Aplicacions de les derivades: tangent, extrems, L'Hôpital i optimització

⏱ 12 min de lectura🔄 Actualitzat el 7 de setembre del 2026Selectivitat

Saber derivar només és el principi: el que realment puntua a les PAU de Matemàtiques II és saber què fer amb la derivada. Amb ella es troba la recta tangent, es decideix on creix i on decreix una funció, es localitzen els màxims i mínims, es resolen límits amb la regla de L'Hôpital i es fa l'estudi complet d'una funció per dibuixar-ne la gràfica. I, sobretot, es resolen els problemes d'optimització, que apareixen a gairebé tots els exàmens. Aquesta pàgina recull totes aquestes aplicacions amb el mètode de cadascuna, un exemple resolt i els errors que més punts costen.

Recta tangent i recta normal

La derivada en un punt és el pendent de la tangent, tal com vas veure a derivades. Amb el punt i el pendent, l'equació punt-pendent dona la recta directament.

Recta tangent i recta normal

Si $f$ és derivable en $x_{0}$ , la recta tangent a la gràfica en el punt $(x_{0}, f (x_{0}))$ és

y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) .

La recta normal és la perpendicular a la tangent en el mateix punt; el seu pendent és $- \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )}$ (si $f^{'} (x_{0}) \neq = 0$ ):

y - f (x_{0}) = - \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} (x - x_{0}) .

Tangent i normal en un punt

Troba la tangent i la normal a $f (x) = x^{3} - 2 x$ en el punt d'abscissa $x_{0} = 1$ .

Necessitem tres coses: el punt, $f (1) = 1 - 2 = - 1$ ; la derivada, $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ ; i el pendent, $f^{'} (1) = 1$ .

Tangent: $y + 1 = 1 \cdot (x - 1)$ , és a dir $y = x - 2$ . Normal: pendent $- 1$ , així que $y + 1 = - (x - 1)$ , és a dir $y = - x$ .

Una variant molt habitual és demanar la tangent paral·lela a una recta donada. Dues rectes són paral·leles si tenen el mateix pendent, de manera que cal resoldre l'equació $f^{'} (x) = m$ , on $m$ és el pendent de la recta donada. Els valors de $x$ que surten són els punts de tangència.

Tangent paral·lela a una recta

Troba el punt de la paràbola $f (x) = x^{2} - 2 x$ on la tangent és paral·lela a la recta $y = 4 x + 7$ , i escriu aquesta tangent.

El pendent buscat és $4$ . Resolem $f^{'} (x) = 2 x - 2 = 4$ , d'on $x = 3$ . El punt és $(3, f (3)) = (3, 3)$ i la tangent és $y - 3 = 4 (x - 3)$ , és a dir $y = 4 x - 9$ .

Si la recta donada fos $2 x - y + 1 = 0$ , primer l'hauries d'escriure com $y = 2 x + 1$ per llegir-ne el pendent. I si la tangent hagués de ser perpendicular a una recta de pendent $m$ , l'equació a resoldre seria $f^{'} (x) = - \frac{1}{m}$ .

Creixement, decreixement i extrems relatius

El signe de la derivada diu cap on va la gràfica: si $f^{'} (x) > 0$ en un interval, $f$ és creixent en aquest interval; si $f^{'} (x) < 0$ , és decreixent. Els punts on la derivada s'anul·la tenen tangent horitzontal i s'anomenen punts crítics: són els candidats a màxim o mínim relatiu.

El procediment per estudiar la monotonia és sempre el mateix:

Calcula $f^{'} (x)$ i resol $f^{'} (x) = 0$ .
Marca a la recta real els punts crítics i també els punts que no són del domini (una asímptota vertical també pot canviar el signe).
Tria un valor de prova a cada interval i mira el signe de $f^{'}$ .
Conclou: creixent on $f^{'} > 0$ , decreixent on $f^{'} < 0$ .

Hi ha dos criteris per decidir si un punt crític és màxim o mínim.

Criteris per classificar extrems

Sigui $x_{0}$ un punt amb $f^{'} (x_{0}) = 0$ .

Criteri de la primera derivada: si $f^{'}$ passa de positiva a negativa en $x_{0}$ , hi ha un màxim relatiu; si passa de negativa a positiva, un mínim relatiu; si no canvia de signe, no és cap extrem.
Criteri de la segona derivada: si $f^{''} (x_{0}) < 0$ hi ha un màxim relatiu; si $f^{''} (x_{0}) > 0$ , un mínim relatiu. Si $f^{''} (x_{0}) = 0$ el criteri no decideix i cal recórrer al primer.

Monotonia i extrems d'una cúbica

Estudia el creixement de $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ i troba'n els extrems relatius.

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ , que s'anul·la en $x = 0$ i $x = 2$ . Taula de signes:

Interval	$(- \infty, 0)$	$(0, 2)$	$(2, + \infty)$
Signe de $f^{'}$ (prova amb $- 1$ , $1$ , $3$ )	$+$	$-$	$+$
$f$	creix	decreix	creix

En $x = 0$ la derivada passa de $+$ a $-$ : màxim relatiu en $(0, f (0)) = (0, 1)$ . En $x = 2$ passa de $-$ a $+$ : mínim relatiu en $(2, f (2)) = (2, - 3)$ .

Amb el segon criteri: $f^{''} (x) = 6 x - 6$ , i $f^{''} (0) = - 6 < 0$ (màxim), $f^{''} (2) = 6 > 0$ (mínim). Els dos criteris coincideixen, com ha de ser.

Un punt crític no és sempre un extrem

Que $f^{'} (x_{0}) = 0$ és una condició necessària però no suficient. A $f (x) = x^{3}$ tenim $f^{'} (0) = 0$ , però la funció és creixent a tot $R$ : en $x = 0$ hi ha un punt d'inflexió amb tangent horitzontal, no un extrem. Cal sempre comprovar el canvi de signe de $f^{'}$ o el signe de $f^{''}$ . I a l'inrevés: hi pot haver extrems on la derivada no existeix (com el mínim de $∣ x ∣$ a $0$ ).

Curvatura i punts d'inflexió

La segona derivada informa de com es corba la gràfica. Si $f^{''} (x) > 0$ en un interval, la gràfica és convexa (té forma de U, amb la tangent per sota de la corba); si $f^{''} (x) < 0$ , és còncava (forma de ∩, tangent per sobre). Un punt d'inflexió és un punt on canvia la curvatura; en ell $f^{''} (x_{0}) = 0$ i $f^{''}$ canvia de signe.

El procediment és calcat al de la monotonia, però amb $f^{''}$ : resol $f^{''} (x) = 0$ , fes la taula de signes i busca els canvis. Per exemple, a la cúbica de l'exemple anterior $f^{''} (x) = 6 x - 6$ s'anul·la en $x = 1$ ; és negativa abans i positiva després, així que la gràfica és còncava a $(- \infty, 1)$ , convexa a $(1, + \infty)$ i té un punt d'inflexió en $(1, f (1)) = (1, - 1)$ .

Curvatura d'una quàrtica

Estudia la curvatura de $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ .

$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x$ i $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 = 12 (x - 1) (x + 1)$ . S'anul·la en $x = \pm 1$ . Provant amb $- 2$ , $0$ i $2$ : $f^{''}$ és positiva a $(- \infty, - 1)$ , negativa a $(- 1, 1)$ i positiva a $(1, + \infty)$ . Per tant $f$ és convexa a $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ , còncava a $(- 1, 1)$ , i té dos punts d'inflexió, en $(- 1, - 5)$ i $(1, - 5)$ .

Còncava o convexa? No et juguis els punts amb el nom

Els noms varien segons el llibre: alguns anomenen «còncava» el que altres anomenen «convexa». Als exàmens de les PAU s'accepta qualsevol convenció si és coherent, però la manera més segura és escriure el signe de $f^{''}$ i, si pots, un dibuix esquemàtic (∪ o ∩) al costat de la paraula. El que no és discutible és el punt d'inflexió.

Regla de L'Hôpital

És l'eina més potent per a límits amb indeterminació, i complementa les tècniques de límits i continuïtat. Només s'aplica a dos tipus d'indeterminació.

Regla de L'Hôpital

Si $f$ i $g$ són derivables prop de $a$ , $g^{'} \neq = 0$ prop de $a$ , i el límit $lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )}$ és una indeterminació del tipus $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ , aleshores

x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = x \to a lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}

sempre que el límit de la dreta existeixi (finit o infinit). Val també per a $a = \pm \infty$ i per a límits laterals.

Es deriven numerador i denominador per separat, mai com a quocient. Si després de derivar torna a sortir una indeterminació del mateix tipus, es pot tornar a aplicar. Les indeterminacions $0 \cdot \infty$ i $\infty - \infty$ s'han de transformar primer en un quocient.

L'Hôpital amb 0/0 i amb ∞/∞

a) $x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1 - x}{x ^{2}}$ . Substituint, $\frac{0}{0}$ . Apliquem L'Hôpital: $x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{2 x}$ , que torna a ser $\frac{0}{0}$ . Tornem a aplicar-la: $x \to 0 lim \frac{e ^{x}}{2} = \frac{1}{2}$ .

b) $x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{x} = x \to 0 lim \frac{3 cos 3 x}{1} = 3$ .

c) $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x}$ . És $\frac{\infty}{\infty}$ : $x \to + \infty lim \frac{1/ x}{1} = 0$ . El logaritme creix més a poc a poc que qualsevol potència.

d) $x \to + \infty lim \frac{x ^{2}}{e ^{x}}$ . També $\frac{\infty}{\infty}$ ; aplicant-la dues vegades, $lim \frac{2 x}{e ^{x}} = lim \frac{2}{e ^{x}} = 0$ . L'exponencial guanya a qualsevol polinomi.

e) $x \to 0^{+} lim x ln x$ . És $0 \cdot \infty$ ; l'escrivim com a quocient, $x \to 0^{+} lim \frac{ln x}{1/ x}$ , que és $\frac{\infty}{\infty}$ : $x \to 0^{+} lim \frac{1/ x}{- 1/ x ^{2}} = x \to 0^{+} lim (- x) = 0$ .

Aplicar L'Hôpital sense indeterminació

Si el límit no és $\frac{0}{0}$ ni $\frac{\infty}{\infty}$ , la regla dona resultats falsos. Per exemple, $lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{1}{2}$ per substitució directa, però derivant sortiria $\frac{1}{1} = 1$ . A l'examen, escriu sempre «és una indeterminació del tipus $\frac{0}{0}$ , apliquem L'Hôpital» abans de derivar: és el que justifica el pas.

Estudi complet d'una funció

Dibuixar la gràfica d'una funció a partir de la seva expressió és un dels problemes llargs de les PAU. Els apartats que es demanen són, en aquest ordre:

Domini.
Punts de tall amb els eixos: amb $O Y$ , el punt $(0, f (0))$ ; amb $O X$ , resol $f (x) = 0$ .
Simetria: parella si $f (- x) = f (x)$ (simètrica respecte a $O Y$ ), senar si $f (- x) = - f (x)$ (simètrica respecte a l'origen).
Asímptotes verticals, horitzontals i obliqües.
Monotonia i extrems ( $f^{'}$ ).
Curvatura i punts d'inflexió ( $f^{''}$ ).
Gràfica, situant tot el que has trobat, i recorregut.

Estudi complet d'una funció racional

Estudia i representa $f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}$ .

Domini. El denominador s'anul·la en $x = 1$ : $Dom f = R ∖ {1}$ .

Talls. $f (0) = 0$ , així que passa per l'origen; i $f (x) = 0$ només si $x^{2} = 0$ , o sigui, l'únic tall amb els dos eixos és $(0, 0)$ .

Simetria. $f (- x) = \frac{x ^{2}}{- x - 1} = - \frac{x ^{2}}{x + 1}$ , que no és ni $f (x)$ ni $- f (x)$ : cap simetria.

Asímptotes. Vertical: $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \frac{1}{0 ^{-}} = - \infty$ i $lim_{x \to 1^{+}} f (x) = + \infty$ , així que $x = 1$ és asímptota vertical. Horitzontal: com que el grau del numerador supera el del denominador, $lim_{x \to \pm \infty} f (x) = \pm \infty$ i no n'hi ha. Obliqua: dividint, $x^{2} = (x - 1) (x + 1) + 1$ , de manera que

f (x) = x + 1 + \frac{1}{x - 1},

i l'asímptota obliqua és $y = x + 1$ . Per a $x \to + \infty$ la corba va per sobre (el residu $\frac{1}{x - 1}$ és positiu) i per a $x \to - \infty$ va per sota.

Monotonia i extrems. Regla del quocient:

f^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}} .

El denominador és sempre positiu, així que el signe el mana $x (x - 2)$ : positiu a $(- \infty, 0)$ , negatiu a $(0, 1) \cup (1, 2)$ i positiu a $(2, + \infty)$ . Per tant $f$ creix a $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ i decreix a $(0, 1) \cup (1, 2)$ . Hi ha un màxim relatiu en $(0, 0)$ i un mínim relatiu en $(2, f (2)) = (2, 4)$ . Fixa't que el màxim és més baix que el mínim: és possible perquè entremig hi ha l'asímptota.

Curvatura. Derivant $f^{'}$ (o, més ràpid, l'expressió $x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ ): $f^{''} (x) = \frac{2}{( x - 1 ) ^{3}}$ . Mai s'anul·la, així que no hi ha punts d'inflexió. És negativa per a $x < 1$ (còncava) i positiva per a $x > 1$ (convexa); el canvi de curvatura es produeix a l'asímptota, no en un punt de la gràfica.

Recorregut. De la gràfica es llegeix que $f$ pren tots els valors de $(- \infty, 0] \cup [4, + \infty)$ .

Gràfica de f(x)=x²/(x−1) amb l'asímptota vertical x=1, l'asímptota obliqua y=x+1, el màxim relatiu (0,0) i el mínim relatiu (2,4) — Gràfica de $f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}$ : branca còncava a l'esquerra de $x = 1$ amb màxim en l'origen, branca convexa a la dreta amb mínim en $(2, 4)$ .

Atenció PAU

Als problemes d'estudi de funcions cada apartat es puntua per separat, i el corrector busca la justificació de cada afirmació: el límit de cada asímptota, la taula de signes de $f^{'}$ i el valor de $f^{''}$ (o el canvi de signe de $f^{'}$ ) a cada extrem. La gràfica final ha de ser coherent amb tot l'anterior: si has dit que hi ha un mínim en $(2, 4)$ , la corba hi ha de tocar fons. Una gràfica bonica però contradictòria amb els càlculs no suma.

Problemes d'optimització

Són problemes amb enunciat on cal trobar el valor màxim o mínim d'alguna magnitud: l'àrea més gran, el cost més petit, la distància mínima. El mètode té quatre passos i és el mateix sempre.

Planteja la funció a optimitzar en termes de les variables del problema (fes un dibuix si és geomètric).
Redueix-la a una sola variable amb la condició o lligam de l'enunciat (perímetre fix, volum fix, punt sobre una corba...). Escriu també el domini que té sentit.
Deriva i resol $f^{'} (x) = 0$ per trobar els punts crítics.
Comprova que el punt crític és el màxim o mínim demanat (amb $f^{''}$ o amb el signe de $f^{'}$ ) i respon a la pregunta amb totes les magnituds i unitats.

Optimització geomètrica: la caixa de volum màxim

Amb una cartolina quadrada de 12 cm de costat es vol fer una caixa sense tapa retallant quatre quadrats iguals a les cantonades i plegant les vores. Quin ha de ser el costat dels quadrats perquè el volum sigui màxim?

Pas 1 i 2. Si el costat dels quadrats retallats és $x$ , la base de la caixa és un quadrat de costat $12 - 2 x$ i l'alçada és $x$ . El volum és

V (x) = x (12 - 2 x)^{2}, 0 < x < 6.

Pas 3. $V^{'} (x) = (12 - 2 x)^{2} + x \cdot 2 (12 - 2 x) (- 2) = (12 - 2 x) [(12 - 2 x) - 4 x] = (12 - 2 x) (12 - 6 x)$ . S'anul·la en $x = 6$ (fora del domini obert, i a més dona volum zero) i en $x = 2$ .

Pas 4. $V^{''} (x) = 24 x - 96$ i $V^{''} (2) = - 48 < 0$ : és un màxim. El volum màxim és $V (2) = 2 \cdot 8^{2} = 128 cm^{3}$ .

Resposta: cal retallar quadrats de 2 cm de costat; la caixa resultant fa $8 \times 8 \times 2$ cm i té un volum de 128 cm³.

Optimització de cost: la caixa més barata

Es vol construir una caixa tancada de base quadrada amb un volum de 16 m³. El material de la base i de la tapa costa 2 €/m² i el dels laterals 1 €/m². Quines dimensions minimitzen el cost?

Pas 1 i 2. Sigui $x$ el costat de la base i $h$ l'alçada. El lligam és el volum: $x^{2} h = 16$ , d'on $h = \frac{16}{x ^{2}}$ . El cost és

C = 2 \cdot (2 x^{2}) + 1 \cdot (4 x h) = 4 x^{2} + 4 x \cdot \frac{16}{x ^{2}} = 4 x^{2} + \frac{64}{x}, x > 0.

Pas 3. $C^{'} (x) = 8 x - \frac{64}{x ^{2}} = 0 ⟺ 8 x^{3} = 64 ⟺ x = 2$ .

Pas 4. $C^{''} (x) = 8 + \frac{128}{x ^{3}} > 0$ per a tot $x > 0$ , així que en $x = 2$ hi ha un mínim. Aleshores $h = \frac{16}{4} = 4$ i el cost és $C (2) = 16 + 32 = 48$ €.

Resposta: base de $2 \times 2$ m i alçada de 4 m, amb un cost mínim de 48 €.

Domini i extrems de l'interval

Si la variable està limitada a un interval tancat $[a, b]$ (per exemple, «un tros de tanca d'entre 10 i 40 m»), el màxim o mínim absolut pot ser en un extrem de l'interval i no en un punt crític. Compara sempre el valor de la funció als punts crítics amb el valor als extrems. El teorema de Weierstrass garanteix que, si la funció és contínua, l'absolut existeix.

Teorema de Rolle i teorema del valor mitjà

Dos teoremes teòrics que poden aparèixer com a pregunta curta. Els dos exigeixen que $f$ sigui contínua a $[a, b]$ i derivable a $(a, b)$ .

Rolle i valor mitjà

Teorema de Rolle. Si a més $f (a) = f (b)$ , existeix almenys un $c \in (a, b)$ amb $f^{'} (c) = 0$ .
Teorema del valor mitjà (Lagrange). Existeix almenys un $c \in (a, b)$ tal que

f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} .

La idea de Rolle és que si la corba comença i acaba a la mateixa alçada, en algun moment ha de tenir tangent horitzontal. La del valor mitjà és que hi ha un punt on la tangent és paral·lela a la corda que uneix els extrems: la velocitat instantània coincideix en algun instant amb la mitjana. Per exemple, $f (x) = x^{2} - 4 x$ a $[1, 3]$ compleix Rolle ( $f (1) = f (3) = - 3$ ) i el punt és $c = 2$ , on $f^{'} (2) = 0$ . I per a $f (x) = x^{3}$ a $[0, 2]$ , el valor mitjà diu que hi ha $c$ amb $3 c^{2} = \frac{8 - 0}{2} = 4$ , és a dir $c = \frac{2}{3} \approx 1, 15$ .

Com redactar la resposta a l'examen

En una recta tangent, escriu els tres ingredients per separat (punt, derivada, pendent) i acaba amb l'equació en la forma $y = m x + n$ . En un estudi de monotonia o curvatura, fes una taula de signes amb els intervals i acaba amb frases completes: « $f$ és creixent a $(- \infty, 0)$ i té un màxim relatiu en $(0, 1)$ ». En un límit amb L'Hôpital, indica la indeterminació abans de derivar. En un problema d'optimització, defineix la variable amb el seu significat, escriu la funció amb el domini, i acaba responent la pregunta de l'enunciat amb unitats; el corrector ha de veure la comprovació que és màxim o mínim.

Llista de comprovació

A la tangent, has calculat $f (x_{0})$ i $f^{'} (x_{0})$ , i has escrit la recta final?
Has resolt $f^{'} (x) = 0$ completament i has inclòs els punts fora del domini a la taula de signes?
Has classificat cada punt crític (canvi de signe de $f^{'}$ o signe de $f^{''}$ )?
Als punts d'inflexió, has comprovat que $f^{''}$ canvia de signe?
Abans de L'Hôpital, has dit quina indeterminació és?
A l'optimització, has reduït la funció a una variable, has comprovat que és màxim o mínim i has respost amb unitats?

El pas següent del bloc són les integrals, on la derivada es fa servir al revés per trobar primitives i calcular àrees.

Exercicis proposats

Exercici 1. La funció $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x$ té un extrem relatiu en $x = 1$ i un punt d'inflexió en $x = 2$ . Troba $a$ i $b$ , i classifica els extrems de la funció resultant.

Solució de l'exercici 1

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b$ i $f^{''} (x) = 6 x + 2 a$ . Punt d'inflexió en $x = 2$ : $f^{''} (2) = 12 + 2 a = 0$ , d'on $a = - 6$ . Extrem en $x = 1$ : $f^{'} (1) = 3 - 12 + b = 0$ , d'on $b = 9$ .

Amb $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ tenim $f^{'} (x) = 3 (x - 1) (x - 3)$ : positiva abans d' $1$ , negativa entre $1$ i $3$ , positiva després. Màxim relatiu en $(1, 4)$ i mínim relatiu en $(3, 0)$ . Comprovació: $f^{''} (1) = - 6 < 0$ i $f^{''} (3) = 6 > 0$ .

Exercici 2. Calcula els límits següents amb la regla de L'Hôpital.

a) x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}}, b) x \to 1 lim \frac{ln x}{x ^{2} - 1}, c) x \to + \infty lim \frac{x ^{2} + 1}{e ^{x}} .

Solució de l'exercici 2

a) $\frac{0}{0}$ : $x \to 0 lim \frac{sin x}{2 x}$ , que torna a ser $\frac{0}{0}$ ; una segona vegada, $x \to 0 lim \frac{cos x}{2} = \frac{1}{2}$ .

b) $\frac{0}{0}$ : $x \to 1 lim \frac{1/ x}{2 x} = \frac{1}{2}$ .

c) $\frac{\infty}{\infty}$ : $x \to + \infty lim \frac{2 x}{e ^{x}} = x \to + \infty lim \frac{2}{e ^{x}} = 0$ .

Exercici 3. Troba els punts de la paràbola $y = x^{2}$ que són més a prop del punt $P = (0, 3)$ , i calcula aquesta distància mínima.

Solució de l'exercici 3

Un punt de la paràbola és $(x, x^{2})$ . La distància a $P$ al quadrat (més còmoda de derivar i amb el mateix mínim) és

D (x) = x^{2} + (x^{2} - 3)^{2} .

$D^{'} (x) = 2 x + 2 (x^{2} - 3) \cdot 2 x = 2 x (2 x^{2} - 5)$ , que s'anul·la en $x = 0$ i $x = \pm 5/2$ . El signe de $D^{'}$ és negatiu a $(- \infty, - 5/2)$ , positiu a $(- 5/2, 0)$ , negatiu a $(0, 5/2)$ i positiu després: mínims en $x = \pm 5/2$ i màxim relatiu en $x = 0$ (on $D = 9$ ).

Els punts són $(\pm 5/2, 5/2)$ i la distància mínima és $D = 5/2 + 1/4 = 11/4 = \frac{11}{2} \approx 1, 66$ .

📄 Vols aquest tema en paper? Descarrega el resum del bloc en PDF.

Descarrega el PDF