \pi_2: Ax + By + Cz + D_2 = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad d(\pi_1, \pi_2) = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$$

Per a una recta i un pla: si la recta talla el pla o hi està continguda, la distància és zero; si és paral·lela, es pren un punt qualsevol $P$ de la recta i $d(r, \pi) = d(P, \pi)$.

Distància entre dues rectes

Aquí és imprescindible classificar primer la posició relativa:

• Coincidents o secants: distància zero.
• Paral·leles: tria un punt $P$ d'una recta i calcula la distància de $P$ a l'altra, $d(r, s) = d(P, s)$, amb la fórmula del producte vectorial.
• Es creuen: amb $P \in r$, $Q \in s$ i directors $\vec{u}$, $\vec{v}$,

$$d(r, s) = \frac{\big|[\overrightarrow{PQ}, \vec{u}, \vec{v}]\big|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}.$$

La idea de la fórmula del producte mixt: el numerador és el volum del paral·lelepípede de costats $\overrightarrow{PQ}$, $\vec{u}$, $\vec{v}$, i el denominador és l'àrea de la base formada per $\vec{u}$ i $\vec{v}$; el quocient és l'altura, que és exactament la distància entre les rectes. Hi ha un segon mètode, el del pla paral·lel: construeix el pla que conté $r$ i és paral·lel a $s$ (passa per $P$ amb normal $\vec{u} \times \vec{v}$) i calcula la distància de $Q$ a aquest pla.

Angles

Tots els angles entre varietats es demanen com a angle agut (entre $0^\circ$ i $90^\circ$), i per això apareix el valor absolut a totes les fórmules.

El cas recta-pla porta sinus i no cosinus. La raó: l'angle que calcula el producte escalar és el que formen $\vec{v}$ i $\vec{n}$, però el normal és perpendicular al pla, així que l'angle entre la recta i el pla és el complementari d'aquell. I el cosinus del complementari és el sinus. Si l'enunciat demana l'angle entre dues rectes que es creuen, la fórmula és la mateixa que per a rectes secants: només depèn de les direccions.

Perpendicularitat i paral·lelisme

Les condicions es llegeixen directament dels vectors:

Situació	Condició
Rectes amb direccions perpendiculars	$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ (i, per ser perpendiculars en sentit estricte, han de tallar-se)
Recta perpendicular a un pla	$\vec{v}$ paral·lel a $\vec{n}$ (components proporcionals)
Recta paral·lela a un pla	$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$ (després cal veure si hi està continguda)
Plans perpendiculars	$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$
Plans paral·lels	$\vec{n}_1$ i $\vec{n}_2$ proporcionals

D'aquí surten quatre construccions que apareixen contínuament a l'examen.

Recta perpendicular a un pla per un punt. Té director igual al normal del pla. Pla perpendicular a una recta per un punt. Té normal igual al director de la recta.

Projecció ortogonal d'un punt sobre un pla. Traça la recta perpendicular al pla per $P$ i talla-la amb el pla. Punt simètric respecte d'un pla. Si $M$ és la projecció, el simètric és $P' = 2M - P$, perquè $M$ és el punt mitjà de $P$ i $P'$. Per a la projecció i el simètric respecte d'una recta, el paper del pla i la recta s'intercanvien: pla perpendicular a la recta per $P$, tallat amb la recta.

Taula final de fórmules imprescindibles

Concepte	Fórmula
Distància entre dos punts	$d(P, Q) = \lvert \overrightarrow{PQ} \rvert$
Punt-pla	$d(P, \pi) = \dfrac{\lvert A x_0 + B y_0 + C z_0 + D \rvert}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Punt-recta	$d(P, r) = \dfrac{\lvert \overrightarrow{QP} \times \vec{v} \rvert}{\lvert \vec{v} \rvert}$, amb $Q \in r$
Plans paral·lels	$d(\pi_1, \pi_2) = \dfrac{\lvert D_2 - D_1 \rvert}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ (mateixos $A, B, C$)
Recta i pla paral·lels	$d(r, \pi) = d(P, \pi)$, amb $P \in r$
Rectes paral·leles	$d(r, s) = d(P, s)$, amb $P \in r$
Rectes que es creuen	$d(r, s) = \dfrac{\lvert [\overrightarrow{PQ}, \vec{u}, \vec{v}] \rvert}{\lvert \vec{u} \times \vec{v} \rvert}$
Angle recta-recta	$\cos \alpha = \dfrac{\lvert \vec{u} \cdot \vec{v} \rvert}{\lvert \vec{u} \rvert \lvert \vec{v} \rvert}$
Angle pla-pla	$\cos \alpha = \dfrac{\lvert \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 \rvert}{\lvert \vec{n}_1 \rvert \lvert \vec{n}_2 \rvert}$
Angle recta-pla	$\sin \alpha = \dfrac{\lvert \vec{v} \cdot \vec{n} \rvert}{\lvert \vec{v} \rvert \lvert \vec{n} \rvert}$
Simètric de $P$ respecte de la projecció $M$	$P' = 2M - P$

Com redactar la resposta a l'examen

Una resposta de distància ha de deixar clar quin objecte és cada cosa i per què es pot aplicar la fórmula. Model per a dues rectes:

Els directors $\vec{u} = \ldots$ i $\vec{v} = \ldots$ no són proporcionals, i el producte mixt $[\overrightarrow{PQ}, \vec{u}, \vec{v}] = \ldots \neq 0$, de manera que les rectes es creuen. Aleshores $d(r, s) = \dfrac{|[\overrightarrow{PQ}, \vec{u}, \vec{v}]|}{|\vec{u} \times \vec{v}|} = \ldots$

Model per a un angle recta-pla:

El director de la recta és $\vec{v} = \ldots$ i el normal del pla és $\vec{n} = \ldots$. Com que l'angle entre la recta i el pla és el complementari de l'angle entre $\vec{v}$ i $\vec{n}$, $\sin \alpha = \dfrac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|} = \ldots$, i per tant $\alpha = \ldots$

Dona les distàncies amb radicals simplificats (i, si vols, un valor decimal aproximat) i els angles en graus amb un decimal, indicant que són aguts.

Exercicis proposats

Exercici 1. Calcula la distància del punt $P = (2, -1, 3)$ al pla $x + 2y + 2z = 1$. Després, troba el punt simètric de $A = (1, 2, 3)$ respecte del pla $x + y + z = 3$ i la distància de $A$ a aquest pla.

Solució de l'exercici 1

Primera part: $d(P, \pi) = \dfrac{|2 - 2 + 6 - 1|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \dfrac{5}{3}$.

Segona part: recta perpendicular al pla per $A$: $(1 + \lambda, 2 + \lambda, 3 + \lambda)$. Substituint, $6 + 3\lambda = 3$, d'on $\lambda = -1$ i la projecció és $M = (0, 1, 2)$ (comprovació: $0 + 1 + 2 = 3$). Simètric: $A' = 2M - A = (-1, 0, 1)$. Distància: $d(A, M) = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$, que coincideix amb la fórmula $\dfrac{|1 + 2 + 3 - 3|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

Exercici 2. Sigui $r$ la recta $x = 1 + \lambda$, $y = 2\lambda$, $z = 2 - \lambda$. Calcula l'angle que forma $r$ amb el pla $2x + y - z = 0$ i l'angle que forma amb una recta de director $(1, 1, 0)$.

Solució de l'exercici 2

Director de $r$: $\vec{v} = (1, 2, -1)$. Normal del pla: $\vec{n} = (2, 1, -1)$.

Angle recta-pla: $\sin \alpha = \dfrac{|2 + 2 + 1|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \dfrac{5}{6}$, així que $\alpha = \arcsin \dfrac{5}{6} \approx 56{,}4^\circ$.

Angle entre rectes: $\cos \beta = \dfrac{|1 + 2 + 0|}{\sqrt{6}\sqrt{2}} = \dfrac{3}{\sqrt{12}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, així que $\beta = 30^\circ$.

Exercici 3. Comprova que les rectes $r: (1, 1, 0) + \lambda (1, 0, 1)$ i $s: (0, 0, 1) + \mu (0, 1, 1)$ es creuen i calcula la distància entre elles.

Solució de l'exercici 3

Els directors $\vec{u} = (1, 0, 1)$ i $\vec{v} = (0, 1, 1)$ no són proporcionals. Amb $P = (1, 1, 0)$ i $Q = (0, 0, 1)$, $\overrightarrow{PQ} = (-1, -1, 1)$ i

$$[\overrightarrow{PQ}, \vec{u}, \vec{v}] = \begin{vmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 + 0 + 1 - 0 - (-1) - (-1) = 3 \neq 0,$$

de manera que es creuen. $\vec{u} \times \vec{v} = (0 - 1,\; 0 - 1,\; 1 - 0) = (-1, -1, 1)$, de mòdul $\sqrt{3}$. Per tant,

$$d(r, s) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}.$$