Matrius: operacions, potències, inversa i equacions matricials

Les matrius són el llenguatge de tot el bloc d'àlgebra de les PAU de Matemàtiques II: amb elles s'escriuen els sistemes, es calculen els determinants i es discuteixen els rangs. A l'examen, les matrius de selectivitat apareixen de dues maneres: com a eina dins d'un problema de sistemes i, molt sovint, com a pregunta pròpia, on et demanen calcular una potència, trobar la inversa o resoldre una equació matricial del tipus $AX = B$. En aquesta pàgina trobaràs les definicions imprescindibles, el producte de matrius explicat sense trampes, els patrons de potències que surten cada any i el mètode segur per aïllar una matriu incògnita.

Què és una matriu i quins tipus has de reconèixer

Una matriu és una taula rectangular de nombres ordenats en files i columnes. Si té $m$ files i $n$ columnes diem que té dimensió $m \times n$ i escrivim $A \in M_{m \times n}(\mathbb{R})$. L'element que ocupa la fila $i$ i la columna $j$ s'escriu $a_{ij}$: primer la fila, després la columna.

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$

A les PAU treballaràs gairebé sempre amb matrius de com a molt tres files i tres columnes, però convé tenir clars els noms que apareixen als enunciats.

Per exemple, la matriu $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ és simètrica (mira com els elements es reflecteixen respecte de la diagonal), i $\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ és triangular inferior. Aquesta última mena de matrius és molt còmoda quan arribes als determinants, perquè el seu determinant és el producte de la diagonal.

Igualtat, suma i producte per un escalar

Dues matrius són iguals quan tenen la mateixa dimensió i coincideixen element a element. Aquesta idea tan simple és una eina de resolució: si un enunciat et dona una igualtat de matrius $2 \times 2$, en realitat et dona quatre equacions numèriques, una per posició.

La suma i la resta només es poden fer entre matrius de la mateixa dimensió, i es fan element a element. El producte per un escalar $\lambda \in \mathbb{R}$ multiplica tots els elements per $\lambda$. Les propietats són les que esperaries: la suma és commutativa i associativa, la matriu nul·la és l'element neutre i $\lambda(A + B) = \lambda A + \lambda B$.

Producte de matrius

El producte de matrius és l'operació que dona feina. Per fer $A \cdot B$ cal que el nombre de columnes de $A$ coincideixi amb el nombre de files de $B$. Si $A$ és $m \times n$ i $B$ és $n \times p$, el producte $AB$ és $m \times p$, i l'element de la fila $i$ i columna $j$ s'obté multiplicant la fila $i$ de $A$ per la columna $j$ de $B$, terme a terme, i sumant:

$$(AB)_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}.$$

La regla mnemotècnica és «fila per columna». Fixa't en la dimensió abans de començar: si no encaixa, el producte simplement no existeix.

Les propietats que sí que es compleixen, i que faràs servir contínuament, són l'associativa $(AB)C = A(BC)$, la distributiva $A(B + C) = AB + AC$ i $(B + C)A = BA + CA$, l'element neutre $AI = IA = A$ i la transposada del producte:

$$(AB)^t = B^t A^t .$$

Observa que la transposada inverteix l'ordre. Amb les matrius de l'exemple anterior, $(AB)^t = \begin{pmatrix} 6 & 12 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$ i $B^t A^t$ dona exactament això, mentre que $A^t B^t = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ -2 & 10 \end{pmatrix}$ és una altra cosa.

Potències de matrius

Una potència $A^n$ només té sentit si $A$ és quadrada, i es calcula multiplicant $A$ per ella mateixa $n$ vegades. Els problemes de PAU no et demanen mai $A^{50}$ a la brava: et demanen $A^2$, $A^3$, potser $A^4$, i que descobreixis el patró per escriure $A^n$. Hi ha dos tipus de patró que has de reconèixer.

Patró creixent. Amb $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ s'obté $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, i la conjectura natural és $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Per justificar-la n'hi ha prou amb comprovar que, si val per a $n$, també val per a $n + 1$: $A^n \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & n + 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. El mateix passa amb $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, la potència $n$-èsima de la qual té un $n$ a la cantonada superior dreta i la resta igual.

Patró periòdic. Algunes matrius tornen a la identitat (o a un múltiple seu) al cap de poques multiplicacions, i aleshores les potències es repeteixen cíclicament.

Matriu inversa

No totes les matrius tenen inversa. El criteri definitiu el veuràs a la pàgina de determinants: $A$ és invertible si i només si $|A| \neq 0$. De moment, retén que la inversa és el substitut de la divisió, que les matrius no es poden dividir mai, i que per a l'ordre 2 hi ha una fórmula directa.

Inversa d'una matriu 2×2

Si $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ i $ad - bc \neq 0$,

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe dels altres dos i es divideix pel determinant. Per a $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$, $ad - bc = 6 - 5 = 1$ i per tant $A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$. Comprova-ho: $A A^{-1} = \begin{pmatrix} 6 - 5 & -3 + 3 \\ 10 - 10 & -5 + 6 \end{pmatrix} = I$. En canvi, $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ té $ad - bc = 4 - 4 = 0$ i no té inversa.

El mètode de Gauss-Jordan

Per a matrius d'ordre 3 la fórmula anterior no serveix. Tens dues opcions: la matriu adjunta (explicada a determinants) o el mètode de Gauss-Jordan, que consisteix a escriure $(A \mid I)$ i fer operacions per files fins a convertir la part esquerra en $I$: en aquell moment la part dreta és $A^{-1}$. Les operacions permeses són les mateixes que a la resolució de sistemes per Gauss.

Dues propietats de la inversa que apareixen a les equacions matricials: $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ (l'ordre s'inverteix, igual que a la transposada) i $(A^{-1})^{-1} = A$.

Equacions matricials

Una equació matricial és una igualtat on la incògnita $X$ és una matriu. L'estratègia és aïllar $X$ com en una equació normal, però amb dues regles noves: no es pot dividir (es multiplica per la inversa) i el costat pel qual multipliques importa.

Sense inversa

Si $X$ només apareix sumada o multiplicada per nombres, s'aïlla directament. De $2X + A = B$ s'obté $2X = B - A$ i $X = \frac{1}{2}(B - A)$. Amb les matrius $A$ i $B$ del primer exemple, $X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$. Un altre recurs sense inversa és posar $X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, operar i igualar element a element; és el camí quan $A$ no és invertible o quan et demanen «totes les matrius que compleixen...».

Amb inversa: $AX = B$ i $XA = B$

Si $A$ és invertible:

• De $AX = B$, multipliquem per l'esquerra per $A^{-1}$: $A^{-1} A X = A^{-1} B$, i com que $A^{-1} A = I$, queda $X = A^{-1} B$.
• De $XA = B$, multipliquem per la dreta per $A^{-1}$: $X A A^{-1} = B A^{-1}$, i queda $X = B A^{-1}$.

La regla és que la inversa ha d'anar al mateix costat on hi ha $A$, perquè només així $A^{-1}$ i $A$ queden juntes i s'anul·len.

Equacions amb més termes: $AX + B = C$

Primer s'aïlla el terme que conté $X$ sumant i restant matrius, i només al final es multiplica per la inversa:

$$AX + B = C \;\Longrightarrow\; AX = C - B \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}(C - B).$$

Altres variants que surten: $AXB = C$ es resol amb $X = A^{-1} C B^{-1}$ (una inversa per cada costat); $AX = X + B$ es reordena com $(A - I)X = B$ i requereix la inversa de $A - I$; i $X A = A + X$ passa a $X(A - I) = A$, d'on $X = A(A - I)^{-1}$.

Problemes típics de PAU amb matrius

Els enunciats es repeteixen amb poques variacions:

1. Potència $n$-èsima: calcula $A^2$, $A^3$ i dedueix $A^n$; després demanen $A^{2026}$ o la suma $A + A^2 + \cdots$.
2. Inversa amb paràmetre: «per a quins valors de $k$ la matriu $A$ té inversa?». Es resol amb $|A| \neq 0$ (vegeu determinants) i després calculant la inversa per a un valor concret.
3. Equació matricial: aïllar $X$ en $AX + B = C$, $XA = B$ o $AXB = C$, sovint combinada amb la inversa que acabes de calcular a l'apartat anterior.
4. Matrius que commuten: trobar totes les $X$ tals que $AX = XA$. S'escriu $X$ amb incògnites i s'iguala element a element.
5. Sistema disfressat: una igualtat de matrius amb incògnites que en realitat és un sistema lineal.

Les matrius també apareixen al bloc de geometria: les coordenades de tres vectors es col·loquen com a files d'una matriu $3 \times 3$ i el seu determinant o el seu rang diu si són linealment independents.

Com redactar la resposta a l'examen

Als problemes de matrius el corrector busca tres coses: que respectis les dimensions, que respectis l'ordre dels productes i que comprovis el resultat. Una redacció model per a una equació matricial:

Com que $|A| = \ldots \neq 0$, la matriu $A$ és invertible i $A^{-1} = \ldots$ Multiplicant l'equació $AX = B$ per l'esquerra per $A^{-1}$ obtenim $A^{-1}AX = A^{-1}B$, és a dir $X = A^{-1}B = \ldots$ Comprovació: $AX = \ldots = B$.

I per a una potència:

Calculem $A^2 = \ldots$ i $A^3 = \ldots$ Observem que $A^3 = I$, de manera que les potències es repeteixen amb període 3. Com que $100 = 3 \cdot 33 + 1$, $A^{100} = (A^3)^{33} A = A$.

Exercicis proposats

Exercici 1. Sigui $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$. Calcula $A^2$ i $A^3$, i després $A^{100}$.

Solució de l'exercici 1

$$A^2 = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \\ -1 \cdot 0 + (-1)(-1) & -1 \cdot 1 + (-1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A^3 = A^2 A = \begin{pmatrix} 0 + 1 & -1 + 1 \\ 0 + 0 & 1 + 0 \end{pmatrix} = I.$$

Com que $A^3 = I$, les potències tenen període 3. Dividint, $100 = 3 \cdot 33 + 1$, així que $A^{100} = (A^3)^{33} \cdot A = A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$.

Exercici 2. Resol l'equació $XA + B = C$, on

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}.$$

Solució de l'exercici 2

Primer aïllem el producte: $XA = C - B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$. Com que $|A| = 1 \neq 0$, existeix $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. La incògnita és a l'esquerra de $A$, així que multipliquem per la dreta:

$$X = (C - B) A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Comprovació: $XA = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ i, sumant $B$, obtenim $C$.

Exercici 3. Troba totes les matrius $X$ d'ordre 2 que commuten amb $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, és a dir, que compleixen $AX = XA$.

Solució de l'exercici 3

Posem $X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ i calculem els dos productes:

$$AX = \begin{pmatrix} a + c & b + d \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad XA = \begin{pmatrix} a & a + b \\ c & c + d \end{pmatrix}.$$

Igualant element a element: de la posició $(1,1)$, $a + c = a$, així que $c = 0$; de la $(1,2)$, $b + d = a + b$, així que $d = a$; les altres dues posicions no aporten res de nou. Les matrius buscades són

$$X = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, \qquad a, b \in \mathbb{R}.$$

Fixa't que la identitat i la mateixa $A$ són casos particulars, com havia de ser.