Vectors a l'espai: producte escalar, vectorial i mixt

⏱ 8 min de lectura🔄 Actualitzat el 7 de setembre del 2026Selectivitat

Els vectors a l'espai són l'eina amb què es construeix tota la geometria de les PAU de Matemàtiques II. Cada recta, cada pla, cada distància i cada angle que et demanin acabarà sent un càlcul amb vectors: un producte escalar per decidir si dues coses són perpendiculars, un producte vectorial per trobar una direcció perpendicular a dues altres o un producte mixt per saber si tres vectors són coplanaris. En aquesta pàgina tens les definicions, la interpretació geomètrica de cada operació i els càlculs d'àrees i volums que apareixen a l'examen. Val la pena dominar-ho bé, perquè les pàgines de rectes i plans, posicions relatives i distàncies i angles ho donen tot per sabut.

Punts i vectors: no són el mateix

Un punt de l'espai és una posició i s'escriu amb tres coordenades, $P = (p_{1}, p_{2}, p_{3})$ . Un vector és un desplaçament: té mòdul, direcció i sentit, i també s'escriu amb tres components, $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ . Com que la notació és gairebé idèntica, és fàcil confondre'ls, però conceptualment són coses diferents: un punt està en un lloc; un vector va d'un lloc a un altre.

Vector entre dos punts

El vector que va del punt $P = (p_{1}, p_{2}, p_{3})$ al punt $Q = (q_{1}, q_{2}, q_{3})$ és

P Q = Q - P = (q_{1} - p_{1}, q_{2} - p_{2}, q_{3} - p_{3}) .

El vector de posició d'un punt $P$ és $O P = (p_{1}, p_{2}, p_{3})$ , on $O$ és l'origen.

L'ordre importa: $P Q$ és «final menys inici». El vector $QP$ té les mateixes components canviades de signe. Per a la majoria de càlculs (paral·lelisme, àrees, distàncies) el signe no afecta el resultat, però sí que afecta quan el vector s'usa per escriure una recta a partir d'un punt concret.

Dos càlculs immediats que surten constantment:

Punt mitjà del segment $P Q$ : $M = (\frac{p _{1} + q _{1}}{2}, \frac{p _{2} + q _{2}}{2}, \frac{p _{3} + q _{3}}{2})$ .
Mòdul d'un vector: $∣ u ∣ = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}$ . La distància entre dos punts és el mòdul del vector que els uneix: $d (P, Q) = ∣ P Q ∣$ .

Un vector unitari és un vector de mòdul 1. Per obtenir-ne un amb la mateixa direcció i sentit que $u$ només cal dividir per el mòdul: $\frac{u}{∣ u ∣}$ . Es demana, per exemple, quan volen «el vector unitari perpendicular a un pla».

Vector, punt mitjà, distància i vector unitari

Siguin $A = (1, 2, 3)$ i $B = (4, 0, 5)$ .

$A B = B - A = (4 - 1, 0 - 2, 5 - 3) = (3, - 2, 2)$ .
Punt mitjà: $M = (\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 0}{2}, \frac{3 + 5}{2}) = (\frac{5}{2}, 1, 4)$ .
Distància: $d (A, B) = ∣ A B ∣ = 3^{2} + (- 2)^{2} + 2^{2} = 17$ .
Vector unitari en la direcció de $A B$ : $\frac{1}{17} (3, - 2, 2)$ .

Restar en l'ordre equivocat

Escriure $A B = A - B$ dona el vector oposat. Quan aquest vector s'usa com a director d'una recta no passa res, però quan s'usa per situar un punt (per exemple, «el punt $C$ tal que $A C = 2 A B$ ») el resultat surt malament. Recorda: extrem menys origen.

Dependència i independència lineal

Dos vectors són linealment dependents quan un és múltiple de l'altre, $u = λ v$ ; geomètricament, tenen la mateixa direcció, són paral·lels. En la pràctica es comprova mirant si les components són proporcionals: $(1, 2, - 1)$ i $(2, 4, - 2)$ són dependents perquè el segon és el doble del primer. Amb rangs: la matriu que té els dos vectors per files té rang 1.

Tres vectors són linealment dependents quan un es pot escriure com a combinació dels altres dos; geomètricament, els tres són coplanaris (estan en un mateix pla). El criteri més ràpid és el determinant:

Criteri del determinant

Tres vectors $u$ , $v$ , $w$ de l'espai són linealment independents si i només si

u_{1} v_{1} w_{1} u_{2} v_{2} w_{2} u_{3} v_{3} w_{3} \neq = 0.

Si el determinant val zero, són dependents (coplanaris). Equivalentment, el rang de la matriu és 3 si són independents i menor que 3 si són dependents.

Per exemple, $u = (1, 0, 1)$ , $v = (2, 1, 0)$ i $w = (0, 1, 3)$ són independents perquè el determinant val $1 \cdot (3 - 0) - 0 + 1 \cdot (2 - 0) = 5 \neq = 0$ . Si no recordes com es calcula un determinant $3 \times 3$ , repassa la regla de Sarrus a la pàgina de determinants.

Les dues preguntes que ho resolen gairebé tot

Bona part de la geometria de l'espai es redueix a dues comprovacions: dos vectors són proporcionals? (paral·lelisme) i tres vectors tenen determinant zero? (coplanaritat). Quan un problema et sembli complicat, pregunta't quina d'aquestes dues coses s'amaga darrere.

Producte escalar

El producte escalar de $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ i $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ és el nombre

u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3} .

També es compleix $u \cdot v = ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos α$ , on $α$ és l'angle que formen.

Fixa't que el resultat és un nombre, no un vector. De la segona expressió surt tot el que necessites:

Angle entre dos vectors: $cos α = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣ ∣ v ∣}$ .
Perpendicularitat: dos vectors no nuls són perpendiculars si i només si $u \cdot v = 0$ .
Projecció de $u$ sobre la direcció de $v$ : la longitud de la «ombra» de $u$ sobre $v$ és $\frac{u \cdot v}{∣ v ∣}$ .
El mòdul es pot escriure amb el producte escalar: $∣ u ∣^{2} = u \cdot u$ .

Angle entre dos vectors i projecció

Calcula l'angle entre $u = (2, - 1, 3)$ i $v = (1, 4, 2)$ .

u \cdot v = 2 \cdot 1 + (- 1) \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 4, ∣ u ∣ = 14, ∣ v ∣ = 21 .

Per tant

cos α = \frac{4}{14 21} = \frac{4}{294} = \frac{2 6}{21} \approx 0, 2333, α \approx 76, 5^{\circ} .

La projecció de $u$ sobre $v$ mesura $\frac{u \cdot v}{∣ v ∣} = \frac{4}{21}$ .

Perpendicularitat amb paràmetre

Per a quin valor de $a$ són perpendiculars $u = (a, 2, - 1)$ i $v = (1, a, 3)$ ?

Imposem $u \cdot v = 0$ : $a \cdot 1 + 2 a + (- 1) \cdot 3 = 3 a - 3 = 0$ , de manera que $a = 1$ . Comprovació: $(1, 2, - 1) \cdot (1, 1, 3) = 1 + 2 - 3 = 0$ .

Direccions perpendiculars no vol dir rectes perpendiculars

Que els vectors directors de dues rectes tinguin producte escalar zero només diu que les direccions són perpendiculars. A l'espai, dues rectes poden creuar-se sense tallar-se i, tot i així, tenir direccions perpendiculars. Si l'enunciat demana que les rectes siguin perpendiculars «en sentit estricte», cal comprovar a més que es tallen (vegeu posicions relatives).

Producte vectorial

El producte vectorial és l'operació que fabrica un vector perpendicular a dos vectors donats. És la clau per trobar vectors normals de plans i vectors directors de rectes donades com a intersecció de dos plans.

Producte vectorial

El producte vectorial de $u$ i $v$ és el vector

u \times v = i u_{1} v_{1} j u_{2} v_{2} k u_{3} v_{3} = (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}, u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}, u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) .

El determinant és «simbòlic»: es desenvolupa per la primera fila com si $i$ , $j$ , $k$ fossin nombres, i els coeficients que acompanyen cada un són les tres components. Una manera pràctica de recordar-ho: la primera component és el determinant $2 \times 2$ de les columnes 2 i 3; la segona és menys el de les columnes 1 i 3; la tercera és el de les columnes 1 i 2.

Propietats que cal saber:

$u \times v$ és perpendicular a $u$ i a $v$ . (Pots comprovar-ho sempre amb dos productes escalars.)
$u \times v = 0$ si i només si $u$ i $v$ són paral·lels (o algun és nul).
És anticommutatiu: $v \times u = - (u \times v)$ . Els dos resultats són vàlids com a vector perpendicular; només canvia el sentit.
$∣ u \times v ∣ = ∣ u ∣ ∣ v ∣ sin α$ , que és l'àrea del paral·lelogram de costats $u$ i $v$ . L'àrea del triangle que determinen és la meitat.

Producte vectorial i àrea del paral·lelogram

Siguin $u = (1, 2, 3)$ i $v = (2, - 1, 1)$ .

u \times v = i 12 j 2 - 1 k 31 = (2 \cdot 1 - 3 \cdot (- 1)) i - (1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) j + (1 \cdot (- 1) - 2 \cdot 2) k = (5, 5, - 5) .

Comprovació de perpendicularitat: $(5, 5, - 5) \cdot (1, 2, 3) = 5 + 10 - 15 = 0$ i $(5, 5, - 5) \cdot (2, - 1, 1) = 10 - 5 - 5 = 0$ . Correcte.

L'àrea del paral·lelogram generat per $u$ i $v$ és $∣ u \times v ∣ = 25 + 25 + 25 = 53$ unitats quadrades, i la del triangle corresponent, $\frac{5 3}{2}$ .

Simplifica el vector perpendicular

Si només necessites la direcció (per exemple, un vector normal d'un pla), pots dividir el producte vectorial per un factor comú: $(5, 5, - 5)$ es pot substituir per $(1, 1, - 1)$ . Però si el que necessites és el mòdul (una àrea o una distància), no simplifiquis fins al final.

Producte mixt

El producte mixt de tres vectors és el nombre

[u, v, w] = (u \times v) \cdot w = u_{1} v_{1} w_{1} u_{2} v_{2} w_{2} u_{3} v_{3} w_{3} .

És exactament el determinant del criteri d'independència lineal, però ara amb dues interpretacions més:

El valor absolut del producte mixt és el volum del paral·lelepípede de costats $u$ , $v$ i $w$ .
$[u, v, w] = 0$ si i només si els tres vectors són coplanaris. Aquesta és la condició que decideix, per exemple, si dues rectes són coplanàries o es creuen.

El signe depèn de l'ordre dels vectors (intercanviar dues files canvia el signe del determinant), però el valor absolut no.

Producte mixt i volum

Calcula el volum del paral·lelepípede generat per $u = (1, 0, 2)$ , $v = (0, 1, 1)$ i $w = (2, 1, 0)$ .

[u, v, w] = 102011210 = 0 + 0 + 0 - 4 - 1 - 0 = - 5.

El volum és $∣ - 5 ∣ = 5$ unitats cúbiques. Com que el producte mixt no és zero, els tres vectors són linealment independents i no són coplanaris.

Àrea d'un triangle i volum d'un tetraedre

Aquests dos càlculs són preguntes habituals de PAU i només requereixen aplicar el que ja tens.

Àrea i volum amb vectors

Si un triangle té vèrtexs $A$ , $B$ , $C$ :

\overset{ˋ}{A} rea (A B C) = \frac{1}{2} A B \times A C .

Si un tetraedre té vèrtexs $A$ , $B$ , $C$ , $D$ :

V = \frac{1}{6} [A B, A C, A D] .

El $\frac{1}{2}$ ve del fet que el triangle és mig paral·lelogram. El $\frac{1}{6}$ ve del fet que el tetraedre ocupa una sisena part del paral·lelepípede generat pels tres vectors. Si el producte mixt surt zero, els quatre punts són coplanaris i el «tetraedre» és pla: no té volum.

Àrea d'un triangle

Troba l'àrea del triangle de vèrtexs $A = (1, 0, 0)$ , $B = (0, 2, 0)$ i $C = (0, 0, 3)$ .

$A B = (- 1, 2, 0)$ i $A C = (- 1, 0, 3)$ . El producte vectorial és

A B \times A C = (2 \cdot 3 - 0 \cdot 0, 0 \cdot (- 1) - (- 1) \cdot 3, (- 1) \cdot 0 - 2 \cdot (- 1)) = (6, 3, 2),

de mòdul $36 + 9 + 4 = 7$ . L'àrea és $\frac{7}{2}$ unitats quadrades.

Volum d'un tetraedre

Calcula el volum del tetraedre de vèrtexs $A = (1, 1, 1)$ , $B = (3, 2, 1)$ , $C = (1, 4, 2)$ i $D = (2, 1, 5)$ .

Els vectors des de $A$ són $A B = (2, 1, 0)$ , $A C = (0, 3, 1)$ i $A D = (1, 0, 4)$ . El producte mixt val

201130014 = 24 + 1 + 0 - 0 - 0 - 0 = 25,

de manera que $V = \frac{25}{6}$ unitats cúbiques.

Oblidar el factor de correcció

L'error més freqüent en àrees i volums és donar $∣ u \times v ∣$ com a àrea del triangle (falta el $\frac{1}{2}$ ) o el producte mixt com a volum del tetraedre (falta el $\frac{1}{6}$ ). El segon error més freqüent: donar un volum negatiu. El volum és el valor absolut del producte mixt.

Com redactar la resposta a l'examen

A les PAU, la puntuació de geometria depèn en bona part de la claredat: cal dir què és cada vector que apareix. Una redacció model per a un càlcul d'àrea:

Calculem els vectors $A B = \dots$ i $A C = \dots$ . El seu producte vectorial és $A B \times A C = \dots$ , de mòdul $\dots$ . Per tant, l'àrea del triangle és $\frac{1}{2} ∣ A B \times A C ∣ = \dots$ unitats quadrades.

I per a una pregunta de coplanaritat:

El producte mixt $[u, v, w]$ val $\dots$ . Com que és diferent de zero, els tres vectors són linealment independents i no són coplanaris.

Escriu sempre les unitats (quadrades o cúbiques) i, quan hagis fet un producte vectorial, dedica una línia a comprovar amb el producte escalar que és perpendicular als dos vectors: és un minut que et pot salvar tot l'exercici.

Llista de comprovació

Has calculat els vectors com a extrem menys origen?
En un producte vectorial, has canviat el signe de la segona component?
Has comprovat que $u \times v$ és perpendicular a $u$ i a $v$ ?
Has posat el $\frac{1}{2}$ (triangle) o el $\frac{1}{6}$ (tetraedre) i el valor absolut?
Has interpretat el resultat (perpendiculars, paral·lels, coplanaris) amb una frase?

Exercicis proposats

Exercici 1. Donats els punts $A = (2, - 1, 3)$ , $B = (0, 1, 1)$ i $C = (1, 3, - 2)$ , comprova que no estan alineats, calcula l'àrea del triangle $A B C$ i dona un vector unitari perpendicular al pla que contenen.

Solució de l'exercici 1

$A B = (- 2, 2, - 2)$ i $A C = (- 1, 4, - 5)$ . No són proporcionals (la primera component donaria $λ = 2$ i la segona $λ = \frac{1}{2}$ ), així que els punts no estan alineats.

A B \times A C = (2 \cdot (- 5) - (- 2) \cdot 4, (- 2) \cdot (- 1) - (- 2) \cdot (- 5), (- 2) \cdot 4 - 2 \cdot (- 1)) = (- 2, - 8, - 6),

de mòdul $4 + 64 + 36 = 104 = 226$ . L'àrea és $26$ unitats quadrades.

Un vector perpendicular al pla és $(- 2, - 8, - 6)$ , o més senzill, $(1, 4, 3)$ , de mòdul $26$ . El vector unitari és $\frac{1}{26} (1, 4, 3)$ (o el seu oposat).

Exercici 2. Troba els valors de $a$ per als quals els vectors $u = (a, 1, 1)$ , $v = (1, a, 1)$ i $w = (0, 1, 1)$ són coplanaris.

Solució de l'exercici 2

Són coplanaris quan el producte mixt és zero:

a 10 1 a 1 111 = a^{2} + 0 + 1 - 0 - a - 1 = a^{2} - a = a (a - 1) .

Per tant, són coplanaris per a $a = 0$ i per a $a = 1$ . Per a qualsevol altre valor són linealment independents. (Per a $a = 1$ és evident: $u = v$ .)

Exercici 3. Calcula el volum del tetraedre de vèrtexs $A = (1, 2, 0)$ , $B = (3, 1, 1)$ , $C = (0, 0, 2)$ i $D = (2, 3, 4)$ , i l'àrea de la cara $A B C$ .

Solució de l'exercici 3

$A B = (2, - 1, 1)$ , $A C = (- 1, - 2, 2)$ , $A D = (1, 1, 4)$ .

[A B, A C, A D] = 2 - 1 1 - 1 - 2 1 124 = - 16 - 2 - 1 - (- 2) - 4 - 4 = - 25.

El volum és $V = \frac{∣ - 25∣}{6} = \frac{25}{6}$ unitats cúbiques.

Per a la cara $A B C$ : $A B \times A C = ((- 1) \cdot 2 - 1 \cdot (- 2), 1 \cdot (- 1) - 2 \cdot 2, 2 \cdot (- 2) - (- 1) \cdot (- 1)) = (0, - 5, - 5)$ , de mòdul $52$ . L'àrea és $\frac{5 2}{2}$ unitats quadrades.

📄 Vols aquest tema en paper? Descarrega el resum del bloc en PDF.

Descarrega el PDF