Vectors a l'espai: producte escalar, vectorial i mixt

Els vectors a l'espai són l'eina amb què es construeix tota la geometria de les PAU de Matemàtiques II. Cada recta, cada pla, cada distància i cada angle que et demanin acabarà sent un càlcul amb vectors: un producte escalar per decidir si dues coses són perpendiculars, un producte vectorial per trobar una direcció perpendicular a dues altres o un producte mixt per saber si tres vectors són coplanaris. En aquesta pàgina tens les definicions, la interpretació geomètrica de cada operació i els càlculs d'àrees i volums que apareixen a l'examen. Val la pena dominar-ho bé, perquè les pàgines de rectes i plans, posicions relatives i distàncies i angles ho donen tot per sabut.

Punts i vectors: no són el mateix

Un punt de l'espai és una posició i s'escriu amb tres coordenades, $P = (p_1, p_2, p_3)$. Un vector és un desplaçament: té mòdul, direcció i sentit, i també s'escriu amb tres components, $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$. Com que la notació és gairebé idèntica, és fàcil confondre'ls, però conceptualment són coses diferents: un punt està en un lloc; un vector va d'un lloc a un altre.

L'ordre importa: $\overrightarrow{PQ}$ és «final menys inici». El vector $\overrightarrow{QP}$ té les mateixes components canviades de signe. Per a la majoria de càlculs (paral·lelisme, àrees, distàncies) el signe no afecta el resultat, però sí que afecta quan el vector s'usa per escriure una recta a partir d'un punt concret.

Dos càlculs immediats que surten constantment:

• Punt mitjà del segment $PQ$: $M = \left(\dfrac{p_1 + q_1}{2}, \dfrac{p_2 + q_2}{2}, \dfrac{p_3 + q_3}{2}\right)$.
• Mòdul d'un vector: $|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$. La distància entre dos punts és el mòdul del vector que els uneix: $d(P, Q) = |\overrightarrow{PQ}|$.

Un vector unitari és un vector de mòdul 1. Per obtenir-ne un amb la mateixa direcció i sentit que $\vec{u}$ només cal dividir per el mòdul: $\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}$. Es demana, per exemple, quan volen «el vector unitari perpendicular a un pla».

Dependència i independència lineal

Dos vectors són linealment dependents quan un és múltiple de l'altre, $\vec{u} = \lambda \vec{v}$; geomètricament, tenen la mateixa direcció, són paral·lels. En la pràctica es comprova mirant si les components són proporcionals: $(1, 2, -1)$ i $(2, 4, -2)$ són dependents perquè el segon és el doble del primer. Amb rangs: la matriu que té els dos vectors per files té rang 1.

Tres vectors són linealment dependents quan un es pot escriure com a combinació dels altres dos; geomètricament, els tres són coplanaris (estan en un mateix pla). El criteri més ràpid és el determinant:

Per exemple, $\vec{u} = (1, 0, 1)$, $\vec{v} = (2, 1, 0)$ i $\vec{w} = (0, 1, 3)$ són independents perquè el determinant val $1 \cdot (3 - 0) - 0 + 1 \cdot (2 - 0) = 5 \neq 0$. Si no recordes com es calcula un determinant $3 \times 3$, repassa la regla de Sarrus a la pàgina de determinants.

Producte escalar

Fixa't que el resultat és un nombre, no un vector. De la segona expressió surt tot el que necessites:

• Angle entre dos vectors: $\cos \alpha = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$.
• Perpendicularitat: dos vectors no nuls són perpendiculars si i només si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
• Projecció de $\vec{u}$ sobre la direcció de $\vec{v}$: la longitud de la «ombra» de $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$ és $\dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}$.
• El mòdul es pot escriure amb el producte escalar: $|\vec{u}|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}$.

Producte vectorial

El producte vectorial és l'operació que fabrica un vector perpendicular a dos vectors donats. És la clau per trobar vectors normals de plans i vectors directors de rectes donades com a intersecció de dos plans.

El determinant és «simbòlic»: es desenvolupa per la primera fila com si $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ fossin nombres, i els coeficients que acompanyen cada un són les tres components. Una manera pràctica de recordar-ho: la primera component és el determinant $2 \times 2$ de les columnes 2 i 3; la segona és menys el de les columnes 1 i 3; la tercera és el de les columnes 1 i 2.

Propietats que cal saber:

1. $\vec{u} \times \vec{v}$ és perpendicular a $\vec{u}$ i a $\vec{v}$. (Pots comprovar-ho sempre amb dos productes escalars.)
2. $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$ si i només si $\vec{u}$ i $\vec{v}$ són paral·lels (o algun és nul).
3. És anticommutatiu: $\vec{v} \times \vec{u} = -(\vec{u} \times \vec{v})$. Els dos resultats són vàlids com a vector perpendicular; només canvia el sentit.
4. $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}|\,|\vec{v}| \sin \alpha$, que és l'àrea del paral·lelogram de costats $\vec{u}$ i $\vec{v}$. L'àrea del triangle que determinen és la meitat.

Producte mixt

És exactament el determinant del criteri d'independència lineal, però ara amb dues interpretacions més:

• El valor absolut del producte mixt és el volum del paral·lelepípede de costats $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$.
• $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$ si i només si els tres vectors són coplanaris. Aquesta és la condició que decideix, per exemple, si dues rectes són coplanàries o es creuen.

El signe depèn de l'ordre dels vectors (intercanviar dues files canvia el signe del determinant), però el valor absolut no.

Àrea d'un triangle i volum d'un tetraedre

Aquests dos càlculs són preguntes habituals de PAU i només requereixen aplicar el que ja tens.

El $\frac{1}{2}$ ve del fet que el triangle és mig paral·lelogram. El $\frac{1}{6}$ ve del fet que el tetraedre ocupa una sisena part del paral·lelepípede generat pels tres vectors. Si el producte mixt surt zero, els quatre punts són coplanaris i el «tetraedre» és pla: no té volum.

Com redactar la resposta a l'examen

A les PAU, la puntuació de geometria depèn en bona part de la claredat: cal dir què és cada vector que apareix. Una redacció model per a un càlcul d'àrea:

Calculem els vectors $\overrightarrow{AB} = \ldots$ i $\overrightarrow{AC} = \ldots$. El seu producte vectorial és $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \ldots$, de mòdul $\ldots$. Per tant, l'àrea del triangle és $\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \ldots$ unitats quadrades.

I per a una pregunta de coplanaritat:

El producte mixt $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ val $\ldots$. Com que és diferent de zero, els tres vectors són linealment independents i no són coplanaris.

Escriu sempre les unitats (quadrades o cúbiques) i, quan hagis fet un producte vectorial, dedica una línia a comprovar amb el producte escalar que és perpendicular als dos vectors: és un minut que et pot salvar tot l'exercici.

Exercicis proposats

Exercici 1. Donats els punts $A = (2, -1, 3)$, $B = (0, 1, 1)$ i $C = (1, 3, -2)$, comprova que no estan alineats, calcula l'àrea del triangle $ABC$ i dona un vector unitari perpendicular al pla que contenen.

Solució de l'exercici 1

$\overrightarrow{AB} = (-2, 2, -2)$ i $\overrightarrow{AC} = (-1, 4, -5)$. No són proporcionals (la primera component donaria $\lambda = 2$ i la segona $\lambda = \tfrac{1}{2}$), així que els punts no estan alineats.

$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (2 \cdot (-5) - (-2) \cdot 4,\; (-2) \cdot (-1) - (-2) \cdot (-5),\; (-2) \cdot 4 - 2 \cdot (-1)) = (-2, -8, -6),$$

de mòdul $\sqrt{4 + 64 + 36} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}$. L'àrea és $\sqrt{26}$ unitats quadrades.

Un vector perpendicular al pla és $(-2, -8, -6)$, o més senzill, $(1, 4, 3)$, de mòdul $\sqrt{26}$. El vector unitari és $\dfrac{1}{\sqrt{26}}(1, 4, 3)$ (o el seu oposat).

Exercici 2. Troba els valors de $a$ per als quals els vectors $\vec{u} = (a, 1, 1)$, $\vec{v} = (1, a, 1)$ i $\vec{w} = (0, 1, 1)$ són coplanaris.

Solució de l'exercici 2

Són coplanaris quan el producte mixt és zero:

$$\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = a^2 + 0 + 1 - 0 - a - 1 = a^2 - a = a(a - 1).$$

Per tant, són coplanaris per a $a = 0$ i per a $a = 1$. Per a qualsevol altre valor són linealment independents. (Per a $a = 1$ és evident: $\vec{u} = \vec{v}$.)

Exercici 3. Calcula el volum del tetraedre de vèrtexs $A = (1, 2, 0)$, $B = (3, 1, 1)$, $C = (0, 0, 2)$ i $D = (2, 3, 4)$, i l'àrea de la cara $ABC$.

Solució de l'exercici 3

$\overrightarrow{AB} = (2, -1, 1)$, $\overrightarrow{AC} = (-1, -2, 2)$, $\overrightarrow{AD} = (1, 1, 4)$.

$$[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = -16 - 2 - 1 - (-2) - 4 - 4 = -25 .$$

El volum és $V = \dfrac{|-25|}{6} = \dfrac{25}{6}$ unitats cúbiques.

Per a la cara $ABC$: $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = ((-1) \cdot 2 - 1 \cdot (-2),\; 1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2,\; 2 \cdot (-2) - (-1) \cdot (-1)) = (0, -5, -5)$, de mòdul $5\sqrt{2}$. L'àrea és $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ unitats quadrades.