Espais vectorials, subespais, bases i canvi de base

Un espai vectorial és l'estructura que hi ha darrere de tot el que has fet fins ara amb matrius i sistemes: els vectors de $\mathbb{R}^n$, les matrius d'una mida fixa, els polinomis de grau acotat i les solucions d'un sistema homogeni són exemples d'espai vectorial, i per això es poden tractar amb les mateixes eines. En aquesta pàgina veuràs els axiomes, el criteri per decidir si un subconjunt és un subespai, com trobar una base i la dimensió d'un subespai, com passar d'equacions a base i de base a equacions, i el canvi de base, que és l'apartat que més errors provoca a l'examen. Acabem amb el nucli i la imatge d'una matriu i la fórmula de Grassmann. Els càlculs es recolzen en el rang i en el mètode de Gauss, que trobaràs a determinants, inversa i rang i a sistemes lineals.

Axiomes d'espai vectorial i exemples

Sigui $K$ un cos (per a nosaltres, $K = \mathbb{R}$ o $K = \mathbb{C}$). Un conjunt $V$ és un $K$-espai vectorial si té una suma $u + v$ i un producte per escalars $\lambda u$ que no surten de $V$ i que compleixen els vuit axiomes següents.

La idea central és que un «vector» és qualsevol objecte que compleixi aquests axiomes: no cal que sigui una fletxa. Els exemples que apareixen contínuament al curs són:

• $\mathbb{R}^n$: columnes de $n$ nombres reals amb la suma i el producte component a component. Dimensió $n$.
• $M_{m \times n}(\mathbb{R})$: matrius reals de mida fixa. La suma només existeix entre matrius de la mateixa mida, i per això la mida forma part de la definició de l'espai. Dimensió $mn$.
• $P_n(\mathbb{R})$: polinomis de grau menor o igual que $n$, amb la base natural $(1, x, x^2, \ldots, x^n)$. Dimensió $n + 1$.
• $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$: totes les funcions reals de variable real, amb $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ i $(\lambda f)(x) = \lambda f(x)$. Aquest té dimensió infinita.
• Les solucions d'un sistema homogeni $Ax = 0$, amb les operacions de $\mathbb{R}^n$. Ho justifiquem a la secció següent.

Subespai vectorial: criteri operatiu

Comprovar els vuit axiomes cada vegada seria insuportable. Per sort, si $F$ és un subconjunt d'un espai vectorial $V$ que ja coneixem, els axiomes s'hereten i només cal comprovar que les operacions no surten de $F$.

Provar i refutar no són tasques simètriques. Per provar que $F$ és subespai cal agafar dos vectors arbitraris de $F$ i veure que qualsevol combinació lineal també hi és. Per refutar-ho n'hi ha prou amb un contraexemple, i el més ràpid sol ser comprovar si el vector zero pertany a $F$: si no hi pertany, ja hem acabat.

El mateix argument, escrit en forma matricial, dona el resultat més útil del tema: el conjunt de solucions d'un sistema homogeni $Ax = 0$ és sempre un subespai, perquè $A(\lambda u + \mu v) = \lambda Au + \mu Av = 0$. En canvi, el conjunt de solucions d'un sistema no homogeni $Ax = b$ amb $b \neq 0$ mai no és un subespai, perquè $A \cdot 0 = 0 \neq b$. Quan és compatible, és un espai afí: una solució particular més el subespai de solucions de l'homogeni, $x_p + \operatorname{Ker} A$.

Altres exemples i contraexemples que convé tenir a mà: les matrius simètriques de $M_n(\mathbb{R})$ sí que formen subespai; les matrius inversibles no (la matriu nul·la no és inversible); els polinomis de $P_2$ amb $p(1) = 0$ sí; els polinomis de $P_2$ amb $p(0) = 1$ no.

Combinació lineal i subespai generat

Una combinació lineal de $v_1, \ldots, v_k$ és qualsevol vector de la forma $\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_k v_k$ amb $\lambda_i \in K$. El conjunt de totes les combinacions lineals s'anomena subespai generat,

$$\langle v_1, \ldots, v_k \rangle = \{ \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_k v_k : \lambda_i \in K \},$$

i és el subespai més petit que conté tots els $v_i$. Diem que $\{v_1, \ldots, v_k\}$ és un sistema generador de $F$ si $F = \langle v_1, \ldots, v_k \rangle$.

La pregunta «pertany $w$ al subespai generat?» és un sistema lineal: $w \in \langle v_1, \ldots, v_k \rangle$ si i només si el sistema amb matriu de coeficients $[v_1 \cdots v_k]$ (vectors per columnes) i terme independent $w$ és compatible, és a dir, si $\operatorname{rang}[v_1 \cdots v_k] = \operatorname{rang}[v_1 \cdots v_k \mid w]$.

Independència lineal

Els vectors $v_1, \ldots, v_k$ són linealment independents si l'única manera d'obtenir el vector zero com a combinació lineal és amb tots els coeficients nuls:

$$\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_k v_k = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda_1 = \cdots = \lambda_k = 0 .$$

Si no, són linealment dependents, i aleshores algun d'ells és combinació lineal dels altres (hi ha redundància). El criteri de càlcul és el rang:

Dues conseqüències immediates: en un espai de dimensió $n$, més de $n$ vectors són sempre dependents, i qualsevol família que contingui el vector zero és dependent.

Base i dimensió

Generar i ser independent responen preguntes diferents. Generar pregunta si amb els vectors donats podem construir tot l'espai; independència pregunta si sobra algun vector. Una base és una família que respon bé a les dues.

En un espai de dimensió $n$, per a una família de exactament $n$ vectors, les tres propietats són equivalents: ser independent, generar l'espai i ser base. Per tant, per veure que $n$ vectors de $\mathbb{R}^n$ formen base n'hi ha prou amb comprovar que el determinant de la matriu que formen és diferent de zero.

Extreure una base d'un sistema generador

Si tens un sistema generador amb redundàncies, posa els vectors per columnes, esglaona per Gauss i queda't amb els vectors originals que ocupen les columnes pivot. Els pivots es detecten a la matriu esglaonada, però els vectors de la base s'agafen de la matriu original, perquè les operacions per files canvien les columnes.

Completar a una base

El procés invers també apareix: donada una família independent de $k$ vectors d'un espai de dimensió $n$, sempre es pot completar fins a una base afegint-hi $n - k$ vectors. A la pràctica s'afegeixen vectors de la base canònica i es comprova amb un determinant que la família resultant és independent. Per exemple, $(1, 1, 0)$ i $(0, 1, 1)$ són independents a $\mathbb{R}^3$; si hi afegim $e_3 = (0, 0, 1)$,

$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0,$$

i $\big((1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)\big)$ és una base. També hauria servit $e_1$ (el determinant dona $1$), però no qualsevol vector: $(1, 2, 1)$ no serveix perquè és la suma dels dos primers.

Coordenades respecte d'una base

Si $B = (v_1, \ldots, v_n)$ és una base de $V$, cada vector $x \in V$ s'escriu d'una única manera com $x = x_1 v_1 + \cdots + x_n v_n$. La columna $[x]_B = (x_1, \ldots, x_n)^T$ són les coordenades de $x$ en la base $B$.

Aquí hi ha una distinció que cal tenir claríssima: el vector $x$ és un objecte de $V$ (una fletxa, un polinomi, una matriu) i les coordenades $[x]_B$ són la seva etiqueta en una base concreta. El mateix vector té etiquetes diferents en bases diferents. A $\mathbb{R}^n$ hi ha una trampa: els vectors s'escriuen amb nombres i les coordenades també, i les coordenades en la base canònica coincideixen amb el vector. Per això sempre escriurem el subíndex de la base.

Si posem els vectors de la base per columnes en una matriu $P_B = [v_1 \cdots v_n]$ (escrits en la base canònica), aleshores multiplicar per una columna de coeficients és exactament fer la combinació lineal:

$$P_B \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 , \qquad\text{és a dir,}\qquad x = P_B [x]_B, \quad [x]_B = P_B^{-1} x .$$

Si posessis els vectors per files, el producte deixaria de representar la combinació lineal. $P_B$ és inversible perquè les seves columnes són independents.

Matriu de canvi de base

Suposem que tenim dues bases $B$ i $C$ del mateix espai i coneixem $[x]_B$. Com que el vector és el mateix, $x = P_B [x]_B = P_C [x]_C$, i aïllant:

La manera més segura de no equivocar-se de direcció és fer sempre la ruta per la base canònica: primer $[x]_B \xrightarrow{P_B} x$ (reconstrueix el vector), després $x \xrightarrow{P_C^{-1}} [x]_C$ (resol el sistema $P_C [x]_C = x$). No cal calcular cap inversa: la segona etapa és un sistema lineal.

Subespais definits per equacions

Un subespai de $\mathbb{R}^n$ es pot descriure de dues maneres: com a subespai generat per uns vectors (forma paramètrica) o com el conjunt de solucions d'un sistema homogeni (equacions cartesianes o implícites). Cal saber passar d'una descripció a l'altra.

Si $F = \{x \in \mathbb{R}^n : Ax = 0\}$ amb $A$ de mida $m \times n$, aleshores

$$\dim F = n - \operatorname{rang} A ,$$

és a dir, la dimensió és $n$ menys el nombre d'equacions independents. Si les equacions són dependents, el rang és menor que $m$ i la dimensió puja. Per obtenir una base: esglaona $A$, tria les variables lliures (columnes sense pivot), expressa les altres en funció d'elles i separa els coeficients de cada paràmetre.

En general, un subespai de dimensió $k$ dins de $\mathbb{R}^n$ necessita $n - k$ equacions independents. Si en trobes més, alguna és redundant; si en trobes menys, t'has deixat alguna condició.

Nucli i imatge d'una matriu. Teorema del rang

Per a una matriu $A$ de mida $m \times n$ definim dos subespais:

• El nucli, $\operatorname{Ker} A = \{x \in \mathbb{R}^n : Ax = 0\}$, subespai de $\mathbb{R}^n$. És el conjunt de solucions del sistema homogeni.
• La imatge, $\operatorname{Im} A = \{Ax : x \in \mathbb{R}^n\}$, subespai de $\mathbb{R}^m$. Com que $Ax$ és la combinació lineal de les columnes de $A$ amb coeficients $x_1, \ldots, x_n$, la imatge és el subespai generat per les columnes, i $\dim \operatorname{Im} A = \operatorname{rang} A$.

Aquest teorema és el mateix resultat que «els graus de llibertat d'un sistema compatible són $n - \operatorname{rang} A$», que ja coneixes de sistemes lineals, i el mateix que «dimensió $= n$ menys nombre d'equacions independents» de la secció anterior. Són tres maneres de dir una sola cosa.

Suma i intersecció de subespais. Fórmula de Grassmann

Si $F$ i $G$ són subespais de $V$, la intersecció $F \cap G$ és un subespai (un vector que compleix les equacions de $F$ i les de $G$ compleix qualsevol combinació d'elles). La unió $F \cup G$ en general no ho és; el subespai més petit que conté $F$ i $G$ és la suma,

$$F + G = \{ f + g : f \in F,\; g \in G \} = \langle \text{base de } F \cup \text{base de } G \rangle .$$

En la pràctica: una base de $F + G$ s'extreu de la unió de les bases (esglaonant i quedant-se amb les columnes pivot); una base de $F \cap G$ s'obté ajuntant les equacions cartesianes dels dos subespais i resolent el sistema homogeni. La fórmula serveix per controlar que les dimensions quadren.

Protocol de resolució

Gairebé tots els problemes d'aquest tema es redueixen a un rang o a un sistema lineal. Abans de calcular, decideix quina de les preguntes següents t'estan fent:

1. És subespai? Comprova primer si $0 \in F$. Si hi és, escriu dos vectors arbitraris i comprova el tancament per combinacions lineals. Si no hi és, ja tens la resposta (negativa).
2. Base i dimensió d'un subespai generat. Vectors per columnes, Gauss, columnes pivot. $\dim =$ rang.
3. Base i dimensió d'un subespai per equacions. Rang de la matriu del sistema, $\dim = n - \operatorname{rang}$, variables lliures, separa els paràmetres.
4. Equacions d'un subespai generat. Determinant (o rang) amb el vector genèric $(x, y, z)$, o elimina paràmetres. Control: nombre d'equacions independents $= n - \dim$.
5. Coordenades i canvi de base. Escriu $P_B$ i $P_C$ amb vectors per columnes, indica la direcció del canvi i fes la ruta $B \to$ canònica $\to C$. Reconstrueix el vector amb la base de destinació per comprovar.
6. Suma i intersecció. Suma: unió de bases i extreure base. Intersecció: unió d'equacions i resoldre. Grassmann per controlar les dimensions.

Exercicis proposats

Exercici 1. Sigui $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : 2x - y + z = 0,\; x + z = 0\}$. Justifica que és un subespai, troba'n una base i la dimensió, i completa aquesta base fins a una base de $\mathbb{R}^3$.

Solució de l'exercici 1

És el conjunt de solucions d'un sistema homogeni, i per tant un subespai. La matriu $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ té rang 2 (el menor $\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$), així que $\dim F = 3 - 2 = 1$. De la segona equació, $z = -x$; de la primera, $y = 2x + z = x$. Amb $x = \lambda$, $(x, y, z) = \lambda(1, 1, -1)$ i una base és $\big((1, 1, -1)\big)$. Comprovació: $2 - 1 - 1 = 0$ i $1 - 1 = 0$.

Per completar-la, afegim $e_1$ i $e_2$: $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, de manera que $\big((1, 1, -1), (1, 0, 0), (0, 1, 0)\big)$ és una base de $\mathbb{R}^3$.

Exercici 2. A $\mathbb{R}^2$, siguin $B = \big((1, 2), (1, 3)\big)$ i $C = \big((2, 1), (1, 1)\big)$. Si $[v]_B = (1, 1)^T$, calcula $[v]_C$. Escriu la matriu de canvi de base $P_{C \leftarrow B}$ i comprova-hi el resultat.

Solució de l'exercici 2

Ruta per la canònica. $v = 1(1, 2) + 1(1, 3) = (2, 5)$. Ara $a(2, 1) + b(1, 1) = (2, 5)$ dona $2a + b = 2$ i $a + b = 5$; restant, $a = -3$ i $b = 8$. Per tant $[v]_C = (-3, 8)^T$. Comprovació: $-3(2, 1) + 8(1, 1) = (2, 5)$.

Matriu de canvi. $P_B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, $P_C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ i $P_C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ (el determinant de $P_C$ val 1). Aleshores

$$P_{C \leftarrow B} = P_C^{-1} P_B = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}, \qquad P_{C \leftarrow B} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \end{pmatrix} .$$

La primera columna, $(-1, 3)^T$, són les coordenades de $(1, 2)$ en $C$: $-(2, 1) + 3(1, 1) = (1, 2)$.

Exercici 3. A $\mathbb{R}^4$, siguin $F = \{(x, y, z, t) : x + y + z + t = 0\}$ i $G = \langle (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1) \rangle$. Calcula $\dim F$, $\dim G$, una base de $F \cap G$ i $\dim(F + G)$.

Solució de l'exercici 3

$F$ ve donat per una equació no trivial de $\mathbb{R}^4$, així que $\dim F = 4 - 1 = 3$. A $G$, el tercer generador és la suma dels dos primers, que són independents: $\dim G = 2$ amb base $\big((1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0)\big)$.

Intersecció. Un vector genèric de $G$ és $a(1, 0, 0, 1) + b(0, 1, 1, 0) = (a, b, b, a)$. Pertany a $F$ si $a + b + b + a = 2a + 2b = 0$, és a dir, $b = -a$. Amb $a = 1$: $F \cap G = \langle (1, -1, -1, 1) \rangle$, de dimensió 1. Comprovació: $1 - 1 - 1 + 1 = 0$.

Suma. Per Grassmann, $\dim(F + G) = 3 + 2 - 1 = 4$, així que $F + G = \mathbb{R}^4$.

Un cop domines bases i coordenades, el pas següent és buscar bases especials en què una matriu quadrada actuï de la manera més senzilla possible: és la diagonalització. I si vols veure com apareix tot això en un examen, consulta els exàmens resolts del bloc.