☰ Índex de temes

Límits, continuïtat i derivada: infinitèsims, funcions a trossos i Taylor

⏱ 14 min de lectura🔄 Actualitzat el 7 de setembre del 2026Universitat

El càlcul d'una variable és la base de tot el que faràs a Matemàtiques de primer d'enginyeria, i l'examen ho reflecteix amb dos exercicis fixos: un límit amb indeterminació (resolt amb infinitèsims equivalents, conjugat o logaritme) i una funció a trossos amb paràmetres de la qual has d'estudiar la continuïtat i derivabilitat. En aquesta pàgina hi trobaràs les definicions amb el rigor que es demana a la universitat, els criteris amb les seves hipòtesis, contraexemples que trenquen els automatismes de batxillerat i un protocol de resolució per no deixar-te cap cas. Si necessites repassar les regles de derivació, tens la taula de derivades del nivell selectivitat; aquí donem per fet que les domines.

La funció com a objecte: domini, recorregut i gràfica

Una funció real d'una variable és una aplicació $f : D \subseteq R \to R$ que assigna a cada $x \in D$ un únic valor $f (x)$ . La fórmula no és tota la funció: el domini $D$ en forma part. El recorregut o imatge és $f (D) = {f (x) : x \in D}$ , i la gràfica és el conjunt de punts $(x, f (x))$ del pla.

Quan la funció ve donada només per una expressió, el domini és el conjunt més gran on l'expressió té sentit, i s'obté com a intersecció de totes les restriccions que imposa cada peça:

Expressió	Condició
$\frac{p ( x )}{q ( x )}$	$q (x) \neq = 0$
$2 m u (x)$ (arrel d'índex parell)	$u (x) \geq 0$
$\frac{1}{2 m u ( x )}$	$u (x) > 0$
$ln u (x)$	$u (x) > 0$
$arcsin u (x)$ , $arccos u (x)$	$- 1 \leq u (x) \leq 1$
$tan u (x)$	$u (x) \neq = \frac{π}{2} + k π$

Polinomis, arrels d'índex senar, exponencials, sinus i cosinus no restringeixen res.

Domini com a intersecció de quatre restriccions

Troba el domini de

f (x) = \frac{x + 2}{ln ( 4 - x )} + arcsin \frac{x}{3} .

Llistem les condicions una a una:

Arrel parell: $x + 2 \geq 0$ , és a dir $x \geq - 2$ .
Logaritme: $4 - x > 0$ , és a dir $x < 4$ .
Denominador: $ln (4 - x) \neq = 0 ⟺ 4 - x \neq = 1 ⟺ x \neq = 3$ .
Arcsinus: $- 1 \leq x /3 \leq 1$ , és a dir $- 3 \leq x \leq 3$ .

La intersecció de $[- 2, + \infty)$ , $(- \infty, 4)$ , $R ∖ {3}$ i $[- 3, 3]$ és

Dom (f) = [- 2, 3) .

Fixa't que el punt $x = 3$ queda fora per dues raons alhora (denominador nul i, tot i que l'arcsinus hi estaria definit, la condició 3 el treu). Comprova sempre els extrems: $x = - 2$ entra perquè $0 = 0$ és vàlid i $ln 6 \neq = 0$ .

Simplificar abans de mirar el domini

Si escrius $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ i simplifiques a $x + 1$ , perds el forat en $x = 1$ : la funció original no està definida en $1$ , encara que la simplificada sí. El domini es determina sempre sobre l'expressió original; les simplificacions serveixen per calcular límits, no per redefinir la funció.

Límit: definició i límits laterals

La definició formal diu que $lim_{x \to a} f (x) = L$ si per a cada $ε > 0$ existeix un $δ > 0$ tal que, per a tot $x$ del domini amb $0 < ∣ x - a ∣ < δ$ , es compleix $∣ f (x) - L ∣ < ε$ . Amb paraules: pots fer que $f (x)$ sigui tan a prop de $L$ com vulguis (a distància menor que $ε$ , que tria l'adversari) només amb la condició que $x$ sigui prou a prop de $a$ (a distància menor que $δ$ , que tries tu en funció d' $ε$ ). Dues observacions són essencials:

La condició $0 < ∣ x - a ∣$ exclou el punt $a$ : el límit ignora el valor $f (a)$ , que ni tan sols cal que existeixi. Confondre $f (a)$ amb $lim_{x \to a} f (x)$ és l'error conceptual més freqüent.
Només es miren punts del domini. Si $a$ és un extrem del domini, el límit és automàticament lateral.

Els límits laterals $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ i $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ restringeixen l'aproximació a un sol costat. Si hi ha punts del domini a banda i banda de $a$ :

Existència del límit

$lim_{x \to a} f (x) = L$ si i només si els dos límits laterals existeixen i valen $L$ . Si els laterals són diferents (o algun no existeix), el límit no existeix.

A la pràctica, en tot punt on canvia la fórmula d'una funció a trossos, o on apareix un valor absolut, cal calcular els dos laterals per separat.

Indeterminacions i com resoldre-les

Una indeterminació no és un resultat, és un avís que el mètode de substituir no serveix i cal transformar l'expressió. Les formes indeterminades i la transformació típica són:

Forma	Transformació	Eina
$0/0$	factoritzar, infinitèsims equivalents	identitats, L'Hôpital
$\infty/\infty$	dividir pel terme dominant	comparació de graus, L'Hôpital
$0 \cdot \infty$	reescriure com a quocient	equivalents
$\infty - \infty$	denominador comú o conjugat	àlgebra
$1^{\infty}$ , $0^{0}$ , $\infty^{0}$	$f^{g} = e^{g l n f}$	límit de l'exponent

Infinitèsims equivalents

Dues funcions $p$ i $q$ són infinitèsims equivalents quan $u \to 0$ , i s'escriu $p (u) \sim q (u)$ , si $lim p (u) / q (u) = 1$ . Les equivalències bàsiques, totes vàlides quan $u \to 0$ , són:

Infinitèsim	Equivalent
$sin u$	$u$
$tan u$	$u$
$1 - cos u$	$u^{2} /2$
$e^{u} - 1$	$u$
$ln (1 + u)$	$u$
$(1 + u)^{a} - 1$	$a u$
$arcsin u$ , $arctan u$	$u$

Aquí $u$ pot ser qualsevol expressió que tendeixi a $0$ : per exemple, $sin (x - 2) \sim x - 2$ quan $x \to 2$ , i $e^{3 x} - 1 \sim 3 x$ quan $x \to 0$ . Totes surten del polinomi de Taylor de primer ordre, que veurem al final.

Regla d'ús

Un infinitèsim es pot substituir pel seu equivalent només quan apareix com a factor d'un producte o d'un quocient. No es pot substituir dins d'una suma o resta, perquè els termes principals es poden cancel·lar i llavors el que mana és el següent ordre.

Límit amb infinitèsims

Calcula $x \to 0 lim \frac{1 - cos 3 x}{x sin 2 x}$ .

És una indeterminació $0/0$ . El numerador i el segon factor del denominador són infinitèsims que apareixen com a factors, així que substituïm: $1 - cos 3 x \sim (3 x)^{2} /2 = 9 x^{2} /2$ i $sin 2 x \sim 2 x$ . Per tant

x \to 0 lim \frac{1 - cos 3 x}{x sin 2 x} = x \to 0 lim \frac{9 x ^{2} /2}{2 x ^{2}} = \frac{9}{4} .

Un segon exemple amb el punt desplaçat: $x \to 2 lim \frac{e ^{x - 2} - 1}{x ^{2} - 4}$ . Amb $u = x - 2 \to 0$ tenim $e^{x - 2} - 1 \sim x - 2$ , i factoritzant el denominador,

x \to 2 lim \frac{x - 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = x \to 2 lim \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{4} .

Contraexemple: equivalents dins d'una resta

Considera $x \to 0 lim \frac{x - sin x}{x ^{3}}$ . Si substitueixes $sin x \sim x$ al numerador obtens $\frac{x - x}{x ^{3}} = 0$ , i és fals: el valor correcte és $\frac{1}{6}$ . La raó és que $sin x = x - x^{3} /6 + \dots$ , i en restar $x$ el terme principal desapareix; el que queda ( $- x^{3} /6$ ) és justament el que l'equivalent de primer ordre no veu. Per calcular-lo bé cal Taylor fins a ordre 3 o aplicar L'Hôpital tres vegades.

La forma $\infty - \infty$ i el conjugat

Quan resten dues expressions que tendeixen a infinit, sovint una arrel amaga la diferència. Multiplicar i dividir pel conjugat la fa aparèixer.

Conjugat

Calcula $x \to + \infty lim (4 x^{2} + x - 2 x)$ .

Multipliquem i dividim per $4 x^{2} + x + 2 x$ :

4 x^{2} + x - 2 x = \frac{( 4 x ^{2} + x ) - 4 x ^{2}}{4 x ^{2} + x + 2 x} = \frac{x}{4 x ^{2} + x + 2 x} .

Ara dividim numerador i denominador per $x > 0$ (recorda que $x = x^{2}$ quan $x > 0$ ):

x \to + \infty lim \frac{1}{4 + 1/ x + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4} .

Comprovació de signe: $4 x^{2} + x > 4 x^{2} = 2 x$ , així que la diferència és positiva, coherent amb el resultat.

Potències indeterminades: $1^{\infty}$ , $0^{0}$ , $\infty^{0}$

Si $f (x) > 0$ prop del punt i $y = f (x)^{g (x)}$ , prenem logaritmes: $ln y = g (x) ln f (x)$ . Com que l'exponencial és contínua,

lim f (x)^{g (x)} = exp (lim g (x) ln f (x)),

i el problema es converteix en un límit de tipus $0 \cdot \infty$ , que reescrivim com a quocient i resolem amb equivalents o L'Hôpital.

Les tres potències indeterminades

Cas $1^{\infty}$ . $x \to 0 lim (cos x)^{1/ x^{2}}$ . L'exponent val $\frac{ln ( cos x )}{x ^{2}}$ . Escrivim $ln (cos x) = ln (1 + (cos x - 1)) \sim cos x - 1 \sim - x^{2} /2$ (dos equivalents encadenats, tots dos en un quocient). Per tant l'exponent tendeix a $- \frac{1}{2}$ i el límit és $e^{- 1/2}$ .

Cas $\infty^{0}$ . $x \to + \infty lim x^{1/ x}$ . L'exponent és $\frac{ln x}{x}$ , una forma $\infty/\infty$ que per L'Hôpital val $lim \frac{1/ x}{1} = 0$ . El límit és $e^{0} = 1$ .

Cas $0^{0}$ . $x \to 0^{+} lim x^{x}$ . L'exponent és $x ln x = \frac{ln x}{1/ x}$ , i per L'Hôpital $lim \frac{1/ x}{- 1/ x ^{2}} = lim (- x) = 0$ . El límit és $1$ .

La drecera e^{\lim (f-1)g}

Per a $1^{\infty}$ es fa servir sovint la fórmula $lim f^{g} = e^{l i m (f - 1) g}$ . És correcta, però és una conseqüència de $ln f = ln (1 + (f - 1)) \sim f - 1$ , no una identitat algebraica. A l'examen, escriu el pas del logaritme: és el que justifica el resultat i el que et permet resoldre també $0^{0}$ i $\infty^{0}$ , on la drecera no serveix.

Continuïtat: tres condicions

Funció contínua en un punt

$f$ és contínua en $a \in Dom (f)$ si $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ . Operativament cal comprovar tres coses:

$a$ pertany al domini, de manera que $f (a)$ existeix.
Existeix $lim_{x \to a} f (x)$ (els dos laterals coincideixen).
El límit coincideix amb $f (a)$ .

Si $a$ és un extrem del domini, només té sentit el límit lateral cap a dins, i parlem de continuïtat lateral. Les funcions elementals són contínues en tot el seu domini, i també ho són les seves sumes, productes, quocients i composicions. Per tant, la continuïtat només es pot trencar en punts especials: canvis de fórmula, vèrtexs de valors absoluts, zeros de denominadors.

Segons quina de les tres condicions falla, la discontinuïtat es classifica així:

Evitable: el límit existeix però o bé $f (a)$ no existeix o bé $f (a) \neq = lim$ . Es "repara" redefinint $f (a)$ .
De salt (o de primera espècie): els dos laterals existeixen i són finits però diferents. El salt és la diferència entre ells.
Essencial (o de segona espècie): algun lateral és infinit o no existeix (com $sin (1/ x)$ en $0$ ). Quan un lateral és infinit hi ha una asímptota vertical.

Gràfica d'una funció a trossos formada per una paràbola per a x menor que 1 i una recta per a x més gran o igual que 1, amb un salt en x igual a 1: el límit per l'esquerra val 1 i el límit per la dreta i el valor de la funció valen 2 — Discontinuïtat de salt en $x = 1$ : els laterals existeixen però no coincideixen. El cercle buit marca el valor que no s'assoleix.

Derivada: la millor aproximació lineal

Derivada en un punt

$f$ és derivable en un punt interior $a$ del seu domini si existeix el límit

f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} .

Si el límit només existeix per un costat, parlem de derivades laterals $f^{'} (a^{-})$ i $f^{'} (a^{+})$ ; $f$ és derivable en $a$ si i només si totes dues existeixen i coincideixen.

La interpretació que necessitaràs a diverses variables és aquesta: $f$ és derivable en $a$ si i només si existeix un nombre $m$ tal que

f (a + h) = f (a) + m h + o (h) (h \to 0),

on $o (h)$ indica una quantitat que dividida per $h$ tendeix a zero. Aquest $m$ és $f^{'} (a)$ , i la funció lineal $h \mapsto f^{'} (a) h$ és la diferencial de $f$ en $a$ , que s'escriu $df = f^{'} (a) d x$ . En altres paraules, la recta tangent $y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ és la recta que millor aproxima $f$ prop de $a$ , i l'error d'aquesta aproximació és petit fins i tot comparat amb $h$ .

Aproximació lineal

Estima $16.4$ sense calculadora. Prenem $f (x) = x$ , $a = 16$ i $h = 0.4$ . Com que $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ , tenim $f^{'} (16) = \frac{1}{8}$ i

16.4 \approx f (16) + f^{'} (16) \cdot 0.4 = 4 + \frac{0.4}{8} = 4.05.

El valor real és $4.0497 \dots$ : l'error és menor que $3 \cdot 1 0^{- 4}$ .

Derivable implica contínua

Si $f$ és derivable en $a$ , aleshores és contínua en $a$ . El recíproc és fals: $f (x) = ∣ x ∣$ és contínua en $0$ però $f^{'} (0^{-}) = - 1 \neq = 1 = f^{'} (0^{+})$ .

La demostració és curta i val la pena entendre-la: $f (a + h) - f (a) = \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} \cdot h \to f^{'} (a) \cdot 0 = 0$ . La conseqüència pràctica és el filtre del protocol de funcions a trossos: si en un punt la funció no és contínua, no cal ni plantejar-se la derivabilitat.

Funcions a trossos: protocol per a continuïtat i derivabilitat

Aquest és l'exercici estrella. El procediment complet, en ordre, és:

Determina el domini de cada fórmula intersecat amb el seu interval, i uneix-los.
Dins de cada interval obert, la fórmula és elemental: contínua i derivable en tot el seu domini. Anota els punts problemàtics interiors (zeros de denominadors, arrels, vèrtexs de valors absoluts).
A cada frontera entre trossos: calcula $f (a)$ , els dos límits laterals, i decideix la continuïtat.
Només als punts on $f$ és contínua, calcula les derivades laterals: o bé amb la definició, o bé, si cada tros és derivable fins a la frontera i la derivada té límit lateral, amb $lim_{x \to a^{\pm}} f^{'} (x)$ .
Si hi ha paràmetres, imposa primer les equacions de continuïtat i després les de derivabilitat, i resol el sistema conjunt.

Ajustar dos paràmetres

Troba $α, β \in R$ perquè

f (x) = {α x^{2} + β x + 2, ln x + 3 x^{2}, x < 1, x \geq 1,

sigui derivable en tot $R$ .

Domini. El tros de l'esquerra és un polinomi, definit per a tot $x < 1$ ; el de la dreta necessita $x > 0$ , que es compleix per a $x \geq 1$ . Domini: $R$ .

Dins dels intervals. Polinomi en $(- \infty, 1)$ i suma de logaritme i polinomi en $(1, + \infty)$ : derivables. L'únic punt a estudiar és $x = 1$ .

Continuïtat en $1$ . $f (1) = ln 1 + 3 = 3$ i $lim_{x \to 1^{+}} f (x) = 3$ . Per l'esquerra, $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = α + β + 2$ . Imposem

α + β + 2 = 3 ⟺ α + β = 1.

Derivabilitat en $1$ . Les derivades dels trossos són $2 α x + β$ i $\frac{1}{x} + 6 x$ , contínues fins a la frontera, així que $f^{'} (1^{-}) = 2 α + β$ i $f^{'} (1^{+}) = 1 + 6 = 7$ . Imposem

2 α + β = 7.

Sistema. Restant la primera equació de la segona, $α = 6$ , i llavors $β = 1 - 6 = - 5$ .

Resposta: $α = 6$ , $β = - 5$ . Comprovació: amb aquests valors, $f (1^{-}) = 6 - 5 + 2 = 3$ i $f^{'} (1^{-}) = 12 - 5 = 7$ . Correcte.

Igualar derivades sense haver imposat continuïtat

Si només resols $f^{'} (1^{-}) = f^{'} (1^{+})$ obtens una família de solucions amb un paràmetre lliure, i la majoria donen una funció amb salt en $x = 1$ , que no és derivable per molt que els pendents coincideixin. La derivabilitat inclou la continuïtat: sempre dues equacions per cada frontera. I el revés: estudiar només els punts on canvia la fórmula i oblidar els vèrtexs de $∣ x - c ∣$ o els zeros de denominadors interiors a un tros.

Punts crítics d'una variable i classificació

Punt crític

Un punt interior $a$ del domini és crític si $f^{'} (a) = 0$ o bé $f^{'} (a)$ no existeix. Els extrems relatius d'una funció només poden estar en punts crítics (teorema de Fermat: si $f$ és derivable en $a$ i té un extrem relatiu en $a$ , aleshores $f^{'} (a) = 0$ ).

Per classificar-los, el criteri del signe de la derivada és el més general: si $f^{'}$ passa de positiva a negativa en $a$ (i $f$ és contínua en $a$ ), hi ha un màxim relatiu; si passa de negativa a positiva, un mínim. Funciona també en punts on $f^{'} (a)$ no existeix. El criteri de la segona derivada ( $f^{''} (a) > 0$ mínim, $f^{''} (a) < 0$ màxim) és més ràpid però només s'aplica si $f^{'} (a) = 0$ i $f^{''} (a) \neq = 0$ ; si $f^{''} (a) = 0$ , no decideix. Per a l'extrem absolut en un interval tancat $[a, b]$ , compara els valors de $f$ als punts crítics interiors amb $f (a)$ i $f (b)$ .

Punt crític no derivable

Classifica els punts crítics de $f (x) = 3 x^{2/3} - 2 x$ , definida en tot $R$ .

La derivada és $f^{'} (x) = 2 x^{- 1/3} - 2 = 2 (\frac{1}{3 x} - 1)$ per a $x \neq = 0$ , i no existeix en $x = 0$ (la gràfica hi té una punxa). Resolem $f^{'} (x) = 0$ : $3 x = 1$ , és a dir $x = 1$ . Els candidats són $x = 0$ i $x = 1$ .

Signe de $f^{'}$ : per a $x < 0$ , $3 x < 0$ i $f^{'} < 0$ ; per a $0 < x < 1$ , $3 x < 1$ i $f^{'} > 0$ ; per a $x > 1$ , $f^{'} < 0$ . Per tant en $x = 0$ hi ha un mínim relatiu ( $f (0) = 0$ ) i en $x = 1$ un màxim relatiu ( $f (1) = 1$ ). Si haguessis buscat només solucions de $f^{'} = 0$ , hauries perdut el mínim.

Rolle, valor mitjà i L'Hôpital

Teorema de Rolle

Si $f$ és contínua en $[a, b]$ , derivable en $(a, b)$ i $f (a) = f (b)$ , existeix almenys un $c \in (a, b)$ amb $f^{'} (c) = 0$ .

Teorema del valor mitjà (Lagrange)

Si $f$ és contínua en $[a, b]$ i derivable en $(a, b)$ , existeix $c \in (a, b)$ tal que

f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} .

Geomètricament: hi ha un punt on la tangent és paral·lela a la corda. Les hipòtesis importen: $f (x) = ∣ x ∣$ en $[- 1, 1]$ compleix $f (- 1) = f (1)$ i no té cap punt amb $f^{'} = 0$ , perquè no és derivable en $0$ . Per a $f (x) = x^{3}$ en $[0, 2]$ , la corda té pendent $4$ i l'equació $3 c^{2} = 4$ dona $c = \frac{2}{3} \in (0, 2)$ .

Regla de L'Hôpital

Siguin $f$ i $g$ derivables en un entorn de $a$ (excepte potser en $a$ ), amb $g^{'} (x) \neq = 0$ en aquest entorn. Si $lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} g (x) = 0$ , o bé tots dos límits són infinits, i existeix $lim_{x \to a} \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )} = L$ (finit o infinit), aleshores

x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = L .

El resultat val també per a $a = \pm \infty$ i per a límits laterals.

Tres condicions que cal escriure abans d'aplicar-la: (1) la forma és $0/0$ o $\infty/\infty$ (no $0 \cdot \infty$ ni $1^{\infty}$ : transforma-les primer); (2) es deriven numerador i denominador per separat, no com un quocient; (3) el límit del quocient de derivades ha d'existir. Si no existeix, la regla no diu res: $lim_{x \to \infty} \frac{x + sin x}{x} = 1$ , però el quocient de derivades $1 + cos x$ no té límit.

L'Hôpital dues vegades

$x \to 0 lim \frac{e ^{2 x} - 1 - 2 x}{x ^{2}}$ és $0/0$ . Derivant, $x \to 0 lim \frac{2 e ^{2 x} - 2}{2 x}$ , que continua sent $0/0$ ; derivant de nou, $x \to 0 lim \frac{4 e ^{2 x}}{2} = 2$ . Observa que aquí un infinitèsim equivalent aplicat al numerador ( $e^{2 x} - 1 \sim 2 x$ ) hauria donat el resultat fals $0$ , per la mateixa raó que al contraexemple de la resta.

Polinomi de Taylor

Si $f$ té derivades fins a ordre $n$ en $a$ , el polinomi de Taylor d'ordre $n$ en $a$ és

T_{n} (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f ^{''} ( a )}{2 !} (x - a)^{2} + \dots + \frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} (x - a)^{n},

l'únic polinomi de grau $\leq n$ que coincideix amb $f$ en el valor i les $n$ primeres derivades en $a$ . Per a $n = 1$ és la recta tangent. El residu (error) en la forma de Lagrange és

f (x) - T_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} (x - a)^{n + 1}

per a algun $ξ$ entre $a$ i $x$ , cosa que permet fitar l'error si es fita $∣ f^{(n + 1)} ∣$ a l'interval.

Taylor d'ordre 2 amb fita de l'error

Aproxima $1.2$ amb el polinomi de Taylor d'ordre 2 de $f (x) = 1 + x$ en $a = 0$ .

Derivades: $f^{'} (x) = \frac{1}{2} (1 + x)^{- 1/2}$ , $f^{''} (x) = - \frac{1}{4} (1 + x)^{- 3/2}$ , $f^{'''} (x) = \frac{3}{8} (1 + x)^{- 5/2}$ . En $0$ : $f (0) = 1$ , $f^{'} (0) = \frac{1}{2}$ , $f^{''} (0) = - \frac{1}{4}$ . Per tant

T_{2} (x) = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x ^{2}}{8}, T_{2} (0.2) = 1 + 0.1 - 0.005 = 1.095.

Error: per a $ξ \in (0, 0.2)$ , $∣ f^{'''} (ξ) ∣ \leq \frac{3}{8}$ , així que $∣ 1.2 - 1.095∣ \leq \frac{3/8}{3 !} (0.2)^{3} = 0.0005$ . El valor real és $1.09545 \dots$ , i l'error real, $0.00045$ , respecta la fita.

Els infinitèsims equivalents de la taula són el primer terme no nul del desenvolupament de Taylor de cada funció ( $sin x = x - x^{3} /6 + \dots$ , $cos x = 1 - x^{2} /2 + \dots$ ). Quan un equivalent falla en una resta, Taylor amb un ordre més és la solució.

Protocol de resolució

Per a un límit:

Substitueix i identifica la forma. Si no és indeterminada, ja has acabat.
Transforma segons la taula: factoritza, conjuga, divideix pel dominant o pren logaritmes.
Aplica equivalents només a factors; si hi ha restes d'infinitèsims, usa Taylor o L'Hôpital, i escriu les hipòtesis de L'Hôpital.
Comprova el signe i l'ordre de magnitud del resultat amb un valor numèric proper.

Per a una funció a trossos:

Domini de cada tros i unió. Llista de punts candidats: fronteres, vèrtexs de valors absoluts, zeros de denominadors, arrels.
Continuïtat a cada candidat: valor, dos laterals, conclusió i tipus de discontinuïtat si escau.
Derivabilitat només on hi ha continuïtat: derivades laterals.
Amb paràmetres: sistema amb totes les equacions (continuïtat i derivabilitat) i comprovació final substituint.
Punts crítics: inclou els no derivables; classifica amb el signe de $f^{'}$ o amb la definició si el criteri no s'aplica.

Llista de comprovació

Has escrit el domini abans de simplificar cap expressió?
A cada punt frontera, has calculat els dos laterals i el valor de la funció?
Has substituït equivalents només en productes i quocients?
Has escrit les hipòtesis de L'Hôpital abans d'aplicar-la?
Has imposat continuïtat abans de derivabilitat?
Els punts on $f^{'}$ no existeix són a la teva llista de candidats crítics?
Has comprovat el resultat final (substituint els paràmetres, avaluant numèricament el límit)?

Continua amb les funcions de diverses variables, on el límit per camins, la diferenciabilitat i el hessià generalitzen el que has vist aquí, i després amb els mètodes d'integració. Els mètodes numèrics (bisecció i Newton) es recolzen en la continuïtat i la derivada d'aquesta pàgina.

Exercicis proposats

Exercici 1. Calcula els límits següents.

(a) x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + 4 x )}{tan 3 x} (b) x \to + \infty lim (x^{2} + 6 x - x) (c) x \to 0 lim (1 + sin x)^{3/ x}

Solució de l'exercici 1

(a) Forma $0/0$ amb un quocient d'infinitèsims: $ln (1 + 4 x) \sim 4 x$ i $tan 3 x \sim 3 x$ , així que el límit és $\frac{4}{3}$ .

(b) Forma $\infty - \infty$ . Conjugat: $\frac{x ^{2} + 6 x - x ^{2}}{x ^{2} + 6 x + x} = \frac{6 x}{x ^{2} + 6 x + x}$ . Dividint per $x$ : $\frac{6}{1 + 6/ x + 1} \to \frac{6}{2} = 3$ .

(c) Forma $1^{\infty}$ . Logaritme de l'exponent: $\frac{3}{x} ln (1 + sin x) \sim \frac{3}{x} sin x \sim \frac{3 x}{x} = 3$ . El límit és $e^{3}$ .

Exercici 2. Determina $a$ i $b$ perquè la funció

f (x) = {a x^{3} + b x, x^{2} ln x + 3, x < 1, x \geq 1,

sigui derivable en $x = 1$ .

Solució de l'exercici 2

Per a $x \geq 1$ , $f (1) = 0 + 3 = 3$ i $f^{'} (x) = 2 x ln x + x$ , de manera que $f^{'} (1^{+}) = 1$ . Per a $x < 1$ , $f (1^{-}) = a + b$ i $f^{'} (1^{-}) = 3 a + b$ .

Continuïtat: $a + b = 3$ . Derivabilitat: $3 a + b = 1$ . Restant, $2 a = - 2$ , així que $a = - 1$ i $b = 4$ .

Comprovació: $- 1 + 4 = 3$ i $- 3 + 4 = 1$ . Correcte.

Exercici 3. Sigui

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x e^{x}, 2 - ∣ x - 2∣, \frac{6}{x}, x < 0, 0 \leq x < 3, x \geq 3.

Estudia'n el domini, la continuïtat i la derivabilitat, i classifica'n els punts crítics.

Solució de l'exercici 3

Domini. Els tres trossos estan definits als seus intervals ( $6/ x$ no té problemes per a $x \geq 3$ ): $Dom (f) = R$ .

Candidats. Fronteres $x = 0$ i $x = 3$ , més el vèrtex del valor absolut $x = 2$ , interior al segon tros. Dins dels intervals oberts restants la funció és elemental.

Continuïtat. En $x = 0$ : $f (0) = 2 - 2 = 0$ , $lim_{x \to 0^{-}} x e^{x} = 0$ , $lim_{x \to 0^{+}} (2 - ∣ x - 2∣) = 0$ . Contínua. En $x = 2$ : el valor absolut és continu. Contínua. En $x = 3$ : $f (3) = 2$ , $lim_{x \to 3^{-}} (2 - ∣ x - 2∣) = 2 - 1 = 1$ , $lim_{x \to 3^{+}} 6/ x = 2$ . Discontinuïtat de salt en $x = 3$ . Per tant $f$ és contínua en $R ∖ {3}$ .

Derivabilitat. En $x = 0$ : $f^{'} (0^{-}) = lim_{x \to 0^{-}} e^{x} (1 + x) = 1$ ; per a $0 \leq x < 2$ , $2 - ∣ x - 2∣ = x$ , així que $f^{'} (0^{+}) = 1$ . Derivable en $0$ , amb $f^{'} (0) = 1$ . En $x = 2$ : $f^{'} (2^{-}) = 1$ i $f^{'} (2^{+}) = - 1$ (per a $x > 2$ la fórmula és $4 - x$ ). No derivable. En $x = 3$ : no contínua, per tant no derivable. Conclusió: derivable en $R ∖ {2, 3}$ .

Punts crítics. Per a $x < 0$ , $f^{'} (x) = e^{x} (1 + x) = 0$ en $x = - 1$ ; el signe passa de negatiu a positiu, així que en $x = - 1$ hi ha un mínim relatiu, $f (- 1) = - 1/ e \approx - 0.368$ . En $x = 2$ , $f^{'}$ no existeix i passa de $+ 1$ a $- 1$ : màxim relatiu, $f (2) = 2$ . En $x = 3$ , el criteri de la derivada no s'aplica (no hi ha continuïtat), però la definició sí: $f (3) = 2$ , mentre que a l'esquerra els valors són propers a $1$ i a la dreta $6/ x < 2$ ; per tant $x = 3$ és un màxim relatiu estricte. En $x = 0$ , $f^{'} (0) = 1 \neq = 0$ : no és crític.