Matrius: operacions, potències, inversa i equacions matricials

Les matrius són el llenguatge de tot el bloc d'àlgebra de les PAU de Matemàtiques II: amb elles s'escriuen els sistemes, es calculen els determinants i es discuteixen els rangs. A l'examen, les matrius de selectivitat apareixen de dues maneres: com a eina dins d'un problema de sistemes i, molt sovint, com a pregunta pròpia, on et demanen calcular una potència, trobar la inversa o resoldre una equació matricial del tipus $AX=B$. En aquesta pàgina trobaràs les definicions imprescindibles, el producte de matrius explicat sense trampes, els patrons de potències que surten cada any i el mètode segur per aïllar una matriu incògnita.

Què és una matriu i quins tipus has de reconèixer

Una matriu és una taula rectangular de nombres ordenats en files i columnes. Si té $m$ files i $n$ columnes diem que té dimensió $m\times n$ i escrivim $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$. L'element que ocupa la fila $i$ i la columna $j$ s'escriu $a_{ij}$: primer la fila, després la columna.

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

A les PAU treballaràs gairebé sempre amb matrius de com a molt tres files i tres columnes, però convé tenir clars els noms que apareixen als enunciats.

Per exemple, la matriu $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 0\\ 3& 0& 4\end{array}\right)$ és simètrica (mira com els elements es reflecteixen respecte de la diagonal), i $\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 3& -1& 0\\ 5& 4& 3\end{array}\right)$ és triangular inferior. Aquesta última mena de matrius és molt còmoda quan arribes als determinants, perquè el seu determinant és el producte de la diagonal.

Igualtat, suma i producte per un escalar

Dues matrius són iguals quan tenen la mateixa dimensió i coincideixen element a element. Aquesta idea tan simple és una eina de resolució: si un enunciat et dona una igualtat de matrius $2\times 2$, en realitat et dona quatre equacions numèriques, una per posició.

La suma i la resta només es poden fer entre matrius de la mateixa dimensió, i es fan element a element. El producte per un escalar $\lambda \in \mathbb{R}$ multiplica tots els elements per $\lambda$. Les propietats són les que esperaries: la suma és commutativa i associativa, la matriu nul·la és l'element neutre i $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$.

Producte de matrius

El producte de matrius és l'operació que dona feina. Per fer $A\cdot B$ cal que el nombre de columnes de $A$ coincideixi amb el nombre de files de $B$. Si $A$ és $m\times n$ i $B$ és $n\times p$, el producte $AB$ és $m\times p$, i l'element de la fila $i$ i columna $j$ s'obté multiplicant la fila $i$ de $A$ per la columna $j$ de $B$, terme a terme, i sumant:

$$(AB{)}_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}.$$

La regla mnemotècnica és «fila per columna». Fixa't en la dimensió abans de començar: si no encaixa, el producte simplement no existeix.

Les propietats que sí que es compleixen, i que faràs servir contínuament, són l'associativa $(AB)C=A(BC)$, la distributiva $A(B+C)=AB+AC$ i $(B+C)A=BA+CA$, l'element neutre $AI=IA=A$ i la transposada del producte:

$$(AB{)}^t=B^t{A}^t.$$

Observa que la transposada inverteix l'ordre. Amb les matrius de l'exemple anterior, $(AB{)}^t=\left(\begin{array}{cc}6& 12\\ 0& 6\end{array}\right)$ i $B^t{A}^t$ dona exactament això, mentre que $A^t{B}^t=\left(\begin{array}{cc}2& 8\\ -2& 10\end{array}\right)$ és una altra cosa.

Potències de matrius

Una potència $A^n$ només té sentit si $A$ és quadrada, i es calcula multiplicant $A$ per ella mateixa $n$ vegades. Els problemes de PAU no et demanen mai $A^{50}$ a la brava: et demanen $A^2$, $A^3$, potser $A^4$, i que descobreixis el patró per escriure $A^n$. Hi ha dos tipus de patró que has de reconèixer.

Patró creixent. Amb $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ s'obté $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$, i la conjectura natural és $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$. Per justificar-la n'hi ha prou amb comprovar que, si val per a $n$, també val per a $n+1$: $A^n\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& n+1\\ 0& 1\end{array}\right)$. El mateix passa amb $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, la potència $n$-èsima de la qual té un $n$ a la cantonada superior dreta i la resta igual.

Patró periòdic. Algunes matrius tornen a la identitat (o a un múltiple seu) al cap de poques multiplicacions, i aleshores les potències es repeteixen cíclicament.

Matriu inversa

No totes les matrius tenen inversa. El criteri definitiu el veuràs a la pàgina de determinants: $A$ és invertible si i només si $|A|\ne 0$. De moment, retén que la inversa és el substitut de la divisió, que les matrius no es poden dividir mai, i que per a l'ordre 2 hi ha una fórmula directa.

Inversa d'una matriu 2×2

Si $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ i $ad-bc\ne 0$,

$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right).$$

És a dir: s'intercanvien els elements de la diagonal principal, es canvia el signe dels altres dos i es divideix pel determinant. Per a $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 5& 2\end{array}\right)$, $ad-bc=6-5=1$ i per tant $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -5& 3\end{array}\right)$. Comprova-ho: $A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}6-5& -3+3\\ 10-10& -5+6\end{array}\right)=I$. En canvi, $\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 2\end{array}\right)$ té $ad-bc=4-4=0$ i no té inversa.

El mètode de Gauss-Jordan

Per a matrius d'ordre 3 la fórmula anterior no serveix. Tens dues opcions: la matriu adjunta (explicada a determinants) o el mètode de Gauss-Jordan, que consisteix a escriure $(A\mid I)$ i fer operacions per files fins a convertir la part esquerra en $I$: en aquell moment la part dreta és $A^{-1}$. Les operacions permeses són les mateixes que a la resolució de sistemes per Gauss.

Dues propietats de la inversa que apareixen a les equacions matricials: $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ (l'ordre s'inverteix, igual que a la transposada) i $(A^{-1}{)}^{-1}=A$.

Equacions matricials

Una equació matricial és una igualtat on la incògnita $X$ és una matriu. L'estratègia és aïllar $X$ com en una equació normal, però amb dues regles noves: no es pot dividir (es multiplica per la inversa) i el costat pel qual multipliques importa.

Sense inversa

Si $X$ només apareix sumada o multiplicada per nombres, s'aïlla directament. De $2X+A=B$ s'obté $2X=B-A$ i $X=\frac{1}{2}(B-A)$. Amb les matrius $A$ i $B$ del primer exemple, $X=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 3\end{array}\right)$. Un altre recurs sense inversa és posar $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, operar i igualar element a element; és el camí quan $A$ no és invertible o quan et demanen «totes les matrius que compleixen...».

Amb inversa: $AX=B$ i $XA=B$

Si $A$ és invertible:

• De $AX=B$, multipliquem per l'esquerra per $A^{-1}$: $A^{-1}AX=A^{-1}B$, i com que $A^{-1}A=I$, queda $X=A^{-1}B$.
• De $XA=B$, multipliquem per la dreta per $A^{-1}$: $XA{A}^{-1}=B{A}^{-1}$, i queda $X=B{A}^{-1}$.

La regla és que la inversa ha d'anar al mateix costat on hi ha $A$, perquè només així $A^{-1}$ i $A$ queden juntes i s'anul·len.

Equacions amb més termes: $AX+B=C$

Primer s'aïlla el terme que conté $X$ sumant i restant matrius, i només al final es multiplica per la inversa:

$$AX+B=C⟹AX=C-B⟹X=A^{-1}(C-B).$$

Altres variants que surten: $AXB=C$ es resol amb $X=A^{-1}C{B}^{-1}$ (una inversa per cada costat); $AX=X+B$ es reordena com $(A-I)X=B$ i requereix la inversa de $A-I$; i $XA=A+X$ passa a $X(A-I)=A$, d'on $X=A(A-I{)}^{-1}$.

Problemes típics de PAU amb matrius

Els enunciats es repeteixen amb poques variacions:

1. Potència $n$-èsima: calcula $A^2$, $A^3$ i dedueix $A^n$; després demanen $A^{2026}$ o la suma $A+A^2+\cdots$.
2. Inversa amb paràmetre: «per a quins valors de $k$ la matriu $A$ té inversa?». Es resol amb $|A|\ne 0$ (vegeu determinants) i després calculant la inversa per a un valor concret.
3. Equació matricial: aïllar $X$ en $AX+B=C$, $XA=B$ o $AXB=C$, sovint combinada amb la inversa que acabes de calcular a l'apartat anterior.
4. Matrius que commuten: trobar totes les $X$ tals que $AX=XA$. S'escriu $X$ amb incògnites i s'iguala element a element.
5. Sistema disfressat: una igualtat de matrius amb incògnites que en realitat és un sistema lineal.

Les matrius també apareixen al bloc de geometria: les coordenades de tres vectors es col·loquen com a files d'una matriu $3\times 3$ i el seu determinant o el seu rang diu si són linealment independents.

Com redactar la resposta a l'examen

Als problemes de matrius el corrector busca tres coses: que respectis les dimensions, que respectis l'ordre dels productes i que comprovis el resultat. Una redacció model per a una equació matricial:

Com que $|A|=\dots \ne 0$, la matriu $A$ és invertible i $A^{-1}=\dots$ Multiplicant l'equació $AX=B$ per l'esquerra per $A^{-1}$ obtenim $A^{-1}AX=A^{-1}B$, és a dir $X=A^{-1}B=\dots$ Comprovació: $AX=\dots =B$.

I per a una potència:

Calculem $A^2=\dots$ i $A^3=\dots$ Observem que $A^3=I$, de manera que les potències es repeteixen amb període 3. Com que $100=3\cdot 33+1$, $A^{100}=(A^3{)}^{33}A=A$.

Exercicis proposats

Exercici 1. Sigui $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$. Calcula $A^2$ i $A^3$, i després $A^{100}$.

Solució de l'exercici 1

$$A^2=\left(\begin{array}{cc}0\cdot 0+1\cdot (-1)& 0\cdot 1+1\cdot (-1)\\ -1\cdot 0+(-1)(-1)& -1\cdot 1+(-1)(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 0\end{array}\right),A^3=A^{2}A=\left(\begin{array}{cc}0+1& -1+1\\ 0+0& 1+0\end{array}\right)=I.$$

Com que $A^3=I$, les potències tenen període 3. Dividint, $100=3\cdot 33+1$, així que $A^{100}=(A^3{)}^{33}\cdot A=A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$.

Exercici 2. Resol l'equació $XA+B=C$, on

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 3\end{array}\right).$$

Solució de l'exercici 2

Primer aïllem el producte: $XA=C-B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$. Com que $|A|=1\ne 0$, existeix $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right)$. La incògnita és a l'esquerra de $A$, així que multipliquem per la dreta:

$$X=(C-B)A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right).$$

Comprovació: $XA=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$ i, sumant $B$, obtenim $C$.

Exercici 3. Troba totes les matrius $X$ d'ordre 2 que commuten amb $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$, és a dir, que compleixen $AX=XA$.

Solució de l'exercici 3

Posem $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ i calculem els dos productes:

$$AX=\left(\begin{array}{cc}a+c& b+d\\ c& d\end{array}\right),XA=\left(\begin{array}{cc}a& a+b\\ c& c+d\end{array}\right).$$

Igualant element a element: de la posició $(1,1)$, $a+c=a$, així que $c=0$; de la $(1,2)$, $b+d=a+b$, així que $d=a$; les altres dues posicions no aporten res de nou. Les matrius buscades són

$$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right),a,b\in \mathbb{R}.$$

Fixa't que la identitat i la mateixa $A$ són casos particulars, com havia de ser.