Distribució normal: tipificació, taula N(0,1) i aproximació de la binomial

La distribució normal és el model de probabilitat més important de tot el batxillerat: alçades, pesos, notes, temps de fabricació o errors de mesura s'hi ajusten prou bé, i és la base dels intervals de confiança. A les PAU el problema sempre segueix el mateix guió: l'enunciat dona la mitjana $\mu$ i la desviació típica $\sigma$, i tu has de tipificar la variable, buscar a la taula de la normal estàndard $N(0,1)$ i, de vegades, resoldre el problema invers o aproximar una binomial. En aquesta pàgina tens tot el procediment, una taula reduïda de valors i exemples calculats amb precisió.

Variables contínues i funció de densitat

A la pàgina de la distribució binomial la variable prenia valors aïllats. Una variable aleatòria contínua pot prendre qualsevol valor d'un interval (una alçada pot ser 171,3 cm o 171,34 cm), i per això la probabilitat d'un valor exacte és zero: només tenen probabilitat els intervals.

La distribució d'una variable contínua es descriu amb una funció de densitat $f(x)$, una corba que compleix $f(x) \geq 0$ i que tanca una àrea total igual a 1. La probabilitat d'un interval és l'àrea sota la corba:

$$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\, dx .$$

Com que un punt no té àrea, $P(X = a) = 0$ i, per tant, $P(X \leq a) = P(X < a)$: en una variable contínua tant és si la desigualtat és estricta o no. Aquesta és una diferència clau respecte de la binomial.

La distribució normal $N(\mu, \sigma)$

No cal integrar mai aquesta funció a mà (no té primitiva elemental): les probabilitats es llegeixen d'una taula. El que sí que has de conèixer són les propietats de la campana:

• És simètrica respecte de $x = \mu$: el màxim és a la mitjana, i mitjana, mediana i moda coincideixen. Per tant $P(X < \mu) = P(X > \mu) = 0.5$.
• Té dos punts d'inflexió a $x = \mu - \sigma$ i $x = \mu + \sigma$: la corba canvia de còncava a convexa exactament a una desviació típica de la mitjana.
• $\sigma$ controla l'amplada: com més gran és $\sigma$, més aplanada i ampla és la campana; com més petita, més alta i estreta. $\mu$ només la desplaça.
• Les cues s'acosten a l'eix però no el toquen mai; en la pràctica, més enllà de $\mu \pm 3\sigma$ gairebé no hi queda probabilitat.

La normal estàndard $N(0,1)$ i la taula

La normal amb $\mu = 0$ i $\sigma = 1$ s'anomena normal estàndard i la seva variable s'escriu $Z$. La taula dona la funció de distribució $\Phi(z) = P(Z \leq z)$, és a dir, l'àrea acumulada a l'esquerra de $z$, normalment per a $z \geq 0$ amb dos decimals. Aquesta és una versió reduïda amb els valors que més surten:

$z$	0	0,5	1	1,5	1,645	1,96	2	2,5	2,576	3
$\Phi(z)$	0,5000	0,6915	0,8413	0,9332	0,9500	0,9750	0,9772	0,9938	0,9950	0,9987

Amb només l'acumulada a l'esquerra i la simetria es calcula tot:

Un dibuix ràpid de la campana amb l'àrea que busques evita gairebé tots els errors de signe: si l'àrea que has pintat és més gran que mitja campana, el resultat ha de ser més gran que $0.5$.

El problema invers

Sovint l'enunciat dona la probabilitat i demana el valor: «quin és el valor $a$ tal que $P(Z < a) = 0.95$?». Es busca $0.95$ dins de la taula i es llegeix el $z$ corresponent: $a = 1.645$. Si la probabilitat és menor que $0.5$, el valor és negatiu i es fa servir la simetria: $P(Z < a) = 0.10$ implica $P(Z > -a) = 0.10$, així que $-a = 1.28$ i $a = -1.28$. Val la pena memoritzar aquests valors inversos: $\Phi^{-1}(0.90) = 1.28$, $\Phi^{-1}(0.95) = 1.645$, $\Phi^{-1}(0.975) = 1.96$, $\Phi^{-1}(0.995) = 2.576$, i també $\Phi^{-1}(0.80) = 0.84$.

Tipificació

Per fer servir la taula amb una normal qualsevol cal convertir-la en la normal estàndard. Aquest procés s'anomena tipificar o estandarditzar:

El valor tipificat $z$ té una lectura clara: és el nombre de desviacions típiques que $a$ està per sobre (o per sota, si és negatiu) de la mitjana. Per a un interval, es tipifiquen els dos extrems:

$$P(a \leq X \leq b) = \Phi\!\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right).$$

Intervals centrals habituals

Alguns intervals simètrics al voltant de la mitjana surten tan sovint que convé saber-los de memòria. A qualsevol normal:

• Entre $\mu - \sigma$ i $\mu + \sigma$ hi ha el 68,3 % de la població.
• Entre $\mu - 2\sigma$ i $\mu + 2\sigma$, el 95,4 %.
• Entre $\mu - 3\sigma$ i $\mu + 3\sigma$, el 99,7 %.

I, a l'inrevés, els valors crítics que deixen un percentatge central exacte, que són els que usaràs als intervals de confiança:

Percentatge central	Valor crític $z_{\alpha/2}$	Expressió
90 %	1,645	$P(-1.645 < Z < 1.645) = 0.90$
95 %	1,96	$P(-1.96 < Z < 1.96) = 0.95$
99 %	2,576	$P(-2.576 < Z < 2.576) = 0.99$

Comprova'n un amb la taula: $2\,\Phi(1.96) - 1 = 2 \cdot 0.975 - 1 = 0.95$.

Aproximació de la binomial per la normal

Quan $n$ és gran, calcular $P(X \leq 40)$ en una binomial vol dir sumar 41 termes amb nombres combinatoris enormes. La solució és substituir la binomial per una normal amb la mateixa mitjana i desviació típica.

Les condicions garanteixen que la binomial no és massa asimètrica (alguns criteris demanen $\geq 10$; a les PAU s'accepta $\geq 5$, però cal comprovar-ho i escriure-ho).

Correcció de continuïtat

La binomial és discreta (només valors enters) i la normal és contínua. Per traslladar bé les probabilitats, cada valor enter $k$ es representa per l'interval $(k - 0.5,\; k + 0.5)$. Aquesta és la correcció de continuïtat:

Binomial	Aproximació normal
$P(X = k)$	$P(k - 0.5 < X' < k + 0.5)$
$P(X \leq k)$	$P(X' < k + 0.5)$
$P(X < k)$	$P(X' < k - 0.5)$
$P(X \geq k)$	$P(X' > k - 0.5)$
$P(X > k)$	$P(X' > k + 0.5)$
$P(a \leq X \leq b)$	$P(a - 0.5 < X' < b + 0.5)$

La manera de no equivocar-se és pensar quins enters inclou la desigualtat: «almenys 35» inclou el 35, així que la frontera és $34.5$; «més de 35» comença al 36, i la frontera és $35.5$.

Com redactar la resposta a l'examen

Sigui $X$ = «...». Segons l'enunciat, $X \sim N(\mu, \sigma)$ amb $\mu = \ldots$ i $\sigma = \ldots$. Tipifiquem: $P(X < a) = P\big(Z < \tfrac{a - \mu}{\sigma}\big) = P(Z < z) = \Phi(z) = \ldots$ (valor de la taula). Per tant, la probabilitat demanada és ..., és a dir, el ... % de ...

Per a una aproximació de binomial, afegeix-hi la frase: «Com que $np = \ldots \geq 5$ i $n(1-p) = \ldots \geq 5$, aproximem $X$ per una normal $N(np, \sqrt{np(1-p)})$ aplicant la correcció de continuïtat».

Exercicis proposats

Exercici 1. El contingut de les ampolles d'una embotelladora segueix una normal de mitjana 500 ml i desviació típica 20 ml. a) Probabilitat que una ampolla contingui menys de 470 ml. b) Probabilitat que contingui entre 480 i 520 ml. c) Quin contingut només supera el 5 % de les ampolles més plenes?

Solució de l'exercici 1

$X \sim N(500, 20)$.

a) $z = (470 - 500)/20 = -1.5$; $P(X < 470) = \Phi(-1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668$.

b) Els extrems tipificats són $-1$ i $1$: $P(480 < X < 520) = 2\,\Phi(1) - 1 = 2 \cdot 0.8413 - 1 = 0.6826$ (l'interval $\mu \pm \sigma$).

c) Busquem $a$ amb $P(X > a) = 0.05$, és a dir, $\Phi(z) = 0.95$ i $z = 1.645$. Aleshores $a = 500 + 1.645 \cdot 20 = 532.9$ ml.

Exercici 2. El temps que triga un autobús a fer un trajecte és una variable normal de mitjana 35 minuts. Se sap que el 20 % dels trajectes duren més de 40 minuts. a) Calcula la desviació típica. b) Amb aquest valor, quina és la probabilitat que un trajecte duri menys de 25 minuts?

Solució de l'exercici 2

a) $X \sim N(35, \sigma)$ amb $\sigma$ desconeguda. La condició $P(X > 40) = 0.20$ equival a $P(Z > (40 - 35)/\sigma) = 0.20$, o sigui $\Phi(5/\sigma) = 0.80$. A la taula, $\Phi(0.84) = 0.7995 \approx 0.80$, així que $5/\sigma = 0.84$ i $\sigma = 5/0.84 \approx 5.95$ minuts.

b) $z = (25 - 35)/5.95 = -1.68$; $P(X < 25) = \Phi(-1.68) = 1 - 0.9535 = 0.0465$. Només un 4,7 % dels trajectes baixen dels 25 minuts.

Exercici 3. Una màquina produeix peces amb un 10 % de defectuoses. S'agafa una mostra de 400 peces. a) Justifica que el nombre de defectuoses es pot aproximar per una normal i indica'n els paràmetres. b) Probabilitat que hi hagi 50 defectuoses o més. c) Probabilitat que n'hi hagi entre 30 i 45, tots dos inclosos.

Solució de l'exercici 3

a) $X$ = «defectuoses en la mostra» $\sim B(400,\, 0.1)$, perquè les 400 peces són proves independents amb probabilitat constant $0.1$. Com que $np = 40 \geq 5$ i $n(1-p) = 360 \geq 5$, aproximem per $X' \sim N(40,\, \sqrt{36}) = N(40, 6)$.

b) «50 o més» inclou el 50: frontera $49.5$.

$$P(X \geq 50) \approx P(X' > 49.5) = 1 - \Phi\!\left(\frac{49.5 - 40}{6}\right) = 1 - \Phi(1.58) = 1 - 0.9429 = 0.0571 .$$

(Valor exacte de la binomial: $0.0601$.)

c) Fronteres $29.5$ i $45.5$, que tipificades donen $-1.75$ i $0.92$:

$$P(30 \leq X \leq 45) \approx \Phi(0.92) - \Phi(-1.75) = 0.8212 - 0.0401 = 0.7811 .$$

(Valor exacte: $0.7857$.) Al voltant del 78 % de les mostres tenen entre 30 i 45 peces defectuoses.