☰ Índex de temes

Exàmens resolts de nombres complexos: sis problemes tipus i formulari essencial

⏱ 10 min de lectura🔄 Actualitzat el 8 de setembre del 2026Universitat

Aquesta pàgina és un examen de nombres complexos resolt de dalt a baix: sis problemes del tipus que cau any rere any a Matemàtiques d'enginyeria, cadascun amb la solució completa, la comprovació numèrica i una nota sobre què mira exactament qui corregeix. Els enunciats són nous, però reprodueixen les decisions que l'examen real et demana: triar la forma, controlar el quadrant, conservar les branques i comprovar. Abans de començar, convé haver treballat les pàgines de representació i operacions, de potències, arrels i equacions i de funcions complexes. Al final hi trobaràs el formulari essencial del tema i una llista de comprovació per repassar la nit abans.

Com és un examen de nombres complexos

El bloc de complexos d'un parcial de primer curs és molt estable. Sol començar donant dos nombres, un en forma binòmica i l'altre en forma exponencial (per exemple, $w_{1} = 3 - j$ i $w_{2} = 2 e^{- j π /3}$ ), i a partir d'aquí encadena quatre o cinc apartats que toquen competències diferents amb els mateixos nombres:

Una pregunta curta de part real, part imaginària o conjugat d'una combinació senzilla (val poc, però es perd sencera per una $j$ de més).
Una operació mixta amb potències, conjugats i un quocient, que obliga a canviar de forma a mig problema. És l'apartat que més diferencia notes.
Les arrels $n$ -èsimes d'un dels nombres donats, amb la interpretació geomètrica.
Una funció complexa: l'exponencial, el sinus o el cosinus, el logaritme amb totes les branques, o una potència complexa.
Una equació quadràtica amb coeficients complexos, que sovint és l'apartat de més pes de tot el bloc.

En conjunt el bloc val al voltant de tres punts sobre deu, i en un parcial de dues hores li correspon poc menys d'una hora. Una distribució raonable del temps és aquesta: cinc minuts per llegir tots els apartats i classificar-los (quina forma necessita cadascun), cinc minuts per a la pregunta curta, dotze per a l'operació mixta, vuit per a les arrels, cinc per a la funció complexa, dotze per a la quadràtica i els cinc que queden per a les comprovacions que no hagis pogut fer sobre la marxa. Si un apartat s'encalla, deixa'l i passa al següent: els apartats són independents, i la quadràtica sola val tant com dos dels altres.

Els errors que més punts costen

Per ordre de freqüència: donar $Im z$ amb la $j$ inclosa; situar l'argument al quadrant equivocat per haver usat $arctan (b / a)$ a cegues; donar una sola arrel de $z^{n} = w$ ; oblidar el $2 k π$ al logaritme o a la potència complexa; i, a la quadràtica, equivocar el signe de $b$ o dividir per $2 a$ sense multiplicar pel conjugat. Cap d'aquests errors és de concepte difícil: tots són de procediment, i tots es detecten amb una comprovació de deu segons.

Problema 1: convertir i operar amb una expressió mixta

Siguin $w_{1} = 3 - j$ i $w_{2} = 2 e^{- j π /3}$ . (a) Calcula $Im (w_{1} + 2 \overset{w}{ˉ}_{2})$ . (b) Calcula en forma binòmica exacta

\frac{w _{1}^{2} + w ˉ _{1}}{w _{2}^{2}} .

Solució del problema 1

(a) La suma demana binòmica, així que passem $w_{2}$ : $w_{2} = 2 (cos \frac{π}{3} - j sin \frac{π}{3}) = 1 - 3 j$ , i per tant $\overset{w}{ˉ}_{2} = 1 + 3 j$ . Aleshores

w_{1} + 2 \overset{w}{ˉ}_{2} = (3 - j) + (2 + 23 j) = 5 + (23 - 1) j,

i $Im (w_{1} + 2 \overset{w}{ˉ}_{2}) = 23 - 1 \approx 2, 4641$ . Un nombre real, sense $j$ .

(b) Numerador en binòmica. $w_{1}^{2} = (3 - j)^{2} = 9 - 6 j + j^{2} = 8 - 6 j$ i $\overset{w}{ˉ}_{1} = 3 + j$ , de manera que $w_{1}^{2} + \overset{w}{ˉ}_{1} = 11 - 5 j$ .

Denominador en exponencial. $w_{2}^{2} = 4 e^{- j 2 π /3}$ .

Quocient. Dividir per $4 e^{- j 2 π /3}$ és multiplicar per $\frac{1}{4} e^{j 2 π /3} = \frac{1}{4} (- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} j)$ :

(11 - 5 j) (- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} j) = - \frac{11}{2} + \frac{11 3}{2} j + \frac{5}{2} j - \frac{5 3}{2} j^{2} = (\frac{5 3}{2} - \frac{11}{2}) + (\frac{11 3}{2} + \frac{5}{2}) j,

i dividint per $4$ :

\frac{w _{1}^{2} + w ˉ _{1}}{w _{2}^{2}} = \frac{( 5 3 - 11 ) + ( 11 3 + 5 ) j}{8} \approx - 0, 2925 + 3, 0066 j .

Comprovació. El mòdul és multiplicatiu: $∣11 - 5 j ∣/∣ w_{2}^{2} ∣ = 146 /4 \approx 3, 0208$ , i $0, 292 5^{2} + 3, 006 6^{2} \approx 3, 0208$ . Correcte.

Què valora el corrector

Que hagis declarat la forma de cada tros abans d'operar (binòmica per sumar i quadrar un binomi, exponencial per al quadrat de $w_{2}$ ), que el resultat final sigui exacte amb radicals i no una tirallonga de decimals, i que hi hagi una comprovació. A l'apartat (a) només mira una cosa: que la part imaginària sigui un real.

Problema 2: una potència gran amb De Moivre

Calcula en forma binòmica

\frac{( - 1 + j ) ^{14}}{( 3 + j ) ^{6}} .

Solució del problema 2

Exponents grans: forma exponencial. Convertim les dues bases amb mòdul, quadrant i argument principal.

$- 1 + j$ : mòdul $2$ , signes $(-, +)$ , quadrant II, angle de referència $π /4$ , argument $3 π /4$ . Així $- 1 + j = 2 e^{j 3 π /4}$ .
$3 + j$ : mòdul $2$ , quadrant I, argument $π /6$ . Així $3 + j = 2 e^{j π /6}$ .

De Moivre a cadascuna:

(- 1 + j)^{14} = (2)^{14} e^{j 14 \cdot 3 π /4} = 128 e^{j 21 π /2}, (3 + j)^{6} = 2^{6} e^{j 6 π /6} = 64 e^{j π} = - 64.

Reduïm $21 π /2$ a l'interval $(- π, π]$ : $21 π /2 - 10 π = π /2$ , és a dir, $(- 1 + j)^{14} = 128 e^{j π /2} = 128 j$ . El quocient:

\frac{128 e ^{j π /2}}{64 e ^{j π}} = 2 e^{j (π /2 - π)} = 2 e^{- j π /2} = - 2 j .

Comprovació. El mòdul havia de ser $(2)^{14} / 2^{6} = 2^{7} / 2^{6} = 2$ , i $∣ - 2 j ∣ = 2$ . A més, $(3 + j)^{6} = - 64$ es pot verificar per una altra via: $(3 + j)^{2} = 2 + 23 j = 4 e^{j π /3}$ , i el seu cub és $64 e^{j π} = - 64$ .

Què valora el corrector

Tres coses: que l'argument de $- 1 + j$ sigui $3 π /4$ i no $- π /4$ (el quadrant), que hagis reduït $21 π /2$ abans de tornar a binòmica, i que no hagis intentat desenvolupar $(- 1 + j)^{14}$ per la fórmula del binomi. Escriure "mòdul $2$ , argument $- π /2$ " al costat del resultat és la manera més ràpida de mostrar que has controlat les dues peces.

Problema 3: arrels n-èsimes i polígon regular

Troba totes les solucions de $z^{6} + 64 = 0$ , escriu-les en forma exponencial i binòmica, i indica quina figura formen al pla complex i quin perímetre té.

Solució del problema 3

L'equació és $z^{6} = - 64$ , i $- 64$ és un real negatiu: mòdul $64$ i argument $π$ . Escrivim el segon membre amb tots els arguments, $- 64 = 64 e^{j (π + 2 k π)}$ , i apliquem la fórmula de les arrels amb $n = 6$ :

z_{k} = 664 e^{j \frac{π + 2 k π}{6}} = 2 e^{j (\frac{π}{6} + \frac{k π}{3})}, k = 0, 1, \dots, 5.

Els sis arguments són $π /6$ , $π /2$ , $5 π /6$ , $7 π /6 \equiv - 5 π /6$ , $3 π /2 \equiv - π /2$ i $11 π /6 \equiv - π /6$ . Com que tots són notables, la forma binòmica és exacta:

z_{0} = 3 + j, z_{1} = 2 j, z_{2} = - 3 + j, z_{3} = - 3 - j, z_{4} = - 2 j, z_{5} = 3 - j .

Figura. Sis punts amb el mateix mòdul $2$ i separació angular $2 π /6 = π /3$ : un hexàgon regular inscrit a la circumferència de radi $2$ . En un hexàgon regular el costat és igual al radi, així que el costat val $2$ i el perímetre $12$ . Es pot confirmar directament: $∣ z_{0} - z_{1} ∣ = ∣ 3 - j ∣ = 3 + 1 = 2$ .

Comprovació. Els coeficients de $z^{6} + 64$ són reals, i efectivament les arrels van en parelles conjugades ( $z_{0}$ amb $z_{5}$ , $z_{1}$ amb $z_{4}$ , $z_{2}$ amb $z_{3}$ ); cap és real, cosa coherent amb el fet que $z^{6} = - 64$ no té solucions reals. I una substitució ràpida: $(2 j)^{6} = 64 j^{6} = 64 j^{2} = - 64$ .

Què valora el corrector

Que hi hagi sis solucions i no una, que l'expressió general amb $k$ aparegui escrita (no només els sis valors), que els arguments estiguin reduïts a $(- π, π]$ quan dones l'argument principal, i que la frase sobre la figura vingui justificada pel mòdul comú i la separació constant. La comprovació amb parelles conjugades és gratuïta i suma.

Problema 4: equació quadràtica amb coeficients complexos

Resol a $C$ l'equació $j z^{2} + (1 - 4 j) z - 5 + 5 j = 0$ i comprova el resultat amb les relacions de Vieta.

Solució del problema 4

Coeficients, amb els signes inclosos. $a = j$ , $b = 1 - 4 j$ , $c = - 5 + 5 j$ .

Discriminant.

b^{2} 4 a c Δ = (1 - 4 j)^{2} = 1 - 8 j + 16 j^{2} = - 15 - 8 j, = 4 j (- 5 + 5 j) = - 20 j + 20 j^{2} = - 20 - 20 j, = b^{2} - 4 a c = (- 15 - 8 j) - (- 20 - 20 j) = 5 + 12 j .

Una arrel quadrada de $Δ$ . L'argument de $5 + 12 j$ no és notable, així que anem per la via binòmica. $∣Δ∣ = 25 + 144 = 13$ ; per tant $u^{2} = (13 + 5) /2 = 9$ i $v^{2} = (13 - 5) /2 = 4$ . Com que la part imaginària de $Δ$ és positiva, $u$ i $v$ tenen el mateix signe: $δ = 3 + 2 j$ . Comprovació: $(3 + 2 j)^{2} = 9 + 12 j + 4 j^{2} = 5 + 12 j$ .

Fórmula.

z = \frac{- b \pm δ}{2 a} = \frac{( - 1 + 4 j ) \pm ( 3 + 2 j )}{2 j} .

Dividir per $j$ és multiplicar per $- j$ (perquè $j \cdot (- j) = 1$ ). Amb el signe $+$ : $\frac{2 + 6 j}{2 j} = \frac{1 + 3 j}{j} = (1 + 3 j) (- j) = - j - 3 j^{2} = 3 - j$ . Amb el signe $-$ : $\frac{- 4 + 2 j}{2 j} = \frac{- 2 + j}{j} = (- 2 + j) (- j) = 2 j - j^{2} = 1 + 2 j$ .

Solucions: $z_{1} = 3 - j$ i $z_{2} = 1 + 2 j$ . No són conjugades, i no han de ser-ho: els coeficients no són reals.

Vieta. Suma: $z_{1} + z_{2} = 4 + j$ ; i $- b / a = \frac{- 1 + 4 j}{j} = (- 1 + 4 j) (- j) = j + 4 = 4 + j$ . Producte: $z_{1} z_{2} = (3 - j) (1 + 2 j) = 3 + 6 j - j - 2 j^{2} = 5 + 5 j$ ; i $c / a = \frac{- 5 + 5 j}{j} = (- 5 + 5 j) (- j) = 5 j + 5 = 5 + 5 j$ . Tot coincideix.

Què valora el corrector

Aquest apartat sol ser el de més pes, i es puntua per fases: identificació correcta de $a$ , $b$ , $c$ (amb $b = 1 - 4 j$ , no $- 1 + 4 j$ ), càlcul net de $Δ$ , obtenció d'una sola $δ$ amb la seva comprovació, divisió per $2 a$ ben feta i Vieta al final. Si Vieta no quadra i ho dius, encara conserves la major part dels punts de procediment; si no fas Vieta, un error de signe passa desapercebut i s'arrossega fins a la nota.

Problema 5: sinus d'un nombre complex

Escriu $sin (1 - 2 j)$ en forma binòmica exacta, dona'n el valor numèric amb quatre decimals i calcula'n el mòdul. És possible que el mòdul sigui més gran que 1?

Solució del problema 5

Amb $x = 1$ i $y = - 2$ , la fórmula de separació dona

sin (1 - 2 j) = sin 1 cosh (- 2) + j cos 1 sinh (- 2) = sin 1 cosh 2 - j cos 1 sinh 2,

on hem usat que $cosh$ és parell i $sinh$ és imparell. Aquesta és la forma exacta que cal deixar escrita.

Valor numèric. $sin 1 \approx 0, 8415$ , $cos 1 \approx 0, 5403$ , $cosh 2 \approx 3, 7622$ i $sinh 2 \approx 3, 6269$ . Per tant

sin (1 - 2 j) \approx 3, 1658 - 1, 9596 j .

Mòdul. $∣ sin (1 - 2 j) ∣ \approx 3, 165 8^{2} + 1, 959 6^{2} \approx 3, 7232$ . Sí, és més gran que $1$ : la fita $∣ sin z ∣ \leq 1$ només val per a $z$ real. Per a $z = x + y j$ el terme $cosh y$ creix exponencialment amb $∣ y ∣$ , i aquí $cosh 2 \approx 3, 76$ ja ho fa evident.

Comprovació per la definició exponencial. $sin z = \frac{e ^{j z} - e ^{- j z}}{2 j}$ amb $j z = j (1 - 2 j) = 2 + j$ i $- j z = - 2 - j$ :

e^{2 + j} = e^{2} (cos 1 + j sin 1) \approx 3, 9923 + 6, 2177 j, e^{- 2 - j} = e^{- 2} (cos 1 - j sin 1) \approx 0, 0731 - 0, 1139 j .

La diferència és $\approx 3, 9192 + 6, 3316 j$ , i dividida per $2 j$ (multiplicar per $- j /2$ ) dona $\approx 3, 1658 - 1, 9596 j$ . Coincideix.

Què valora el corrector

La forma exacta $sin 1 cosh 2 - j cos 1 sinh 2$ amb el signe menys correctament justificat per la paritat; els decimals només confirmen. També valora que sàpigues dir, sense dubtar, que un sinus complex pot tenir mòdul més gran que $1$ : és una pregunta de concepte que apareix sovint com a apartat teòric.

Problema 6: logaritme i potència complexa amb totes les branques

Sigui $w = - 3 + j$ . (a) Troba tots els valors de $lo g w$ i indica'n el valor principal. (b) Troba tots els valors de $w^{1 + j}$ en forma exponencial, indica'n el valor principal i explica com es distribueixen al pla.

Solució del problema 6

(a) Mòdul $∣ w ∣ = 3 + 1 = 2$ . Signes $(-, +)$ : quadrant II, angle de referència $π /6$ , de manera que $Arg w = π - π /6 = 5 π /6$ . Posem nom a les peces, $L_{0} = ln 2$ i $θ_{k} = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ :

lo g w = {ln 2 + j (\frac{5 π}{6} + 2 k π) : k \in Z}, Log w = ln 2 + j \frac{5 π}{6} \approx 0, 6931 + 2, 6180 j .

Comprovació: $e^{Log w} = e^{l n 2} e^{j 5 π /6} = 2 (- \frac{3}{2} + \frac{1}{2} j) = - 3 + j$ .

(b) Per definició, $w^{1 + j} = {e^{(1 + j) L} : L \in lo g w}$ . Separem part real i imaginària de l'exponent:

(1 + j) (L_{0} + j θ_{k}) = L_{0} + j θ_{k} + j L_{0} + j^{2} θ_{k} = (L_{0} - θ_{k}) + j (L_{0} + θ_{k}) .

Exponenciant, el terme real va al mòdul i l'imaginari a l'argument:

w^{1 + j} = {e^{L_{0} - θ_{k}} e^{j (L_{0} + θ_{k})}} = {2 e^{- \frac{5 π}{6} - 2 k π} e^{j (l n 2 + \frac{5 π}{6} + 2 k π)} : k \in Z} .

Distribució al pla. El factor $e^{j 2 k π}$ val $1$ , així que tots els valors tenen el mateix argument $ln 2 + 5 π /6 \approx 3, 3111$ rad (en argument principal, $\approx - 2, 9720$ rad). Els mòduls, en canvi, formen una progressió geomètrica de raó $e^{- 2 π} \approx 0, 0019$ : tots els valors són sobre la mateixa semirecta des de l'origen, cada un unes $535$ vegades més a prop de l'origen que l'anterior. Això passa perquè l'exponent té part imaginària: les branques canvien el mòdul, no la direcció.

Valor principal ( $k = 0$ ): mòdul $2 e^{- 5 π /6} \approx 0, 1459$ i argument $ln 2 + 5 π /6$ , és a dir

pv (w^{1 + j}) = 2 e^{- 5 π /6} e^{j (l n 2 + 5 π /6)} \approx 0, 1459 (- 0, 9857 - 0, 1687 j) \approx - 0, 1438 - 0, 0246 j .

Amb $k = 1$ el mòdul baixa a $\approx 0, 0003$ i amb $k = - 1$ puja a $\approx 78, 13$ , sempre amb el mateix argument.

Què valora el corrector

Que el conjunt aparegui escrit amb $k \in Z$ explícit i el valor principal marcat a part; que la separació de $(1 + j) (L_{0} + j θ_{k})$ en part real i imaginària sigui neta (és on es perden més punts); i que la descripció geomètrica sigui coherent amb l'àlgebra: mateix argument, mòduls en progressió geomètrica. Un examen recent demanava exactament aquesta explicació, i la resposta "són infinits" sense dir com es reparteixen no la puntuava sencera.

Formulari essencial

Tot el que necessites per al bloc, en una sola taula. A totes les fórmules, $z = x + y j$ o $z = a + bj$ amb components reals, $r = ∣ z ∣$ , $θ$ un argument de $z$ i $k \in Z$ .

Concepte	Fórmula
Forma binòmica	$z = a + bj$ , amb $j^{2} = - 1$ , $Re z = a$ , $Im z = b$
Mòdul i argument principal	$∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ , $Arg z = atan2 (b, a) \in (- π, π]$
Forma polar i exponencial	$z = r (cos θ + j sin θ) = r e^{j θ}$
Fórmula d'Euler	$e^{j θ} = cos θ + j sin θ$
Conjugat	$\overset{z}{ˉ} = a - bj = r e^{- j θ}$ , $z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}$
Quocient en binòmica	$\frac{a + bj}{c + d j} = \frac{( a + bj ) ( c - d j )}{c ^{2} + d ^{2}}$
Producte i quocient en exponencial	$r e^{j θ} \cdot R e^{j φ} = r R e^{j (θ + φ)}$ , $\frac{r e ^{j θ}}{R e ^{j φ}} = \frac{r}{R} e^{j (θ - φ)}$
De Moivre	$(r e^{j θ})^{n} = r^{n} e^{j n θ}$ , $(cos θ + j sin θ)^{n} = cos n θ + j sin n θ$
Arrels $n$ -èsimes de $w = r e^{j θ}$	$z_{k} = n r e^{j (θ + 2 k π) / n}$ , $k = 0, \dots, n - 1$
Arrel quadrada exacta de $Δ = p + q j$	$δ = \pm (u + v j)$ , $u = \frac{∣ Δ ∣ + p}{2}$ , $v = sgn (q) \frac{∣ Δ ∣ - p}{2}$
Quadràtica $a z^{2} + b z + c = 0$	$z = \frac{- b \pm δ}{2 a}$ amb $δ^{2} = b^{2} - 4 a c$ ; Vieta: $z_{1} + z_{2} = - \frac{b}{a}$ , $z_{1} z_{2} = \frac{c}{a}$
Exponencial complexa	$e^{x + y j} = e^{x} (cos y + j sin y)$ , $∣ e^{z} ∣ = e^{x}$ , període $2 π j$
Sinus i cosinus	$sin z = \frac{e ^{j z} - e ^{- j z}}{2 j}$ , $cos z = \frac{e ^{j z} + e ^{- j z}}{2}$
Sinus i cosinus hiperbòlics	$sinh y = \frac{e ^{y} - e ^{- y}}{2}$ , $cosh y = \frac{e ^{y} + e ^{- y}}{2}$
Separació de $sin z$	$sin (x + y j) = sin x cosh y + j cos x sinh y$
Separació de $cos z$	$cos (x + y j) = cos x cosh y - j sin x sinh y$
Logaritme complex	$lo g z = {ln ∣ z ∣ + j (Arg z + 2 k π)}$ , $Log z = ln ∣ z ∣ + j Arg z$
Potència complexa	$z^{w} = {e^{w L} : L \in lo g z}$ , $pv (z^{w}) = e^{w Log z}$

Dues observacions d'ús. A les arrels $n$ -èsimes, el $2 k π$ es posa abans de dividir per $n$ ; si el poses després, tots els $k$ donen el mateix punt. I a la potència complexa, el nombre de valors diferents depèn de l'exponent: un únic valor si $w$ és enter, $q$ valors si $w = p / q$ és racional irreductible, i infinits si $w$ és irracional o té part imaginària.

Llista de comprovació

Has llegit tots els apartats i has classificat cadascun per forma abans de calcular?
Part real i imaginària escrites com a reals, sense cap $j$ ?
Quadrant decidit amb els signes de $a$ i $b$ ; argument principal a $(- π, π]$ ; reals negatius amb argument $π$ ?
Potències: argument reduït a $(- π, π]$ abans de tornar a binòmica; mòdul del resultat coherent amb $r^{n}$ ?
Arrels: $n$ solucions, expressió general amb $k$ , mateix mòdul, separació $2 π / n$ , figura anomenada?
Quadràtica: signe de $b$ , una sola $δ$ comprovada, divisió per $2 a$ amb el conjugat, Vieta al final?
Sinus i cosinus: paritat aplicada si $x$ o $y$ són negatius, signe menys al cosinus, resultat exacte abans dels decimals?
Logaritme i potència: conjunt amb $k \in Z$ explícit, valor principal a part, i part real i imaginària de $w lo g z$ separades netament?
Cada apartat té almenys una comprovació (mòdul, substitució, Vieta, $e^{Log z} = z$ )?

Si algun dels sis problemes t'ha fet dubtar, la pàgina corresponent del bloc conté la teoria i més exemples: representació i operacions per als problemes 1 i 2, potències, arrels i equacions per als problemes 2, 3 i 4, i funcions complexes per als problemes 5 i 6.