Límits, continuïtat i derivada: infinitèsims, funcions a trossos i Taylor

El càlcul d'una variable és la base de tot el que faràs a Matemàtiques de primer d'enginyeria, i l'examen ho reflecteix amb dos exercicis fixos: un límit amb indeterminació (resolt amb infinitèsims equivalents, conjugat o logaritme) i una funció a trossos amb paràmetres de la qual has d'estudiar la continuïtat i derivabilitat. En aquesta pàgina hi trobaràs les definicions amb el rigor que es demana a la universitat, els criteris amb les seves hipòtesis, contraexemples que trenquen els automatismes de batxillerat i un protocol de resolució per no deixar-te cap cas. Si necessites repassar les regles de derivació, tens la taula de derivades del nivell selectivitat; aquí donem per fet que les domines.

La funció com a objecte: domini, recorregut i gràfica

Una funció real d'una variable és una aplicació $f : D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que assigna a cada $x \in D$ un únic valor $f(x)$. La fórmula no és tota la funció: el domini $D$ en forma part. El recorregut o imatge és $f(D) = \{ f(x) : x \in D \}$, i la gràfica és el conjunt de punts $(x, f(x))$ del pla.

Quan la funció ve donada només per una expressió, el domini és el conjunt més gran on l'expressió té sentit, i s'obté com a intersecció de totes les restriccions que imposa cada peça:

Expressió	Condició
$\dfrac{p(x)}{q(x)}$	$q(x) \neq 0$
$\sqrt[2m]{u(x)}$ (arrel d'índex parell)	$u(x) \geq 0$
$\dfrac{1}{\sqrt[2m]{u(x)}}$	$u(x) > 0$
$\ln u(x)$	$u(x) > 0$
$\arcsin u(x)$, $\arccos u(x)$	$-1 \leq u(x) \leq 1$
$\tan u(x)$	$u(x) \neq \tfrac{\pi}{2} + k\pi$

Polinomis, arrels d'índex senar, exponencials, sinus i cosinus no restringeixen res.

Límit: definició i límits laterals

La definició formal diu que $\lim_{x \to a} f(x) = L$ si per a cada $\varepsilon > 0$ existeix un $\delta > 0$ tal que, per a tot $x$ del domini amb $0 < |x - a| < \delta$, es compleix $|f(x) - L| < \varepsilon$. Amb paraules: pots fer que $f(x)$ sigui tan a prop de $L$ com vulguis (a distància menor que $\varepsilon$, que tria l'adversari) només amb la condició que $x$ sigui prou a prop de $a$ (a distància menor que $\delta$, que tries tu en funció d'$\varepsilon$). Dues observacions són essencials:

• La condició $0 < |x - a|$ exclou el punt $a$: el límit ignora el valor $f(a)$, que ni tan sols cal que existeixi. Confondre $f(a)$ amb $\lim_{x\to a} f(x)$ és l'error conceptual més freqüent.
• Només es miren punts del domini. Si $a$ és un extrem del domini, el límit és automàticament lateral.

Els límits laterals $\lim_{x \to a^-} f(x)$ i $\lim_{x \to a^+} f(x)$ restringeixen l'aproximació a un sol costat. Si hi ha punts del domini a banda i banda de $a$:

A la pràctica, en tot punt on canvia la fórmula d'una funció a trossos, o on apareix un valor absolut, cal calcular els dos laterals per separat.

Indeterminacions i com resoldre-les

Una indeterminació no és un resultat, és un avís que el mètode de substituir no serveix i cal transformar l'expressió. Les formes indeterminades i la transformació típica són:

Forma	Transformació	Eina
$0/0$	factoritzar, infinitèsims equivalents	identitats, L'Hôpital
$\infty/\infty$	dividir pel terme dominant	comparació de graus, L'Hôpital
$0 \cdot \infty$	reescriure com a quocient	equivalents
$\infty - \infty$	denominador comú o conjugat	àlgebra
$1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$	$f^g = e^{g \ln f}$	límit de l'exponent

Infinitèsims equivalents

Dues funcions $p$ i $q$ són infinitèsims equivalents quan $u \to 0$, i s'escriu $p(u) \sim q(u)$, si $\lim p(u)/q(u) = 1$. Les equivalències bàsiques, totes vàlides quan $u \to 0$, són:

Infinitèsim	Equivalent
$\sin u$	$u$
$\tan u$	$u$
$1 - \cos u$	$u^2/2$
$e^u - 1$	$u$
$\ln(1 + u)$	$u$
$(1 + u)^a - 1$	$a\,u$
$\arcsin u$, $\arctan u$	$u$

Aquí $u$ pot ser qualsevol expressió que tendeixi a $0$: per exemple, $\sin(x - 2) \sim x - 2$ quan $x \to 2$, i $e^{3x} - 1 \sim 3x$ quan $x \to 0$. Totes surten del polinomi de Taylor de primer ordre, que veurem al final.

La forma $\infty - \infty$ i el conjugat

Quan resten dues expressions que tendeixen a infinit, sovint una arrel amaga la diferència. Multiplicar i dividir pel conjugat la fa aparèixer.

Potències indeterminades: $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$

Si $f(x) > 0$ prop del punt i $y = f(x)^{g(x)}$, prenem logaritmes: $\ln y = g(x) \ln f(x)$. Com que l'exponencial és contínua,

$$\lim f(x)^{g(x)} = \exp\left( \lim g(x) \ln f(x) \right),$$

i el problema es converteix en un límit de tipus $0 \cdot \infty$, que reescrivim com a quocient i resolem amb equivalents o L'Hôpital.

Continuïtat: tres condicions

Si $a$ és un extrem del domini, només té sentit el límit lateral cap a dins, i parlem de continuïtat lateral. Les funcions elementals són contínues en tot el seu domini, i també ho són les seves sumes, productes, quocients i composicions. Per tant, la continuïtat només es pot trencar en punts especials: canvis de fórmula, vèrtexs de valors absoluts, zeros de denominadors.

Segons quina de les tres condicions falla, la discontinuïtat es classifica així:

• Evitable: el límit existeix però o bé $f(a)$ no existeix o bé $f(a) \neq \lim$. Es "repara" redefinint $f(a)$.
• De salt (o de primera espècie): els dos laterals existeixen i són finits però diferents. El salt és la diferència entre ells.
• Essencial (o de segona espècie): algun lateral és infinit o no existeix (com $\sin(1/x)$ en $0$). Quan un lateral és infinit hi ha una asímptota vertical.

Derivada: la millor aproximació lineal

La interpretació que necessitaràs a diverses variables és aquesta: $f$ és derivable en $a$ si i només si existeix un nombre $m$ tal que

$$f(a + h) = f(a) + m\,h + o(h) \qquad (h \to 0),$$

on $o(h)$ indica una quantitat que dividida per $h$ tendeix a zero. Aquest $m$ és $f'(a)$, i la funció lineal $h \mapsto f'(a)\,h$ és la diferencial de $f$ en $a$, que s'escriu $df = f'(a)\,dx$. En altres paraules, la recta tangent $y = f(a) + f'(a)(x - a)$ és la recta que millor aproxima $f$ prop de $a$, i l'error d'aquesta aproximació és petit fins i tot comparat amb $h$.

La demostració és curta i val la pena entendre-la: $f(a + h) - f(a) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} \cdot h \to f'(a) \cdot 0 = 0$. La conseqüència pràctica és el filtre del protocol de funcions a trossos: si en un punt la funció no és contínua, no cal ni plantejar-se la derivabilitat.

Funcions a trossos: protocol per a continuïtat i derivabilitat

Aquest és l'exercici estrella. El procediment complet, en ordre, és:

1. Determina el domini de cada fórmula intersecat amb el seu interval, i uneix-los.
2. Dins de cada interval obert, la fórmula és elemental: contínua i derivable en tot el seu domini. Anota els punts problemàtics interiors (zeros de denominadors, arrels, vèrtexs de valors absoluts).
3. A cada frontera entre trossos: calcula $f(a)$, els dos límits laterals, i decideix la continuïtat.
4. Només als punts on $f$ és contínua, calcula les derivades laterals: o bé amb la definició, o bé, si cada tros és derivable fins a la frontera i la derivada té límit lateral, amb $\lim_{x \to a^\pm} f'(x)$.
5. Si hi ha paràmetres, imposa primer les equacions de continuïtat i després les de derivabilitat, i resol el sistema conjunt.

Punts crítics d'una variable i classificació

Per classificar-los, el criteri del signe de la derivada és el més general: si $f'$ passa de positiva a negativa en $a$ (i $f$ és contínua en $a$), hi ha un màxim relatiu; si passa de negativa a positiva, un mínim. Funciona també en punts on $f'(a)$ no existeix. El criteri de la segona derivada ($f''(a) > 0$ mínim, $f''(a) < 0$ màxim) és més ràpid però només s'aplica si $f'(a) = 0$ i $f''(a) \neq 0$; si $f''(a) = 0$, no decideix. Per a l'extrem absolut en un interval tancat $[a, b]$, compara els valors de $f$ als punts crítics interiors amb $f(a)$ i $f(b)$.

Rolle, valor mitjà i L'Hôpital

Geomètricament: hi ha un punt on la tangent és paral·lela a la corda. Les hipòtesis importen: $f(x) = |x|$ en $[-1, 1]$ compleix $f(-1) = f(1)$ i no té cap punt amb $f' = 0$, perquè no és derivable en $0$. Per a $f(x) = x^3$ en $[0, 2]$, la corda té pendent $4$ i l'equació $3c^2 = 4$ dona $c = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \in (0, 2)$.

Tres condicions que cal escriure abans d'aplicar-la: (1) la forma és $0/0$ o $\infty/\infty$ (no $0 \cdot \infty$ ni $1^\infty$: transforma-les primer); (2) es deriven numerador i denominador per separat, no com un quocient; (3) el límit del quocient de derivades ha d'existir. Si no existeix, la regla no diu res: $\lim_{x \to \infty} \dfrac{x + \sin x}{x} = 1$, però el quocient de derivades $1 + \cos x$ no té límit.

Polinomi de Taylor

Si $f$ té derivades fins a ordre $n$ en $a$, el polinomi de Taylor d'ordre $n$ en $a$ és

$$T_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n,$$

l'únic polinomi de grau $\leq n$ que coincideix amb $f$ en el valor i les $n$ primeres derivades en $a$. Per a $n = 1$ és la recta tangent. El residu (error) en la forma de Lagrange és

$$f(x) - T_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$$

per a algun $\xi$ entre $a$ i $x$, cosa que permet fitar l'error si es fita $|f^{(n+1)}|$ a l'interval.

Els infinitèsims equivalents de la taula són el primer terme no nul del desenvolupament de Taylor de cada funció ($\sin x = x - x^3/6 + \cdots$, $\cos x = 1 - x^2/2 + \cdots$). Quan un equivalent falla en una resta, Taylor amb un ordre més és la solució.

Protocol de resolució

Per a un límit:

1. Substitueix i identifica la forma. Si no és indeterminada, ja has acabat.
2. Transforma segons la taula: factoritza, conjuga, divideix pel dominant o pren logaritmes.
3. Aplica equivalents només a factors; si hi ha restes d'infinitèsims, usa Taylor o L'Hôpital, i escriu les hipòtesis de L'Hôpital.
4. Comprova el signe i l'ordre de magnitud del resultat amb un valor numèric proper.

Per a una funció a trossos:

1. Domini de cada tros i unió. Llista de punts candidats: fronteres, vèrtexs de valors absoluts, zeros de denominadors, arrels.
2. Continuïtat a cada candidat: valor, dos laterals, conclusió i tipus de discontinuïtat si escau.
3. Derivabilitat només on hi ha continuïtat: derivades laterals.
4. Amb paràmetres: sistema amb totes les equacions (continuïtat i derivabilitat) i comprovació final substituint.
5. Punts crítics: inclou els no derivables; classifica amb el signe de $f'$ o amb la definició si el criteri no s'aplica.

Continua amb les funcions de diverses variables, on el límit per camins, la diferenciabilitat i el hessià generalitzen el que has vist aquí, i després amb els mètodes d'integració. Els mètodes numèrics (bisecció i Newton) es recolzen en la continuïtat i la derivada d'aquesta pàgina.

Exercicis proposats

Exercici 1. Calcula els límits següents.

$$\text{(a)}\ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 4x)}{\tan 3x} \qquad \text{(b)}\ \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 6x} - x \right) \qquad \text{(c)}\ \lim_{x \to 0} (1 + \sin x)^{3/x}$$

Solució de l'exercici 1

(a) Forma $0/0$ amb un quocient d'infinitèsims: $\ln(1 + 4x) \sim 4x$ i $\tan 3x \sim 3x$, així que el límit és $\dfrac{4}{3}$.

(b) Forma $\infty - \infty$. Conjugat: $\dfrac{x^2 + 6x - x^2}{\sqrt{x^2 + 6x} + x} = \dfrac{6x}{\sqrt{x^2 + 6x} + x}$. Dividint per $x$: $\dfrac{6}{\sqrt{1 + 6/x} + 1} \to \dfrac{6}{2} = 3$.

(c) Forma $1^\infty$. Logaritme de l'exponent: $\dfrac{3}{x}\ln(1 + \sin x) \sim \dfrac{3}{x} \sin x \sim \dfrac{3x}{x} = 3$. El límit és $e^3$.

Exercici 2. Determina $a$ i $b$ perquè la funció

$$f(x) = \begin{cases} a x^3 + b x, & x < 1, \\ x^2 \ln x + 3, & x \geq 1, \end{cases}$$

sigui derivable en $x = 1$.

Solució de l'exercici 2

Per a $x \geq 1$, $f(1) = 0 + 3 = 3$ i $f'(x) = 2x \ln x + x$, de manera que $f'(1^+) = 1$. Per a $x < 1$, $f(1^-) = a + b$ i $f'(1^-) = 3a + b$.

Continuïtat: $a + b = 3$. Derivabilitat: $3a + b = 1$. Restant, $2a = -2$, així que $a = -1$ i $b = 4$.

Comprovació: $-1 + 4 = 3$ i $-3 + 4 = 1$. Correcte.

Exercici 3. Sigui

$$f(x) = \begin{cases} x e^x, & x < 0, \\ 2 - |x - 2|, & 0 \leq x < 3, \\ \dfrac{6}{x}, & x \geq 3. \end{cases}$$

Estudia'n el domini, la continuïtat i la derivabilitat, i classifica'n els punts crítics.

Solució de l'exercici 3

Domini. Els tres trossos estan definits als seus intervals ($6/x$ no té problemes per a $x \geq 3$): $\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R}$.

Candidats. Fronteres $x = 0$ i $x = 3$, més el vèrtex del valor absolut $x = 2$, interior al segon tros. Dins dels intervals oberts restants la funció és elemental.

Continuïtat. En $x = 0$: $f(0) = 2 - 2 = 0$, $\lim_{x \to 0^-} x e^x = 0$, $\lim_{x \to 0^+} (2 - |x - 2|) = 0$. Contínua. En $x = 2$: el valor absolut és continu. Contínua. En $x = 3$: $f(3) = 2$, $\lim_{x \to 3^-} (2 - |x - 2|) = 2 - 1 = 1$, $\lim_{x \to 3^+} 6/x = 2$. Discontinuïtat de salt en $x = 3$. Per tant $f$ és contínua en $\mathbb{R} \setminus \{3\}$.

Derivabilitat. En $x = 0$: $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} e^x(1 + x) = 1$; per a $0 \leq x < 2$, $2 - |x - 2| = x$, així que $f'(0^+) = 1$. Derivable en $0$, amb $f'(0) = 1$. En $x = 2$: $f'(2^-) = 1$ i $f'(2^+) = -1$ (per a $x > 2$ la fórmula és $4 - x$). No derivable. En $x = 3$: no contínua, per tant no derivable. Conclusió: derivable en $\mathbb{R} \setminus \{2, 3\}$.

Punts crítics. Per a $x < 0$, $f'(x) = e^x (1 + x) = 0$ en $x = -1$; el signe passa de negatiu a positiu, així que en $x = -1$ hi ha un mínim relatiu, $f(-1) = -1/e \approx -0.368$. En $x = 2$, $f'$ no existeix i passa de $+1$ a $-1$: màxim relatiu, $f(2) = 2$. En $x = 3$, el criteri de la derivada no s'aplica (no hi ha continuïtat), però la definició sí: $f(3) = 2$, mentre que a l'esquerra els valors són propers a $1$ i a la dreta $6/x < 2$; per tant $x = 3$ és un màxim relatiu estricte. En $x = 0$, $f'(0) = 1 \neq 0$: no és crític.