☰ Índex de temes

Espais vectorials, subespais, bases i canvi de base

⏱ 15 min de lectura🔄 Actualitzat el 7 de setembre del 2026Universitat

Un espai vectorial és l'estructura que hi ha darrere de tot el que has fet fins ara amb matrius i sistemes: els vectors de $R^{n}$ , les matrius d'una mida fixa, els polinomis de grau acotat i les solucions d'un sistema homogeni són exemples d'espai vectorial, i per això es poden tractar amb les mateixes eines. En aquesta pàgina veuràs els axiomes, el criteri per decidir si un subconjunt és un subespai, com trobar una base i la dimensió d'un subespai, com passar d'equacions a base i de base a equacions, i el canvi de base, que és l'apartat que més errors provoca a l'examen. Acabem amb el nucli i la imatge d'una matriu i la fórmula de Grassmann. Els càlculs es recolzen en el rang i en el mètode de Gauss, que trobaràs a determinants, inversa i rang i a sistemes lineals.

Axiomes d'espai vectorial i exemples

Sigui $K$ un cos (per a nosaltres, $K = R$ o $K = C$ ). Un conjunt $V$ és un $K$ -espai vectorial si té una suma $u + v$ i un producte per escalars $λ u$ que no surten de $V$ i que compleixen els vuit axiomes següents.

Axiomes d'espai vectorial

Per a tots $u, v, w \in V$ i $λ, μ \in K$ :

$u + v = v + u$ (commutativa).
$(u + v) + w = u + (v + w)$ (associativa).
Existeix un vector $0 \in V$ tal que $u + 0 = u$ (element neutre).
Per a cada $u$ existeix $- u \in V$ tal que $u + (- u) = 0$ (element oposat).
$λ (μu) = (λ μ) u$ .
$λ (u + v) = λ u + λ v$ .
$(λ + μ) u = λ u + μu$ .
$1 \cdot u = u$ .

La idea central és que un «vector» és qualsevol objecte que compleixi aquests axiomes: no cal que sigui una fletxa. Els exemples que apareixen contínuament al curs són:

$R^{n}$ : columnes de $n$ nombres reals amb la suma i el producte component a component. Dimensió $n$ .
$M_{m \times n} (R)$ : matrius reals de mida fixa. La suma només existeix entre matrius de la mateixa mida, i per això la mida forma part de la definició de l'espai. Dimensió $mn$ .
$P_{n} (R)$ : polinomis de grau menor o igual que $n$ , amb la base natural $(1, x, x^{2}, \dots, x^{n})$ . Dimensió $n + 1$ .
$F (R, R)$ : totes les funcions reals de variable real, amb $(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ i $(λ f) (x) = λ f (x)$ . Aquest té dimensió infinita.
Les solucions d'un sistema homogeni $A x = 0$ , amb les operacions de $R^{n}$ . Ho justifiquem a la secció següent.

Polinomis de grau exactament n

El conjunt de polinomis de grau exactament $n$ no és un espai vectorial: no conté el polinomi zero i, a més, la suma pot fer baixar el grau ( $x^{2} + (1 - x^{2}) = 1$ ). Per això la definició de $P_{n}$ diu «grau menor o igual que $n$ ».

Subespai vectorial: criteri operatiu

Comprovar els vuit axiomes cada vegada seria insuportable. Per sort, si $F$ és un subconjunt d'un espai vectorial $V$ que ja coneixem, els axiomes s'hereten i només cal comprovar que les operacions no surten de $F$ .

Criteri de subespai

Un subconjunt no buit $F \subseteq V$ és un subespai vectorial si i només si, per a tots $u, v \in F$ i $λ, μ \in K$ ,

λ u + μv \in F .

De manera equivalent: $0 \in F$ , $F$ és tancat per la suma i $F$ és tancat pel producte per escalars.

Provar i refutar no són tasques simètriques. Per provar que $F$ és subespai cal agafar dos vectors arbitraris de $F$ i veure que qualsevol combinació lineal també hi és. Per refutar-ho n'hi ha prou amb un contraexemple, i el més ràpid sol ser comprovar si el vector zero pertany a $F$ : si no hi pertany, ja hem acabat.

Una recta que passa per l'origen i una que no

Sigui $F = {(x, y, z) \in R^{3} : x + 2 y - z = 0}$ . El vector $0 = (0, 0, 0)$ compleix l'equació. Si $u = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ i $v = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ són de $F$ , aleshores

(λ x_{1} + μ x_{2}) + 2 (λ y_{1} + μ y_{2}) - (λ z_{1} + μ z_{2}) = λ (x_{1} + 2 y_{1} - z_{1}) + μ (x_{2} + 2 y_{2} - z_{2}) = 0,

de manera que $λ u + μv \in F$ : és un subespai (un pla per l'origen).

En canvi, $G = {(x, y, z) : x + 2 y - z = 1}$ no ho és, perquè $(0, 0, 0)$ no compleix l'equació. També falla el tancament: $(1, 0, 0)$ i $(0, 0, - 1)$ són de $G$ , però la seva suma $(1, 0, - 1)$ dona $1 + 0 + 1 = 2 \neq = 1$ .

El mateix argument, escrit en forma matricial, dona el resultat més útil del tema: el conjunt de solucions d'un sistema homogeni $A x = 0$ és sempre un subespai, perquè $A (λ u + μv) = λ A u + μ A v = 0$ . En canvi, el conjunt de solucions d'un sistema no homogeni $A x = b$ amb $b \neq = 0$ mai no és un subespai, perquè $A \cdot 0 = 0 \neq = b$ . Quan és compatible, és un espai afí: una solució particular més el subespai de solucions de l'homogeni, $x_{p} + Ker A$ .

Altres exemples i contraexemples que convé tenir a mà: les matrius simètriques de $M_{n} (R)$ sí que formen subespai; les matrius inversibles no (la matriu nul·la no és inversible); els polinomis de $P_{2}$ amb $p (1) = 0$ sí; els polinomis de $P_{2}$ amb $p (0) = 1$ no.

Combinació lineal i subespai generat

Una combinació lineal de $v_{1}, \dots, v_{k}$ és qualsevol vector de la forma $λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k}$ amb $λ_{i} \in K$ . El conjunt de totes les combinacions lineals s'anomena subespai generat,

⟨ v_{1}, \dots, v_{k} ⟩ = {λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k} : λ_{i} \in K},

i és el subespai més petit que conté tots els $v_{i}$ . Diem que ${v_{1}, \dots, v_{k}}$ és un sistema generador de $F$ si $F = ⟨ v_{1}, \dots, v_{k} ⟩$ .

La pregunta «pertany $w$ al subespai generat?» és un sistema lineal: $w \in ⟨ v_{1}, \dots, v_{k} ⟩$ si i només si el sistema amb matriu de coeficients $[v_{1} \dots v_{k}]$ (vectors per columnes) i terme independent $w$ és compatible, és a dir, si $rang [v_{1} \dots v_{k}] = rang [v_{1} \dots v_{k} ∣ w]$ .

Pertinença a un subespai generat

Siguin $v_{1} = (1, 1, 0)$ i $v_{2} = (0, 1, 2)$ . Pertany $w = (1, 3, 4)$ a $⟨ v_{1}, v_{2} ⟩$ ? Busquem $s, t$ amb $s v_{1} + t v_{2} = w$ :

⎩ ⎨ ⎧ s = 1 s + t = 3 2 t = 4 ⟹ s = 1, t = 2,

i les tres equacions són coherents. Per tant $w = v_{1} + 2 v_{2}$ i sí que hi pertany. En canvi, $w^{'} = (1, 3, 5)$ dona $s = 1$ , $t = 2$ de les dues primeres equacions però $2 t = 5$ de la tercera: el sistema és incompatible i $w^{'} \in / ⟨ v_{1}, v_{2} ⟩$ . Amb rangs: $rang [v_{1} v_{2} w] = 2$ però $rang [v_{1} v_{2} w^{'}] = 3$ .

Independència lineal

Els vectors $v_{1}, \dots, v_{k}$ són linealment independents si l'única manera d'obtenir el vector zero com a combinació lineal és amb tots els coeficients nuls:

λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k} = 0 ⟹ λ_{1} = \dots = λ_{k} = 0.

Si no, són linealment dependents, i aleshores algun d'ells és combinació lineal dels altres (hi ha redundància). El criteri de càlcul és el rang:

Criteri del rang

$v_{1}, \dots, v_{k}$ són linealment independents si i només si $rang [v_{1} \dots v_{k}] = k$ . En general, $rang [v_{1} \dots v_{k}]$ és el nombre màxim de vectors independents que hi ha entre ells.

Dues conseqüències immediates: en un espai de dimensió $n$ , més de $n$ vectors són sempre dependents, i qualsevol família que contingui el vector zero és dependent.

Tres vectors dependents

Els vectors $(1, 2, 1)$ , $(2, 1, 0)$ i $(4, 5, 2)$ són independents? Posem-los per columnes i calculem el determinant:

121210452 = 2 + 10 + 0 - 4 - 0 - 8 = 0.

El rang és menor que 3, així que són dependents. De fet, el menor $1221 = - 3 \neq = 0$ diu que el rang és 2, i es comprova que $2 (1, 2, 1) + (2, 1, 0) = (4, 5, 2)$ : el tercer vector és redundant.

Base i dimensió

Generar i ser independent responen preguntes diferents. Generar pregunta si amb els vectors donats podem construir tot l'espai; independència pregunta si sobra algun vector. Una base és una família que respon bé a les dues.

Base i dimensió

Una base d'un espai vectorial $V$ és una família ordenada $B = (v_{1}, \dots, v_{n})$ que genera $V$ i és linealment independent. Totes les bases de $V$ tenen el mateix nombre de vectors, i aquest nombre és la dimensió de $V$ , $dim V = n$ .

En un espai de dimensió $n$ , per a una família de exactament $n$ vectors, les tres propietats són equivalents: ser independent, generar l'espai i ser base. Per tant, per veure que $n$ vectors de $R^{n}$ formen base n'hi ha prou amb comprovar que el determinant de la matriu que formen és diferent de zero.

Extreure una base d'un sistema generador

Si tens un sistema generador amb redundàncies, posa els vectors per columnes, esglaona per Gauss i queda't amb els vectors originals que ocupen les columnes pivot. Els pivots es detecten a la matriu esglaonada, però els vectors de la base s'agafen de la matriu original, perquè les operacions per files canvien les columnes.

Extreure una base

Sigui $F = ⟨(1, 0, 1), (2, 1, 1), (3, 1, 2), (0, 1, 1)⟩ \subseteq R^{3}$ . Posem els vectors per columnes i esglaonem ( $F_{3} \to F_{3} - F_{1}$ , després $F_{3} \to F_{3} + F_{2}$ ):

101211312011 ⟶ 100 21 - 1 31 - 1 011 ⟶ 100210310012

Els pivots són a les columnes 1, 2 i 4. Per tant $dim F = 3$ i una base és $((1, 0, 1), (2, 1, 1), (0, 1, 1))$ : com que són tres vectors independents de $R^{3}$ , de fet $F = R^{3}$ . El tercer vector és redundant: $(3, 1, 2) = (1, 0, 1) + (2, 1, 1)$ .

Completar a una base

El procés invers també apareix: donada una família independent de $k$ vectors d'un espai de dimensió $n$ , sempre es pot completar fins a una base afegint-hi $n - k$ vectors. A la pràctica s'afegeixen vectors de la base canònica i es comprova amb un determinant que la família resultant és independent. Per exemple, $(1, 1, 0)$ i $(0, 1, 1)$ són independents a $R^{3}$ ; si hi afegim $e_{3} = (0, 0, 1)$ ,

110011001 = 1 \neq = 0,

i $((1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1))$ és una base. També hauria servit $e_{1}$ (el determinant dona $1$ ), però no qualsevol vector: $(1, 2, 1)$ no serveix perquè és la suma dels dos primers.

Coordenades respecte d'una base

Si $B = (v_{1}, \dots, v_{n})$ és una base de $V$ , cada vector $x \in V$ s'escriu d'una única manera com $x = x_{1} v_{1} + \dots + x_{n} v_{n}$ . La columna $[x]_{B} = (x_{1}, \dots, x_{n})^{T}$ són les coordenades de $x$ en la base $B$ .

Aquí hi ha una distinció que cal tenir claríssima: el vector $x$ és un objecte de $V$ (una fletxa, un polinomi, una matriu) i les coordenades $[x]_{B}$ són la seva etiqueta en una base concreta. El mateix vector té etiquetes diferents en bases diferents. A $R^{n}$ hi ha una trampa: els vectors s'escriuen amb nombres i les coordenades també, i les coordenades en la base canònica coincideixen amb el vector. Per això sempre escriurem el subíndex de la base.

Si posem els vectors de la base per columnes en una matriu $P_{B} = [v_{1} \dots v_{n}]$ (escrits en la base canònica), aleshores multiplicar per una columna de coeficients és exactament fer la combinació lineal:

P_{B} c_{1} c_{2} c_{3} = c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + c_{3} v_{3}, \overset{e}{ˊ} s a dir, x = P_{B} [x]_{B}, [x]_{B} = P_{B}^{- 1} x .

Si posessis els vectors per files, el producte deixaria de representar la combinació lineal. $P_{B}$ és inversible perquè les seves columnes són independents.

Coordenades a R^2

Sigui $B = ((1, 1), (1, - 1))$ i $x = (3, 1)$ . Busquem $c_{1}, c_{2}$ amb $c_{1} (1, 1) + c_{2} (1, - 1) = (3, 1)$ , és a dir, $c_{1} + c_{2} = 3$ i $c_{1} - c_{2} = 1$ . Sumant, $c_{1} = 2$ i $c_{2} = 1$ : $[x]_{B} = (2, 1)^{T}$ . Amb la matriu, $P_{B} = (11 1 - 1)$ i $P_{B}^{- 1} = \frac{1}{2} (11 1 - 1)$ , i $P_{B}^{- 1} (3, 1)^{T} = (2, 1)^{T}$ . Comprovació per reconstrucció: $2 (1, 1) + 1 (1, - 1) = (3, 1)$ .

Matriu de canvi de base

Suposem que tenim dues bases $B$ i $C$ del mateix espai i coneixem $[x]_{B}$ . Com que el vector és el mateix, $x = P_{B} [x]_{B} = P_{C} [x]_{C}$ , i aïllant:

Fórmula del canvi de base

[x]_{C} = P_{C}^{- 1} P_{B} [x]_{B} .

La matriu $P_{C \leftarrow B} = P_{C}^{- 1} P_{B}$ és la matriu de canvi de base de $B$ a $C$ : entra una columna de coordenades en $B$ i en surt una en $C$ . Les seves columnes són les coordenades dels vectors de $B$ expressats en la base $C$ . El canvi contrari és la inversa: $P_{B \leftarrow C} = P_{C \leftarrow B}^{- 1} = P_{B}^{- 1} P_{C}$ .

La manera més segura de no equivocar-se de direcció és fer sempre la ruta per la base canònica: primer $[x]_{B} P_{B} x$ (reconstrueix el vector), després $x P_{C}^{- 1} [x]_{C}$ (resol el sistema $P_{C} [x]_{C} = x$ ). No cal calcular cap inversa: la segona etapa és un sistema lineal.

Canvi de base complet a R^3

Siguin

B_{1} = ((1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)), B_{2} = ((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)),

i suposem que $[v]_{B_{1}} = (2, - 1, 0)^{T}$ . Trobem $[v]_{B_{2}}$ .

Etapa 1: de $B_{1}$ a la canònica. $v = 2 (1, 1, 0) - 1 (0, 1, 1) + 0 (1, 0, 1) = (2, 1, - 1)$ .

Etapa 2: de la canònica a $B_{2}$ . Busquem $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ amb $c_{1} (1, 0, 0) + c_{2} (1, 1, 0) + c_{3} (1, 1, 1) = (2, 1, - 1)$ :

⎩ ⎨ ⎧ c_{1} + c_{2} + c_{3} = 2 c_{2} + c_{3} = 1 c_{3} = - 1 ⟹ c_{3} = - 1, c_{2} = 2, c_{1} = 1.

Per tant $[v]_{B_{2}} = (1, 2, - 1)^{T}$ . Comprovació: $(1, 0, 0) + 2 (1, 1, 0) - (1, 1, 1) = (2, 1, - 1)$ .

La matriu de canvi. Si volem la matriu $P_{B_{2} \leftarrow B_{1}} = P_{B_{2}}^{- 1} P_{B_{1}}$ , calculem $P_{B_{2}}^{- 1}$ (o resolem $P_{B_{2}} y = v_{i}$ per a cada vector de $B_{1}$ ) i obtenim

P_{B_{2} \leftarrow B_{1}} = 010 - 1 01 1 - 1 1, P_{B_{2} \leftarrow B_{1}} 2 - 1 0 = 12 - 1,

que coincideix amb el resultat anterior. Fixa't que la primera columna, $(0, 1, 0)^{T}$ , són les coordenades de $(1, 1, 0)$ en $B_{2}$ : en efecte, $(1, 1, 0)$ és el segon vector de $B_{2}$ . El canvi de $B_{2}$ a $B_{1}$ és la inversa d'aquesta matriu (que té entrades $\pm \frac{1}{2}$ : les fraccions no són cap senyal d'error).

Canvi de base a P_2

A $P_{2} (R)$ , siguin $B = (1, 1 + x, 1 + x + x^{2})$ i $C = (1, x - 1, x^{2} + 1)$ , i sigui $p (x) = 3 + 2 x - x^{2}$ .

Coordenades en $B$ . Igualem $p (x) = a + b (1 + x) + c (1 + x + x^{2})$ i comparem coeficients de $x^{2}$ , $x$ i $1$ : $c = - 1$ , $b + c = 2$ , $a + b + c = 3$ . D'aquí $c = - 1$ , $b = 3$ , $a = 1$ : $[p]_{B} = (1, 3, - 1)^{T}$ . Comprovació: $1 + 3 (1 + x) - (1 + x + x^{2}) = 3 + 2 x - x^{2}$ .

Coordenades en $C$ . Ara $p (x) = a + b (x - 1) + c (x^{2} + 1)$ dona $c = - 1$ , $b = 2$ , $a - b + c = 3$ , i per tant $a = 6$ : $[p]_{C} = (6, 2, - 1)^{T}$ . Comprovació: $6 + 2 (x - 1) - (x^{2} + 1) = 3 + 2 x - x^{2}$ .

Matriu de canvi. Escrivint els vectors de cada base en la base canònica $(1, x, x^{2})$ per columnes, $P_{B} = 100110111$ i $P_{C} = 100 - 1 10 101$ , i

P_{C \leftarrow B} = P_{C}^{- 1} P_{B} = 100210111, P_{C \leftarrow B} 13 - 1 = 62 - 1 .

Igualar coeficients converteix qualsevol problema de polinomis en un sistema lineal: aquesta és tota la diferència amb $R^{3}$ .

Els quatre errors del canvi de base

Escriure $P_{B} P_{C}^{- 1}$ en lloc de $P_{C}^{- 1} P_{B}$ . El producte de matrius no commuta: l'ordre és el de la ruta $B \to$ canònica $\to C$ .
Construir $P_{B}$ amb els vectors per files.
Aplicar $P_{B}^{- 1}$ a unes coordenades que ja són en $B$ (o $P_{B}$ a un vector que ja és canònic).
Canviar l'ordre dels vectors de la base a mig càlcul: una base és una família ordenada i les coordenades depenen d'aquest ordre.

Subespais definits per equacions

Un subespai de $R^{n}$ es pot descriure de dues maneres: com a subespai generat per uns vectors (forma paramètrica) o com el conjunt de solucions d'un sistema homogeni (equacions cartesianes o implícites). Cal saber passar d'una descripció a l'altra.

Si $F = {x \in R^{n} : A x = 0}$ amb $A$ de mida $m \times n$ , aleshores

dim F = n - rang A,

és a dir, la dimensió és $n$ menys el nombre d'equacions independents. Si les equacions són dependents, el rang és menor que $m$ i la dimensió puja. Per obtenir una base: esglaona $A$ , tria les variables lliures (columnes sense pivot), expressa les altres en funció d'elles i separa els coeficients de cada paràmetre.

D'equacions a base

Sigui $F = {(x, y, z, t) \in R^{4} : x + y - z = 0, y + t = 0}$ . Les dues equacions són independents (la matriu $(1011 - 1 0 01)$ té rang 2), així que $dim F = 4 - 2 = 2$ . Triem $z$ i $t$ com a variables lliures: $y = - t$ i $x = z - y = z + t$ . Aleshores

(x, y, z, t) = (z + t, - t, z, t) = z (1, 0, 1, 0) + t (1, - 1, 0, 1),

i una base de $F$ és $((1, 0, 1, 0), (1, - 1, 0, 1))$ . Comprova que cada vector satisfà les dues equacions: $1 + 0 - 1 = 0$ , $0 + 0 = 0$ ; $1 - 1 - 0 = 0$ , $- 1 + 1 = 0$ .

De base a equacions

Sigui $G = ⟨(1, 2, 0), (0, 1, 1)⟩ \subseteq R^{3}$ . Un vector $(x, y, z)$ és de $G$ si i només si els tres vectors $(1, 2, 0)$ , $(0, 1, 1)$ , $(x, y, z)$ són dependents, és a dir, si el determinant que formen és zero:

x y z 120011 = 2 x - y + z = 0.

Per tant $G = {(x, y, z) : 2 x - y + z = 0}$ . Control dimensional: $dim G = 2$ , així que calen $3 - 2 = 1$ equacions independents, tal com toca. Comprovació: $(1, 2, 0)$ dona $2 - 2 + 0 = 0$ i $(0, 1, 1)$ dona $0 - 1 + 1 = 0$ . També s'hi arriba parametritzant: $(x, y, z) = (s, 2 s + t, t)$ i eliminant $s$ i $t$ .

En general, un subespai de dimensió $k$ dins de $R^{n}$ necessita $n - k$ equacions independents. Si en trobes més, alguna és redundant; si en trobes menys, t'has deixat alguna condició.

Nucli i imatge d'una matriu. Teorema del rang

Per a una matriu $A$ de mida $m \times n$ definim dos subespais:

El nucli, $Ker A = {x \in R^{n} : A x = 0}$ , subespai de $R^{n}$ . És el conjunt de solucions del sistema homogeni.
La imatge, $Im A = {A x : x \in R^{n}}$ , subespai de $R^{m}$ . Com que $A x$ és la combinació lineal de les columnes de $A$ amb coeficients $x_{1}, \dots, x_{n}$ , la imatge és el subespai generat per les columnes, i $dim Im A = rang A$ .

Teorema del rang (rang-nul·litat)

Per a tota matriu $A$ de mida $m \times n$ ,

dim Ker A + rang A = n .

Aquest teorema és el mateix resultat que «els graus de llibertat d'un sistema compatible són $n - rang A$ », que ja coneixes de sistemes lineals, i el mateix que «dimensió $= n$ menys nombre d'equacions independents» de la secció anterior. Són tres maneres de dir una sola cosa.

Nucli i imatge

Sigui $A = 121242132110$ . Esglaonem: $F_{2} \to F_{2} - 2 F_{1}$ i $F_{3} \to F_{3} - F_{1}$ donen les files $(0, 0, 1, - 1)$ i $(0, 0, 1, - 1)$ , i restant-les queda una fila nul·la. Per tant $rang A = 2$ i $dim Ker A = 4 - 2 = 2$ .

Nucli. De la forma esglaonada, $z = t$ i $x = - 2 y - z - t = - 2 y - 2 t$ , amb $y, t$ lliures:

(x, y, z, t) = y (- 2, 1, 0, 0) + t (- 2, 0, 1, 1), Ker A = ⟨(- 2, 1, 0, 0), (- 2, 0, 1, 1)⟩ .

Imatge. Els pivots són a les columnes 1 i 3, així que $Im A = ⟨(1, 2, 1), (1, 3, 2)⟩$ , de dimensió 2. Control: $2 + 2 = 4 = n$ .

Suma i intersecció de subespais. Fórmula de Grassmann

Si $F$ i $G$ són subespais de $V$ , la intersecció $F \cap G$ és un subespai (un vector que compleix les equacions de $F$ i les de $G$ compleix qualsevol combinació d'elles). La unió $F \cup G$ en general no ho és; el subespai més petit que conté $F$ i $G$ és la suma,

F + G = {f + g : f \in F, g \in G} = ⟨ base de F \cup base de G ⟩ .

Fórmula de Grassmann

En dimensió finita,

dim (F + G) = dim F + dim G - dim (F \cap G) .

En la pràctica: una base de $F + G$ s'extreu de la unió de les bases (esglaonant i quedant-se amb les columnes pivot); una base de $F \cap G$ s'obté ajuntant les equacions cartesianes dels dos subespais i resolent el sistema homogeni. La fórmula serveix per controlar que les dimensions quadren.

Suma i intersecció a R^3

Siguin $F = ⟨(1, 0, 1), (0, 1, 1)⟩$ i $G = ⟨(1, 1, 0), (0, 0, 1)⟩$ , tots dos de dimensió 2.

Suma. Posem els quatre vectors per columnes: $101011110001$ té rang 3 (el menor de les tres primeres columnes val $- 2$ ). Per tant $F + G = R^{3}$ .

Intersecció. Per Grassmann, $dim (F \cap G) = 2 + 2 - 3 = 1$ . Per trobar-la, l'equació de $F$ és $x + y - z = 0$ (determinant amb $(x, y, z)$ , com abans) i la de $G$ és $x - y = 0$ (els vectors de $G$ són $(s, s, t)$ ). Resolent el sistema $x = y$ , $z = x + y = 2 x$ obtenim $F \cap G = ⟨(1, 1, 2)⟩$ . Comprovació: $(1, 1, 2) = (1, 0, 1) + (0, 1, 1) \in F$ i $(1, 1, 2) = (1, 1, 0) + 2 (0, 0, 1) \in G$ .

Protocol de resolució

Gairebé tots els problemes d'aquest tema es redueixen a un rang o a un sistema lineal. Abans de calcular, decideix quina de les preguntes següents t'estan fent:

És subespai? Comprova primer si $0 \in F$ . Si hi és, escriu dos vectors arbitraris i comprova el tancament per combinacions lineals. Si no hi és, ja tens la resposta (negativa).
Base i dimensió d'un subespai generat. Vectors per columnes, Gauss, columnes pivot. $dim =$ rang.
Base i dimensió d'un subespai per equacions. Rang de la matriu del sistema, $dim = n - rang$ , variables lliures, separa els paràmetres.
Equacions d'un subespai generat. Determinant (o rang) amb el vector genèric $(x, y, z)$ , o elimina paràmetres. Control: nombre d'equacions independents $= n - dim$ .
Coordenades i canvi de base. Escriu $P_{B}$ i $P_{C}$ amb vectors per columnes, indica la direcció del canvi i fes la ruta $B \to$ canònica $\to C$ . Reconstrueix el vector amb la base de destinació per comprovar.
Suma i intersecció. Suma: unió de bases i extreure base. Intersecció: unió d'equacions i resoldre. Grassmann per controlar les dimensions.

Coordenades: escriu sempre la base

Un resultat com $(2, - 1, 0)$ sense subíndex és ambigu i el corrector no sap si és un vector o unes coordenades. Escriu $[v]_{B_{1}} = (2, - 1, 0)^{T}$ i, quan hagis acabat, reconstrueix el vector amb la base de destinació: aquesta comprovació és independent del càlcul i detecta gairebé tots els errors de direcció.

Llista de comprovació

Has comprovat que $0$ pertany al conjunt abans de dir que és subespai?
La dimensió que has trobat és coherent amb el rang o amb $n -$ nombre d'equacions independents?
Els vectors de la base els has tret de la matriu original, no de l'esglaonada?
Les matrius de base tenen els vectors per columnes i has escrit la direcció del canvi?
Has reconstruït el vector amb la base de destinació per comprovar les coordenades?
A la suma i la intersecció, quadra la fórmula de Grassmann?

Exercicis proposats

Exercici 1. Sigui $F = {(x, y, z) \in R^{3} : 2 x - y + z = 0, x + z = 0}$ . Justifica que és un subespai, troba'n una base i la dimensió, i completa aquesta base fins a una base de $R^{3}$ .

Solució de l'exercici 1

És el conjunt de solucions d'un sistema homogeni, i per tant un subespai. La matriu $(21 - 1 0 11)$ té rang 2 (el menor $21 - 1 0 = 1 \neq = 0$ ), així que $dim F = 3 - 2 = 1$ . De la segona equació, $z = - x$ ; de la primera, $y = 2 x + z = x$ . Amb $x = λ$ , $(x, y, z) = λ (1, 1, - 1)$ i una base és $((1, 1, - 1))$ . Comprovació: $2 - 1 - 1 = 0$ i $1 - 1 = 0$ .

Per completar-la, afegim $e_{1}$ i $e_{2}$ : $11 - 1 100010 = - 1 \neq = 0$ , de manera que $((1, 1, - 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0))$ és una base de $R^{3}$ .

Exercici 2. A $R^{2}$ , siguin $B = ((1, 2), (1, 3))$ i $C = ((2, 1), (1, 1))$ . Si $[v]_{B} = (1, 1)^{T}$ , calcula $[v]_{C}$ . Escriu la matriu de canvi de base $P_{C \leftarrow B}$ i comprova-hi el resultat.

Solució de l'exercici 2

Ruta per la canònica. $v = 1 (1, 2) + 1 (1, 3) = (2, 5)$ . Ara $a (2, 1) + b (1, 1) = (2, 5)$ dona $2 a + b = 2$ i $a + b = 5$ ; restant, $a = - 3$ i $b = 8$ . Per tant $[v]_{C} = (- 3, 8)^{T}$ . Comprovació: $- 3 (2, 1) + 8 (1, 1) = (2, 5)$ .

Matriu de canvi. $P_{B} = (1213)$ , $P_{C} = (2111)$ i $P_{C}^{- 1} = (1 - 1 - 1 2)$ (el determinant de $P_{C}$ val 1). Aleshores

P_{C \leftarrow B} = P_{C}^{- 1} P_{B} = (- 1 3 - 2 5), P_{C \leftarrow B} (11) = (- 3 8) .

La primera columna, $(- 1, 3)^{T}$ , són les coordenades de $(1, 2)$ en $C$ : $- (2, 1) + 3 (1, 1) = (1, 2)$ .

Exercici 3. A $R^{4}$ , siguin $F = {(x, y, z, t) : x + y + z + t = 0}$ i $G = ⟨(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)⟩$ . Calcula $dim F$ , $dim G$ , una base de $F \cap G$ i $dim (F + G)$ .

Solució de l'exercici 3

$F$ ve donat per una equació no trivial de $R^{4}$ , així que $dim F = 4 - 1 = 3$ . A $G$ , el tercer generador és la suma dels dos primers, que són independents: $dim G = 2$ amb base $((1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0))$ .

Intersecció. Un vector genèric de $G$ és $a (1, 0, 0, 1) + b (0, 1, 1, 0) = (a, b, b, a)$ . Pertany a $F$ si $a + b + b + a = 2 a + 2 b = 0$ , és a dir, $b = - a$ . Amb $a = 1$ : $F \cap G = ⟨(1, - 1, - 1, 1)⟩$ , de dimensió 1. Comprovació: $1 - 1 - 1 + 1 = 0$ .

Suma. Per Grassmann, $dim (F + G) = 3 + 2 - 1 = 4$ , així que $F + G = R^{4}$ .

Un cop domines bases i coordenades, el pas següent és buscar bases especials en què una matriu quadrada actuï de la manera més senzilla possible: és la diagonalització. I si vols veure com apareix tot això en un examen, consulta els exàmens resolts del bloc.