Àrees, volums de revolució, integrals dobles i coordenades polars

Saber calcular una primitiva és només la meitat de la feina: a l'examen de càlcul de primer d'enginyeria, la integral gairebé sempre representa alguna cosa (una àrea, un volum, una massa) i la dificultat real està a descriure bé la regió abans d'integrar. En aquesta pàgina veuràs com passar d'un dibuix a una integral: àrea entre corbes, longitud d'arc, volums de revolució per discs i per capes, integrals dobles amb el teorema de Fubini i el canvi a coordenades polars, incloent-hi el traçat de corbes polars i el càlcul de la seva àrea. Els mètodes per calcular les primitives que apareixeran els tens a mètodes d'integració.

Integral signada no és àrea

La integral definida $\int_a^b f(x)\,dx$ compta positivament la part de la gràfica que queda sobre l'eix i negativament la que queda a sota: és $A^+ - A^-$. L'àrea entre la gràfica i l'eix és sempre no negativa i val

$$\text{Àrea} = \int_a^b |f(x)|\,dx,$$

cosa que a la pràctica vol dir trobar els zeros de $f$ i integrar tros a tros amb el signe corregit. Per exemple, $\int_{-1}^{1}(x^3 - x)\,dx = 0$ per simetria, però l'àrea tancada entre $y = x^3 - x$ i l'eix en $[-1, 1]$ és $2\int_0^1 (x - x^3)\,dx = \tfrac{1}{2}$.

Àrea entre dues corbes

Si $f(x) \geq g(x)$ en $[a, b]$, l'àrea entre les dues gràfiques és $\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$. Si l'ordre canvia, cal separar en intervals on sigui constant o, el que és el mateix, integrar $|f - g|$. I si la regió està delimitada per més de dues corbes, la frontera inferior (o la superior) pot canviar de fórmula a mig camí: aquest és el cas que cal saber tractar.

Longitud d'arc

Si $f$ té derivada contínua en $[a, b]$, la longitud de la gràfica $y = f(x)$ entre $x = a$ i $x = b$ és

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2}\,dx .$$

La fórmula surt d'aproximar la corba per segments: un tros de longitud horitzontal $dx$ i vertical $dy = f'(x)\,dx$ mesura $\sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{1 + f'(x)^2}\,dx$ per Pitàgores. L'arrel fa que poques integrals de longitud surtin en forma tancada; les que surten als exàmens estan preparades perquè $1 + f'(x)^2$ sigui un quadrat perfecte o una potència senzilla.

Volums de revolució

Quan una regió plana gira al voltant d'un eix genera un sòlid. Hi ha dues maneres de tallar-lo en elements de volum, i cal triar-la mirant el dibuix, no aplicant una fórmula de memòria.

Mètode	Element	Fórmula
Discs / anells	llesca perpendicular a l'eix	$V = \pi \displaystyle\int \big(R^2 - r^2\big)\,d(\text{eix})$
Capes cilíndriques	tub paral·lel a l'eix	$V = 2\pi \displaystyle\int (\text{radi})(\text{alçada})\,d(\text{radi})$

Amb discs, $R$ i $r$ són els radis exterior i interior de la rodanxa (si la regió toca l'eix, $r = 0$). Amb capes, el radi és la distància de la llesca a l'eix i l'alçada és la longitud de la llesca.

Integral doble sobre un rectangle i teorema de Fubini

La integral doble $\iint_S f(x, y)\,dA$ d'una funció contínua sobre una regió $S$ suma els valors de $f$ ponderats per àrees petites. Si $f \geq 0$, és el volum entre el gràfic de $f$ i el pla; si $f = 1$, és l'àrea de $S$. El resultat que la fa calculable és el teorema de Fubini: una integral doble es converteix en dues integrals simples encadenades (una integral iterada).

La integral interior s'executa primer, tractant l'altra variable com una constant. Per exemple, sobre $[0, 2] \times [0, 3]$,

$$\iint_R x^2 y\,dA = \int_0^2 x^2\left(\int_0^3 y\,dy\right)dx = \int_0^2 \frac{9}{2}x^2\,dx = 12,$$

i en l'altre ordre, $\int_0^3 y\left(\int_0^2 x^2\,dx\right)dy = \int_0^3 \tfrac{8}{3}y\,dy = 12$ també.

Regions de tipus I i II: la regió mana els límits

Sobre regions que no són rectangles, els límits de la integral interior depenen de la variable exterior. Hi ha dues descripcions estàndard:

Els límits exteriors són sempre nombres (la projecció de $S$ sobre l'eix corresponent); els interiors poden ser funcions de la variable exterior, mai de la interior. Escriure $\int_0^1\int_0^x f\,dx\,dy$ (límit interior en $x$ dependent de $x$) és un error de sintaxi que invalida tot el càlcul.

Canvi de l'ordre d'integració

De vegades una integral iterada és impossible en l'ordre en què ve escrita i trivial en l'altre. El procediment és: reconstruir la regió a partir dels límits, dibuixar-la, i tornar-la a descriure amb l'altre tipus.

Canvi a coordenades polars

Quan la regió és un disc, un sector o una corona, o l'integrand conté $x^2 + y^2$, les coordenades polars $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ simplifiquen tot el problema. El detall que no es pot oblidar és el jacobià: un rectangle elemental $dr\,d\theta$ del pla $(r, \theta)$ es converteix en un petit sector d'àrea aproximada $r\,dr\,d\theta$, de manera que

$$\iint_S f(x, y)\,dA = \iint_{S^*} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\; r\,dr\,d\theta .$$

Per a una regió del tipus $\alpha \leq \theta \leq \beta$, $0 \leq r \leq R(\theta)$, els límits són $\int_\alpha^\beta \int_0^{R(\theta)} f\,r\,dr\,d\theta$.

Corbes en polars: radi signat i traçat

Una corba $r = R(\theta)$ s'ha de dibuixar abans de calcular-ne res. Dos fets governen el traçat: el radi pot ser negatiu (el punt $(r, \theta)$ amb $r < 0$ és el punt $(|r|, \theta + \pi)$, a l'altre costat de l'origen), i la corba pot passar dues vegades pel mateix lloc en un interval massa llarg. El protocol de traçat:

1. Zeros de $R(\theta)$ (la corba passa per l'origen) i angles on $|R|$ és màxim.
2. Signe de $R$ en cada interval entre zeros.
3. Simetries: $R(-\theta) = R(\theta)$ dona simetria respecte de l'eix polar; $R(\pi - \theta) = R(\theta)$, respecte de l'eix vertical.
4. L'interval mínim que recorre la corba exactament una vegada.

Les tres corbes que apareixen a tots els exàmens:

• Cardioide $r = 1 + \cos\theta$: $r \geq 0$ sempre, màxim $2$ a $\theta = 0$, zero a $\theta = \pi$. Un traçat complet en $[0, 2\pi]$. Àrea $\tfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}(1 + \cos\theta)^2\,d\theta = \tfrac{3\pi}{2}$.
• Lemniscata $r^2 = 4\cos 2\theta$: només existeix on $\cos 2\theta \geq 0$, és a dir, a $[-\pi/4, \pi/4]$ i a $[3\pi/4, 5\pi/4]$. Dues fulles simètriques respecte de l'origen, cadascuna traçada una vegada en el seu interval.
• Rosa de tres pètals $r = 3\cos 3\theta$: zeros a $\theta = \pi/6 + k\pi/3$; un pètal entre dos zeros consecutius. La rosa completa es traça en $[0, \pi]$; en $[\pi, 2\pi]$ es torna a recórrer (amb $r$ negatiu).

Àrea en coordenades polars

La fórmula també surt de la integral doble amb $f = 1$: $\iint_S r\,dr\,d\theta = \int_\alpha^\beta \tfrac{1}{2}R(\theta)^2\,d\theta$. Com que $R^2$ és positiu, el signe de $R$ no importa per a l'àrea, però sí que importa per saber on és la regió i quantes vegades s'ha recorregut.

Protocol de resolució

1. Dibuixa la regió o el sòlid: corbes, interseccions, eix de gir, simetries. Sense dibuix no hi ha límits fiables.
2. Descriu la regió amb desigualtats: tipus I o II en cartesianes, $\alpha \leq \theta \leq \beta$ i $0 \leq r \leq R(\theta)$ en polars. Tria l'ordre amb menys canvis de frontera.
3. Tria l'element diferencial: llesca (àrea), disc o capa (volum), sector (polars), i escriu la integral amb els límits que surten de la descripció, no a l'inrevés.
4. Si hi ha canvi de coordenades, inclou el jacobià $r$.
5. Calcula amb els mètodes de primitives i comprova: signe, ordre de magnitud (compara amb un rectangle o un cilindre que contingui la figura), i, si pots, el mateix resultat per un altre camí (l'altre ordre d'integració, l'altre mètode de volum).

Exercicis proposats

Exercici 1. Calcula l'àrea de la regió limitada per la paràbola $y = 4 - x^2$ i la recta $y = x + 2$.

Solució de l'exercici 1

Interseccions: $4 - x^2 = x + 2$ equival a $x^2 + x - 2 = 0$, amb solucions $x = -2$ i $x = 1$. Entre elles la paràbola està per sobre (a $x = 0$: $4 > 2$). Per tant

$$A = \int_{-2}^{1}\big(4 - x^2 - x - 2\big)\,dx = \int_{-2}^{1}\big(2 - x - x^2\big)\,dx = \left[2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{1} = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{9}{2}.$$

Control: la regió cap dins del rectangle $[-2, 1] \times [0, 4]$, d'àrea $12$, i n'ocupa bastant menys de la meitat. Plausible.

Exercici 2. La regió sota $y = e^{-x}$ per a $0 \leq x \leq 1$ gira (a) al voltant de l'eix $OX$ i (b) al voltant de l'eix $OY$. Calcula els dos volums.

Solució de l'exercici 2

(a) Discs de radi $e^{-x}$:

$$V_x = \pi\int_0^1 e^{-2x}\,dx = \pi\Big[-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\Big]_0^1 = \frac{\pi}{2}\big(1 - e^{-2}\big) \approx 1{,}36 .$$

(b) Capes de radi $x$ i alçada $e^{-x}$, integrant per parts:

$$V_y = 2\pi\int_0^1 x\,e^{-x}\,dx = 2\pi\Big[-x e^{-x} - e^{-x}\Big]_0^1 = 2\pi\Big(1 - \frac{2}{e}\Big) \approx 1{,}66 .$$

Els dos volums estan fitats pel cilindre corresponent (radi $1$ i alçada $1$ en el cas (a), $\pi$; radi $1$ i alçada $1$ en el cas (b), també $\pi$), com ha de ser.

Exercici 3. (a) Calcula $\iint_T xy\,dA$ on $T$ és el triangle de vèrtexs $(0, 0)$, $(2, 0)$ i $(0, 1)$. (b) Calcula l'àrea de la regió interior a la cardioide $r = 1 + \cos\theta$ i exterior a la circumferència $r = 1$.

Solució de l'exercici 3

(a) El costat oblic és la recta $y = 1 - x/2$. Descripció de tipus I: $0 \leq x \leq 2$, $0 \leq y \leq 1 - x/2$.

$$\iint_T xy\,dA = \int_0^2 x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{1 - x/2}dx = \frac{1}{2}\int_0^2 x\Big(1 - \frac{x}{2}\Big)^2 dx = \frac{1}{2}\int_0^2\Big(x - x^2 + \frac{x^3}{4}\Big)dx = \frac{1}{2}\Big(2 - \frac{8}{3} + 1\Big) = \frac{1}{6}.$$

(b) La cardioide està fora de la circumferència quan $1 + \cos\theta \geq 1$, és a dir, $\cos\theta \geq 0$: $-\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2$. En aquest interval cada corba es recorre una vegada, i

$$A = \frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\Big((1 + \cos\theta)^2 - 1\Big)d\theta = \frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\big(2\cos\theta + \cos^2\theta\big)\,d\theta = \frac{1}{2}\Big(4 + \frac{\pi}{2}\Big) = 2 + \frac{\pi}{4} \approx 2{,}79 .$$

Control: és menor que l'àrea de la cardioide sencera ($3\pi/2 \approx 4{,}71$) i positiva.

Les integrals dobles són el pont natural cap a les funcions de diverses variables, on la regió d'integració sovint és el domini que ja has hagut de dibuixar. Quan una primitiva no surt (com $\int e^{-x^2}\,dx$ en cartesianes), els mètodes numèrics donen el valor amb una precisió controlada. I per a la versió de batxillerat del càlcul d'àrees, consulta les integrals de selectivitat.