☰ Índex de temes

Sistemes lineals: Gauss, Rouché-Frobenius i discussió amb paràmetre

⏱ 14 min de lectura🔄 Actualitzat el 8 de setembre del 2026Universitat

Un sistema lineal és la pregunta més bàsica de l'àlgebra lineal: donada una matriu $A$ i un vector $b$ , quins vectors $x$ compleixen $A x = b$ ? A primer d'enginyeria la resposta no és un nombre sinó una estructura: cap solució, una de sola, o tot un espai afí de solucions amb un nombre precís de graus de llibertat. En aquesta pàgina veuràs el mètode de Gauss i la seva versió reduïda de Gauss-Jordan, els pivots i les variables lliures, el teorema de Rouché-Frobenius amb la seva justificació, quan pots aplicar Cramer, i el protocol complet per discutir un sistema amb paràmetre, l'exercici que més punts val al bloc. Acabarem amb el sistema homogeni com a nucli i amb una aplicació a circuits elèctrics. Necessitaràs el càlcul de rangs de determinants, inversa i rang; si vols un repàs de batxillerat abans de començar, tens la pàgina de sistemes de selectivitat.

Del sistema a la forma matricial

Un sistema de $m$ equacions lineals amb $n$ incògnites s'escriu de manera compacta com

A x = b, A \in M_{m \times n} (R), x \in R^{n}, b \in R^{m} .

La matriu $A$ és la matriu de coeficients i $(A ∣ b)$ , amb la columna $b$ afegida a la dreta, és la matriu ampliada. Porten informació diferent: $A$ diu com es combinen les incògnites, i la columna $b$ diu quin resultat s'exigeix. Tota la discussió d'un sistema consisteix a comparar el que sap fer $A$ (el seu rang) amb el que demana $b$ .

Hi ha una segona lectura, per columnes, que val la pena tenir sempre present: si $A = [c_{1} c_{2} \dots c_{n}]$ , aleshores $A x = x_{1} c_{1} + x_{2} c_{2} + \dots + x_{n} c_{n}$ . Resoldre $A x = b$ és expressar $b$ com a combinació lineal de les columnes de $A$ . El sistema és compatible exactament quan $b$ pertany al subespai generat per les columnes, i és aquesta lectura la que fa evident el teorema de Rouché-Frobenius.

Operar només els coeficients

Si fas una operació elemental sobre les files de $A$ i t'oblides de fer-la també sobre la columna $b$ , has canviat de sistema. Treballa sempre amb la matriu ampliada sencera: la ratlla vertical és un recordatori, no una frontera.

Geometria de les solucions

Cada equació lineal $a_{i 1} x_{1} + \dots + a_{in} x_{n} = b_{i}$ representa un hiperplà de $R^{n}$ (una recta si $n = 2$ , un pla si $n = 3$ ). El conjunt de solucions és la intersecció de $m$ hiperplans, i només pot ser de tres tipus: buit (sistema incompatible), un punt (compatible determinat) o un espai afí de dimensió positiva (compatible indeterminat).

Estructura de les solucions

Si $A x = b$ és compatible i $x_{p}$ és una solució particular qualsevol, aleshores

{x : A x = b} = x_{p} + Ker A = {x_{p} + h : A h = 0} .

El conjunt de solucions és la solució particular més totes les solucions del sistema homogeni associat.

La demostració és de dues línies. Si $A x = b$ i $A x_{p} = b$ , restant, $A (x - x_{p}) = 0$ , així que $x - x_{p} \in Ker A$ . Recíprocament, si $h \in Ker A$ , aleshores $A (x_{p} + h) = b + 0 = b$ . La conseqüència pràctica és que els graus de llibertat d'un sistema compatible són la dimensió del nucli, $n - rang A$ , i que aquesta dimensió no depèn de $b$ : el terme independent decideix si hi ha solució, però no quantes.

Operacions elementals i sistemes equivalents

Dos sistemes són equivalents si tenen exactament el mateix conjunt de solucions. Les tres operacions elementals de files sobre $(A ∣ b)$ ,

F_{i} \leftrightarrow F_{j}, F_{i} \to c F_{i} (c \neq = 0), F_{i} \to F_{i} + c F_{j},

produeixen sempre sistemes equivalents, perquè cadascuna és reversible amb una operació del mateix tipus (intercanviar de nou, multiplicar per $1/ c$ , restar $c F_{j}$ ): tota solució del sistema nou ho és de l'antic i a l'inrevés. D'aquí surt la condició $c \neq = 0$ i la regla d'or amb paràmetres: si $c$ depèn d'un paràmetre, multiplicar o dividir per $c$ només és legal quan has separat abans el cas $c = 0$ .

L'algorisme de Gauss

El mètode de Gauss transforma $(A ∣ b)$ en una forma escalonada: cada fila comença amb més zeros que l'anterior, i el primer element no nul de cada fila és un pivot. El procediment és mecànic:

Tria un pivot no nul a la primera columna que en tingui; si cal, intercanvia files per posar-lo a dalt.
Fes zeros a sota del pivot amb operacions $F_{i} \to F_{i} + c F_{j}$ .
Avança una fila i una columna i repeteix.
Quan no queden pivots, llegeix: contradiccions, nombre de pivots i variables lliures.
Resol per substitució enrere o continua fins a la forma reduïda.

Una bona pràctica que estalvia errors aritmètics: prefereix intercanvis i combinacions amb coeficients enters, i deixa les fraccions per al final.

Gauss amb solució única

Resolem

⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - z = 2 2 x + y + z = 7 - x + y + 2 z = 3

Amb $F_{2} \to F_{2} - 2 F_{1}$ i $F_{3} \to F_{3} + F_{1}$ :

12 - 1 211 - 1 12 273 ⟶ 100 2 - 3 3 - 1 31 235 F_{3} \to F_{3} + F_{2} 100 2 - 3 0 - 1 34 238 .

Tres pivots ( $1$ , $- 3$ , $4$ ) per a tres incògnites. Substitució enrere: $z = 2$ ; $- 3 y + 6 = 3$ dona $y = 1$ ; $x + 2 - 2 = 2$ dona $x = 2$ . La solució és $(x, y, z) = (2, 1, 2)$ . Comprovació en una equació original, no en la reduïda: $2 \cdot 2 + 1 + 2 = 7$ .

Gauss-Jordan i la forma escalonada reduïda

Si després d'escalonar continues fent zeros per sobre de cada pivot i normalitzes els pivots a $1$ , arribes a la forma escalonada reduïda (Gauss-Jordan). És única per a cada matriu i la solució s'hi llegeix directament, sense substitució enrere: cada variable pivot queda aïllada en funció de les lliures. És el mètode natural quan hi ha variables lliures, quan calcules una inversa o quan vols una base del nucli.

Gauss-Jordan amb variables lliures

Resolem el sistema de tres equacions i quatre incògnites

⎩ ⎨ ⎧ x + y + z + t = 4 2 x + y - z + t = 3 x + 2 y + 4 z + 2 t = 9

Amb $F_{2} \to F_{2} - 2 F_{1}$ i $F_{3} \to F_{3} - F_{1}$ la segona fila queda $(0, - 1, - 3, - 1 ∣ - 5)$ i la tercera $(0, 1, 3, 1 ∣ 5)$ : són oposades, i $F_{3} \to F_{3} + F_{2}$ la fa nul·la. Fem $F_{2} \to - F_{2}$ i després $F_{1} \to F_{1} - F_{2}$ per netejar la segona columna per sobre del pivot:

100010 - 2 30 010 - 1 50 .

Els pivots són a les columnes 1 i 2: $x$ i $y$ són variables dependents; $z$ i $t$ són lliures. Amb $z = s$ i $t = u$ ,

(x, y, z, t) = (- 1 + 2 s, 5 - 3 s - u, s, u) = (- 1, 5, 0, 0) + s (2, - 3, 1, 0) + u (0, - 1, 0, 1), s, u \in R .

La segona escriptura és exactament $x_{p} + Ker A$ : el punt $(- 1, 5, 0, 0)$ és una solució particular i els dos vectors generen el nucli.

Pivots, variables lliures i graus de llibertat

En una forma escalonada de $(A ∣ b)$ hi ha tres tipus de fila i cadascuna diu una cosa diferent:

Una fila $(0 \dots 0 ∣ c)$ amb $c \neq = 0$ és l'equació $0 = c$ : el sistema és incompatible.
Una fila completament nul·la és una equació redundant (combinació lineal de les altres). No diu res sobre la compatibilitat.
Cada fila amb pivot fixa una variable.

Si el sistema és compatible i $r = rang A$ és el nombre de pivots, les columnes amb pivot corresponen a variables dependents i les altres $n - r$ columnes a variables lliures. Els graus de llibertat són $n - r$ , i una parametrització correcta ha de tenir exactament $n - r$ paràmetres independents: si esperes dos graus de llibertat i la resposta només té un paràmetre, la solució és incompleta.

Prediu abans de parametritzar

Abans d'escriure la solució d'un sistema compatible indeterminat, calcula $n - rang A$ i digues en veu alta quants paràmetres hi haurà. Després tria com a lliures les variables de les columnes sense pivot: si en tries d'altres, pot passar que el sistema per a les restants no tingui solució única i la parametrització surti malament.

El teorema de Rouché-Frobenius

Rouché-Frobenius

Sigui $A x = b$ un sistema amb $n$ incògnites, $r = rang A$ i $r^{'} = rang (A ∣ b)$ . Aleshores:

el sistema és compatible si i només si $r = r^{'}$ ;
si $r = r^{'} = n$ , és compatible determinat (solució única);
si $r = r^{'} < n$ , és compatible indeterminat amb $n - r$ graus de llibertat;
si $r < r^{'}$ , és incompatible.

La justificació surt de la lectura per columnes. $rang A$ és la dimensió de l'espai generat per les columnes $c_{1}, \dots, c_{n}$ ; $rang (A ∣ b)$ és la dimensió de l'espai generat per aquestes columnes i $b$ . Si $b$ és combinació lineal de les columnes (és a dir, si hi ha solució) afegir-lo no fa créixer la dimensió i els dos rangs coincideixen; si no ho és, el rang puja exactament una unitat. Per tant només hi ha dues possibilitats, $r^{'} = r$ o $r^{'} = r + 1$ ; si et surt $r^{'} = r + 2$ , tens un error de càlcul. La segona part del teorema és el que ja sabem: compatible vol dir $x_{p} + Ker A$ , i $dim Ker A = n - r$ . En termes de Gauss, $r < r^{'}$ apareix com una fila $(0 \dots 0 ∣ c)$ , i $r = r^{'} < n$ com menys de $n$ pivots sense cap contradicció.

Cramer: quan sí i quan no

Per a un sistema quadrat ( $n$ equacions, $n$ incògnites) amb $det A \neq = 0$ , la regla de Cramer dona cada incògnita com un quocient de determinants:

x_{i} = \frac{det A _{i}}{det A},

on $A_{i}$ és $A$ amb la columna $i$ substituïda per $b$ . És útil quan només vols una incògnita o una expressió tancada en funció d'un paràmetre. Té dues limitacions: exigeix $n = m$ i $det A \neq = 0$ , i no discuteix el cas $det A = 0$ , que és precisament el que puntua a l'examen; i per a $n = 4$ demana cinc determinants d'ordre 4, mentre que Gauss és una sola reducció. Regla pràctica: Cramer per a una incògnita concreta d'un sistema ja classificat com a compatible determinat; Gauss per a tota la resta, sobretot amb paràmetres, sistemes rectangulars o variables lliures.

Protocol per discutir un sistema amb paràmetre

Aquest és l'exercici tipus. El protocol:

Escriu $(A ∣ b)$ i redueix per Gauss sense dividir per cap expressió que pugui anul·lar-se.
Identifica els valors crítics: els que anul·len un pivot o fan aparèixer una fila $(0 \dots 0 ∣ c)$ . Si el sistema és quadrat, són les arrels de $det A$ .
Per al cas genèric i per a cada valor crític per separat, calcula $rang A$ i $rang (A ∣ b)$ .
Classifica amb Rouché-Frobenius i escriu la taula de casos: valor del paràmetre, $r$ , $r^{'}$ , $n$ , tipus, graus de llibertat.
Si es demana, resol el cas indicat amb exactament $n - r$ paràmetres.

Discussió completa amb tres casos

Discutim segons $m \in R$ i resolem quan sigui compatible:

⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y + z = 3 2 x + (m + 3) y + 3 z = 7 x + 2 y + (m + 1) z = 2 m + 3

Reducció. El pivot $1$ de la primera fila no depèn de $m$ , així que $F_{2} \to F_{2} - 2 F_{1}$ i $F_{3} \to F_{3} - F_{1}$ són legals per a tot $m$ :

121 2 m + 3 2 13 m + 1 37 2 m + 3 ⟶ 100 2 m - 1 0 11 m 31 2 m .

Ja és escalonada. Els candidats a pivot són $1$ , $m - 1$ i $m$ : els valors crítics són $m = 1$ i $m = 0$ . (Coincideix amb $det A = m (m - 1)$ , que pots calcular directament com a control.)

Cas $m \neq = 0$ i $m \neq = 1$ . Tres pivots no nuls: $rang A = rang (A ∣ b) = 3 = n$ . Sistema compatible determinat. De la tercera fila, $z = 2$ ; de la segona, $(m - 1) y + 2 = 1$ , és a dir $y = \frac{- 1}{m - 1}$ ; de la primera, $x = 3 - 2 y - z = 1 + \frac{2}{m - 1} = \frac{m + 1}{m - 1}$ . Per exemple, per a $m = 2$ la solució és $(3, - 1, 2)$ , i pots comprovar-la a la segona equació original: $6 - 5 + 6 = 7$ .

Cas $m = 0$ . La tercera fila és $(0, 0, 0 ∣ 0)$ : equació redundant, no contradicció. Queden dos pivots ( $1$ i $m - 1 = - 1$ ): $rang A = rang (A ∣ b) = 2 < 3$ . Sistema compatible indeterminat amb $3 - 2 = 1$ grau de llibertat. Amb $z = s$ lliure: de la segona fila, $- y + s = 1$ , així que $y = s - 1$ ; de la primera, $x = 3 - 2 (s - 1) - s = 5 - 3 s$ . Solucions: $(x, y, z) = (5 - 3 s, s - 1, s)$ , $s \in R$ .

Cas $m = 1$ . La segona fila és $(0, 0, 1 ∣ 1)$ i la tercera $(0, 0, 1 ∣ 2)$ : restant-les, $(0, 0, 0 ∣ 1)$ , que és $0 = 1$ . Tenim $rang A = 2$ (columnes 1 i 3) però $rang (A ∣ b) = 3$ . Sistema incompatible.

Taula de casos.

Cas	$rang A$	$rang (A ∣ b)$	Tipus	Graus de llibertat
$m \neq = 0, 1$	3	3	SCD	0
$m = 0$	2	2	SCI	1
$m = 1$	2	3	SI	—

Concloure a partir del determinant sol

« $det A = 0$ , per tant el sistema no té solució» és fals: el determinant nul només descarta el cas determinat. A l'exemple, $m = 0$ i $m = 1$ anul·len el determinant tots dos i tenen comportaments oposats. Cada valor crític s'ha d'estudiar per separat, amb els dos rangs, i s'ha de dir explícitament quin dels dos pivots o quina fila el fa crític.

Comprovar una família de solucions

Una parametrització és correcta si supera tres controls: té exactament $n - r$ paràmetres; substituïda a totes les equacions originals dona identitats per a qualsevol valor dels paràmetres; i no imposa cap relació amagada entre ells. Per a la família $(5 - 3 s, s - 1, s)$ del cas $m = 0$ : a la primera equació, $(5 - 3 s) + 2 (s - 1) + s = 3$ ; a la segona, $2 (5 - 3 s) + 3 (s - 1) + 3 s = 7$ ; a la tercera, $(5 - 3 s) + 2 (s - 1) + s = 3$ . Les tres es compleixen per a tot $s$ , amb un sol paràmetre, com prediu $3 - 2 = 1$ .

La inversa també és un sistema

Si $A$ és quadrada i inversible, l'equació $A X = I$ es descompon per columnes: la columna $j$ de $X$ és la solució del sistema $A x_{j} = e_{j}$ , on $e_{j}$ és la columna $j$ de la identitat. Calcular $A^{- 1}$ és resoldre $n$ sistemes amb la mateixa matriu de coeficients, i per això Gauss-Jordan sobre $(A ∣ I)$ és eficient: una sola reducció serveix per als $n$ termes independents alhora. Per exemple, amb $A = (2513)$ (determinant $1$ ), les columnes de $A^{- 1} = (3 - 5 - 1 2)$ compleixen $A (3, - 5)^{t} = (1, 0)^{t}$ i $A (- 1, 2)^{t} = (0, 1)^{t}$ . Aquesta lectura també explica per què una matriu singular no té inversa: si $rang A < n$ , algun $e_{j}$ queda fora de l'espai de columnes i el sistema $A x_{j} = e_{j}$ és incompatible.

Sistemes homogenis i el nucli

Un sistema és homogeni si $b = 0$ . Sempre és compatible, perquè $x = 0$ n'és solució, i el seu conjunt de solucions és el nucli $Ker A$ , un subespai de $R^{n}$ de dimensió $n - rang A$ . Per tant un sistema homogeni té solucions no trivials si i només si $rang A < n$ ; si és quadrat, si i només si $det A = 0$ . La base del nucli s'obté de la forma reduïda: cada variable lliure genera un vector de la base.

Base del nucli

Sigui $A = 121242 - 1 12 154$ . Amb $F_{2} \to F_{2} - 2 F_{1}$ i $F_{3} \to F_{3} - F_{1}$ les dues files inferiors queden iguals a $(0, 0, 3, 3)$ , i restant-les n'anul·lem una. Normalitzant i pujant, la forma reduïda és

100200010210,

amb pivots a les columnes 1 i 3. $rang A = 2$ i $dim Ker A = 4 - 2 = 2$ . Amb $y = s$ i $t = u$ lliures, $x = - 2 s - 2 u$ i $z = - u$ :

Ker A = {s (- 2, 1, 0, 0) + u (- 2, 0, - 1, 1) : s, u \in R} = ⟨(- 2, 1, 0, 0), (- 2, 0, - 1, 1)⟩ .

Comprovació: $A (- 2, 1, 0, 0)^{t} = (0, 0, 0)^{t}$ i $A (- 2, 0, - 1, 1)^{t} = (- 2 + 1 + 1, - 4 - 1 + 5, - 2 - 2 + 4)^{t} = (0, 0, 0)^{t}$ .

El nucli reapareix a espais vectorials i bases com a subespai definit per equacions, i a diagonalització com a espai propi $Ker (A - λ I)$ : cada cop que resols un sistema homogeni estàs calculant un nucli.

Aplicació: un circuit amb les lleis de Kirchhoff

Els sistemes lineals apareixen a l'enginyeria cada vegada que hi ha lleis de conservació i relacions lineals entre magnituds. Considera un circuit de dues malles amb tres corrents desconeguts $I_{1}$ , $I_{2}$ , $I_{3}$ (en ampers): $I_{1}$ entra en un node i es divideix en $I_{2}$ i $I_{3}$ . La llei dels nodes dona $I_{1} - I_{2} - I_{3} = 0$ . Suposem que la primera malla conté una font de $12 V$ i resistències de $2 Ω$ (recorreguda per $I_{1}$ ) i $4 Ω$ (per $I_{2}$ ), i que la segona malla comparteix la resistència de $4 Ω$ amb una branca de $2 Ω$ (per $I_{3}$ ) i una font de $2 V$ . La llei de les malles dona $2 I_{1} + 4 I_{2} = 12$ i $4 I_{2} - 2 I_{3} = - 2$ . El sistema és

⎩ ⎨ ⎧ I_{1} - I_{2} - I_{3} = 0 2 I_{1} + 4 I_{2} = 12 4 I_{2} - 2 I_{3} = - 2

Substituint $I_{1} = I_{2} + I_{3}$ a la segona equació, $6 I_{2} + 2 I_{3} = 12$ ; de la tercera, $I_{3} = 2 I_{2} + 1$ , i per tant $6 I_{2} + 4 I_{2} + 2 = 12$ , d'on $I_{2} = 1$ , $I_{3} = 3$ i $I_{1} = 4$ . La matriu de coeficients té determinant $- 20 \neq = 0$ , així que el circuit té un únic estat estacionari, com ha de ser físicament. El mateix esquema (una equació per node, una per malla) dona sistemes de desenes d'incògnites en circuits reals. Un altre exemple clàssic és la interpolació polinòmica: el polinomi $p (x) = a x^{2} + b x + c$ que passa per $(- 1, 6)$ , $(1, 2)$ i $(2, 3)$ surt del sistema $a - b + c = 6$ , $a + b + c = 2$ , $4 a + 2 b + c = 3$ , de solució $(a, b, c) = (1, - 2, 3)$ .

Protocol de resolució

Escriu $(A ∣ b)$ i anota $m$ , $n$ i què et demanen: classificar, resoldre, o totes dues coses.
Redueix per Gauss amb pivots que no depenguin del paràmetre sempre que puguis; si no és possible, no divideixis: anota el cas en què el pivot s'anul·la.
Localitza els valors crítics (pivots nuls, files $(0 \dots 0 ∣ c)$ , arrels de $det A$ si és quadrat).
Per a cada cas, dona $rang A$ i $rang (A ∣ b)$ i classifica amb Rouché-Frobenius. Presenta-ho en una taula.
Resol amb exactament $n - r$ paràmetres, triant com a lliures les variables sense pivot.
Comprova substituint la solució (o la família) a les equacions originals i confirmant el nombre de paràmetres.

Llista de comprovació

Has operat sempre amb la fila ampliada sencera, columna $b$ inclosa?
Has separat tots els valors del paràmetre que anul·len un pivot, encara que el determinant «ja» te'n donés alguns?
Per a cada cas, has escrit els dos rangs i el nombre d'incògnites abans de classificar?
Si el rang de $(A ∣ b)$ et surt més de una unitat per sobre del de $A$ , has revisat el càlcul?
La solució indeterminada té exactament $n - rang A$ paràmetres i està comprovada a les equacions originals?
Has escrit la conclusió amb les paraules SCD, SCI o SI i, si escau, els graus de llibertat?

Exercicis proposats

Exercici 1. Resol per Gauss-Jordan el sistema

⎩ ⎨ ⎧ x - y + 2 z - t = 1 2 x - 2 y + 5 z + t = 5 x - y + 3 z + 2 t = 4

i escriu la solució en la forma $x_{p} + Ker A$ .

Solució de l'exercici 1

Amb $F_{2} \to F_{2} - 2 F_{1}$ i $F_{3} \to F_{3} - F_{1}$ les dues files inferiors queden iguals a $(0, 0, 1, 3 ∣ 3)$ ; restant-les, una s'anul·la. Pujant amb $F_{1} \to F_{1} - 2 F_{2}$ :

100 - 1 00 010 - 7 30 - 5 30 .

$rang A = rang (A ∣ b) = 2 < 4$ : compatible indeterminat amb $2$ graus de llibertat. Les variables sense pivot són $y = s$ i $t = u$ ; aleshores $z = 3 - 3 u$ i $x = - 5 + s + 7 u$ :

(x, y, z, t) = (- 5, 0, 3, 0) + s (1, 1, 0, 0) + u (7, 0, - 3, 1), s, u \in R .

Comprovació a la segona equació original amb $s = u = 1$ : el punt és $(3, 1, 0, 1)$ i $6 - 2 + 0 + 1 = 5$ .

Exercici 2. Discuteix segons $b \in R$ i resol en els casos compatibles:

⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - z = 2 2 x + b y + z = b + 3 x + (b - 2) y + b z = 3 b - 3

Solució de l'exercici 2

Amb $F_{2} \to F_{2} - 2 F_{1}$ i $F_{3} \to F_{3} - F_{1}$ s'obté la segona fila $(0, b - 4, 3 ∣ b - 1)$ i la tercera $(0, b - 4, b + 1 ∣ 3 b - 5)$ ; amb $F_{3} \to F_{3} - F_{2}$ la tercera queda $(0, 0, b - 2 ∣ 2 b - 4)$ . Els pivots són $1$ , $b - 4$ i $b - 2$ : valors crítics $b = 4$ i $b = 2$ (i, en efecte, $det A = (b - 4) (b - 2)$ ).

$b \neq = 2, 4$ : tres pivots, SCD. $z = 2$ , $y = \frac{b - 7}{b - 4}$ , $x = 2 - 2 y + z = \frac{2 b - 2}{b - 4}$ . Per a $b = 3$ : $(- 4, 4, 2)$ .
$b = 2$ : la tercera fila és nul·la i la segona és $(0, - 2, 3 ∣ 1)$ . Rangs $2 = 2 < 3$ : SCI amb $1$ grau de llibertat. Amb $z = s$ : $y = \frac{3 s - 1}{2}$ , $x = 2 - 2 y + s = 3 - 2 s$ . Per evitar fraccions pren $s = 1 + 2 λ$ : $(x, y, z) = (1 - 4 λ, 1 + 3 λ, 1 + 2 λ)$ , $λ \in R$ .
$b = 4$ : la segona fila és $(0, 0, 3 ∣ 3)$ i la tercera $(0, 0, 2 ∣ 4)$ , que exigeixen $z = 1$ i $z = 2$ alhora. $rang A = 2$ , $rang (A ∣ b) = 3$ : SI.

Exercici 3. Determina per a quins valors de $k$ el sistema homogeni

⎩ ⎨ ⎧ k x + y + z = 0 x + k y + z = 0 2 x + 2 y + (k + 1) z = 0

té solucions no trivials, i dona una base del nucli en cada cas.

Solució de l'exercici 3

El sistema és quadrat i homogeni: hi ha solucions no trivials si i només si $det A = 0$ . Desenvolupant, $det A = (k - 1)^{2} (k + 3)$ , així que els valors són $k = 1$ i $k = - 3$ ; per a qualsevol altre $k$ el nucli és ${0}$ .

$k = 1$ : les tres equacions es redueixen a $x + y + z = 0$ . $rang A = 1$ i $dim Ker A = 2$ , amb base ${(- 1, 1, 0), (- 1, 0, 1)}$ .
$k = - 3$ : el sistema $- 3 x + y + z = 0$ , $x - 3 y + z = 0$ , $2 x + 2 y - 2 z = 0$ té rang 2 (les dues primeres files són independents). Restant les dues primeres, $- 4 x + 4 y = 0$ , així que $x = y$ , i aleshores $z = 2 x$ . $Ker A = ⟨(1, 1, 2)⟩$ , de dimensió $1 = 3 - 2$ . Comprovació: $- 3 + 1 + 2 = 0$ i $2 + 2 - 4 = 0$ .

El pas següent és mirar el conjunt de solucions com un objecte geomètric: a espais vectorials i bases el nucli es converteix en un subespai amb base i dimensió. A exàmens resolts hi ha un sistema de tres equacions i quatre incògnites amb paràmetre discutit i resolt de principi a fi, i a matrius i equacions matricials tens el repàs de les equacions del tipus $A X = B$ .