Equacions de la recta i del pla a l'espai

⏱ 9 min de lectura🔄 Actualitzat el 7 de setembre del 2026Selectivitat

Les equacions de la recta a l'espai i l'equació del pla són el llenguatge de tota la geometria de la selectivitat. Gairebé cap exercici de PAU demana «escriu la recta» com a pregunta final, però tots comencen per aquí: per estudiar una posició relativa, calcular una distància o trobar un angle primer has de saber llegir la recta o el pla que et donen, extreure'n un punt i un vector, i canviar de forma quan convingui. En aquesta pàgina veuràs les quatre maneres d'escriure una recta, les tres d'escriure un pla, com passar de l'una a l'altra i els procediments típics del tipus «troba la recta que…» o «troba el pla que…». Els càlculs amb vectors (producte vectorial, determinants) es donen per sabuts de la pàgina de vectors a l'espai.

Què determina una recta

Una recta queda fixada per un punt $P = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ i un vector director $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ no nul. Qualsevol altre punt de la recta s'obté sumant al punt $P$ un múltiple del vector director. Aquesta idea, escrita de quatre maneres, dona les quatre formes de la recta.

Les quatre equacions de la recta

Recta $r$ que passa per $P = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ amb vector director $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ :

Vectorial: $(x, y, z) = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + λ (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ , amb $λ \in R$ .
Paramètriques:

r : ⎩ ⎨ ⎧ x = x_{0} + λ v_{1} y = y_{0} + λ v_{2} z = z_{0} + λ v_{3} λ \in R .

Contínua (només si $v_{1}, v_{2}, v_{3} \neq = 0$ ): $\frac{x - x _{0}}{v _{1}} = \frac{y - y _{0}}{v _{2}} = \frac{z - z _{0}}{v _{3}}$ .
Intersecció de dos plans (equacions implícites):

r : {A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0

Les tres primeres formes són la mateixa idea escrita amb més o menys detall: la vectorial és una igualtat de vectors, les paramètriques són la mateixa igualtat component a component i la contínua s'obté aïllant $λ$ a cada equació paramètrica i igualant. La quarta forma és diferent: descriu la recta com el conjunt de punts que compleixen dues equacions lineals, és a dir, com la intersecció de dos plans.

Una recta escrita de les quatre maneres

Escriu la recta que passa per $A = (1, - 2, 3)$ amb vector director $v = (2, 1, - 1)$ .

Vectorial: $(x, y, z) = (1, - 2, 3) + λ (2, 1, - 1)$ .
Paramètriques: $x = 1 + 2 λ$ , $y = - 2 + λ$ , $z = 3 - λ$ .
Contínua: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{- 1}$ .
Dos plans: de la primera igualtat, $x - 1 = 2 (y + 2)$ , i de la segona, $- (y + 2) = z - 3$ . Reordenant,

r : {x - 2 y - 5 = 0 y + z - 1 = 0

Comprovació: el punt de la recta amb $λ = 2$ és $(5, 0, 1)$ , i compleix $5 - 0 - 5 = 0$ i $0 + 1 - 1 = 0$ .

Fixa't que, per passar de contínua a dos plans, només cal agafar dues de les tres igualtats possibles (la primera amb la segona, i la segona amb la tercera). La tercera parella és conseqüència de les altres dues.

El cas dels denominadors zero

Si alguna component del vector director és zero, la forma contínua no es pot escriure tal qual, perquè tindria un zero al denominador. Una expressió com $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{0} = \frac{z}{4}$ no és una equació ben escrita, tot i que de vegades apareix com a abús de notació. El que vol dir és que la component $y$ no varia al llarg de la recta.

Com escriure la recta si el vector director té un zero

Si $v = (v_{1}, 0, v_{3})$ , la recta s'escriu com

\frac{x - x _{0}}{v _{1}} = \frac{z - z _{0}}{v _{3}}, y = y_{0} .

Per exemple, la recta per $(2, 1, - 3)$ amb $v = (3, 0, 2)$ és $\frac{x - 2}{3} = \frac{z + 3}{2}$ , $y = 1$ . Si el vector director té dos zeros, com $(0, 0, 1)$ , la recta és simplement $x = x_{0}$ , $y = y_{0}$ . En aquests casos és més segur treballar directament amb les paramètriques.

De dos plans a punt i vector director

Quan la recta ve donada com a intersecció de dos plans, no tens ni el punt ni el vector director a la vista. Cal calcular-los:

Vector director: la recta és perpendicular als vectors normals dels dos plans, $n_{1} = (A_{1}, B_{1}, C_{1})$ i $n_{2} = (A_{2}, B_{2}, C_{2})$ . Per tant, $v = n_{1} \times n_{2}$ .
Un punt: dona un valor còmode a una de les variables (normalment $z = 0$ , o la que faci sortir nombres enters) i resol el sistema $2 \times 2$ que queda.

L'alternativa és resoldre el sistema de dues equacions amb tres incògnites per Gauss: és compatible indeterminat amb un paràmetre, i la solució en funció del paràmetre són directament les paramètriques de la recta.

Recta donada per dos plans

Troba un punt i un vector director de la recta

r : {x + y + z = 2 x - y + 2 z = 1

Vectors normals: $n_{1} = (1, 1, 1)$ i $n_{2} = (1, - 1, 2)$ . El vector director és

v = n_{1} \times n_{2} = i 11 j 1 - 1 k 12 = (2 + 1, 1 - 2, - 1 - 1) = (3, - 1, - 2) .

Per trobar un punt fem $y = 0$ : queda $x + z = 2$ i $x + 2 z = 1$ ; restant, $z = - 1$ i $x = 3$ . El punt és $P = (3, 0, - 1)$ , i la recta és $(x, y, z) = (3, 0, - 1) + λ (3, - 1, - 2)$ .

Comprovació: amb $λ = 1$ obtenim $(6, - 1, - 3)$ , que compleix $6 - 1 - 3 = 2$ i $6 + 1 - 6 = 1$ .

Tria bé la variable que fixes

Si fixes $z = 0$ i el sistema que queda no té solució (perquè els coeficients de $x$ i $y$ són proporcionals), no vol dir que la recta no tingui punts: vol dir que la recta no talla el pla $z = 0$ . Prova amb $x = 0$ o $y = 0$ .

Què determina un pla

Un pla queda fixat per un punt $P = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ i dos vectors directors $u$ i $v$ linealment independents (no paral·lels). Alternativament, per un punt i un vector normal $n$ , perpendicular al pla. Les dues descripcions donen les tres formes de l'equació.

Les tres equacions del pla

Pla $π$ que passa per $P = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ amb vectors directors $u$ , $v$ :

Vectorial: $(x, y, z) = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + λ u + μ v$ , amb $λ, μ \in R$ .
Paramètriques:

π : ⎩ ⎨ ⎧ x = x_{0} + λ u_{1} + μ v_{1} y = y_{0} + λ u_{2} + μ v_{2} z = z_{0} + λ u_{3} + μ v_{3}

General o implícita: $A x + B y + C z + D = 0$ . El vector $n = (A, B, C)$ és el vector normal del pla.

La forma general és, amb diferència, la més útil: dona el vector normal a simple vista i permet comprovar si un punt hi pertany substituint. Per això, la primera cosa a fer amb un pla en paramètriques sol ser passar-lo a general.

Pla per un punt i dos vectors: el determinant

Un punt genèric $X = (x, y, z)$ és del pla si el vector $P X$ és combinació de $u$ i $v$ , és a dir, si els tres vectors són coplanaris. Amb el criteri del producte mixt:

x - x_{0} u_{1} v_{1} y - y_{0} u_{2} v_{2} z - z_{0} u_{3} v_{3} = 0.

Desenvolupant aquest determinant surt directament l'equació general. El camí equivalent és calcular $n = u \times v$ i escriure $n \cdot P X = 0$ .

Pla per un punt i dos vectors directors

Troba l'equació general del pla que passa per $P = (1, 0, 2)$ amb vectors directors $u = (1, 1, 0)$ i $v = (0, 2, - 1)$ .

Amb el determinant:

x - 1 10 y 12 z - 2 0 - 1 = - (x - 1) + 0 + 2 (z - 2) - 0 - 0 + y = - x + y + 2 z - 3 = 0.

Multiplicant per $- 1$ perquè quedi més net: $π : x - y - 2 z + 3 = 0$ . El vector normal és $n = (1, - 1, - 2)$ (o el seu oposat; pots comprovar que $u \times v = (- 1, 1, 2)$ ).

Comprovació: $P = (1, 0, 2)$ compleix $1 - 0 - 4 + 3 = 0$ .

Pla per tres punts

Si et donen tres punts $A$ , $B$ , $C$ , els vectors directors són $A B$ i $A C$ , i es procedeix com abans. Però abans cal una comprovació: si $A B$ i $A C$ són proporcionals, els tres punts estan alineats i no determinen un únic pla (n'hi ha infinits que els contenen). Tres punts sempre són coplanaris; el que cal per definir un pla és que no estiguin alineats.

Pla per tres punts

Troba el pla que passa per $A = (1, 1, 1)$ , $B = (2, 0, 3)$ i $C = (0, 2, 2)$ .

$A B = (1, - 1, 2)$ i $A C = (- 1, 1, 1)$ . No són proporcionals (les dues primeres components donarien $λ = - 1$ i la tercera $λ = \frac{1}{2}$ ), així que els punts no estan alineats.

Vector normal: $n = A B \times A C = ((- 1) \cdot 1 - 2 \cdot 1, 2 \cdot (- 1) - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - (- 1) (- 1)) = (- 3, - 3, 0)$ . El simplifiquem a $n = (1, 1, 0)$ .

El pla és $1 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (y - 1) + 0 \cdot (z - 1) = 0$ , és a dir, $π : x + y - 2 = 0$ .

Comprovació amb $B$ i $C$ : $2 + 0 - 2 = 0$ i $0 + 2 - 2 = 0$ . Fixa't que la $z$ no apareix: el pla és «vertical», paral·lel a l'eix $O Z$ .

Pla per un punt i vector normal

Si coneixes el vector normal $n = (A, B, C)$ , l'equació és $A x + B y + C z + D = 0$ i només falta $D$ , que es troba imposant que el punt hi pertanyi. Per exemple, el pla per $P = (2, - 1, 0)$ amb $n = (3, 1, - 2)$ és $3 x + y - 2 z + D = 0$ amb $3 \cdot 2 + (- 1) - 0 + D = 0$ , d'on $D = - 5$ : el pla és $3 x + y - 2 z - 5 = 0$ .

De general a paramètriques

El camí invers és igual de senzill: aïlla una variable i tracta les altres dues com a paràmetres. Del pla $x - y - 2 z + 3 = 0$ surt $x = - 3 + y + 2 z$ ; amb $y = λ$ i $z = μ$ :

π : ⎩ ⎨ ⎧ x = - 3 + λ + 2 μ y = λ z = μ

D'aquí es llegeix un punt, $(- 3, 0, 0)$ , i dos vectors directors, $(1, 1, 0)$ i $(2, 0, 1)$ .

Pertinença d'un punt

Punt en un pla. Si el pla és $A x + B y + C z + D = 0$ , el punt $(a, b, c)$ hi pertany si $A a + B b + C c + D = 0$ . És una substitució directa; per això la forma general és tan pràctica.

Punt en una recta. Si la recta és en paramètriques, el punt $(a, b, c)$ hi pertany si existeix un mateix valor de $λ$ que compleixi les tres equacions. Es troba $λ$ amb una equació i es comprova a les altres dues. Si la recta és en forma de dos plans, cal que el punt compleixi les dues equacions.

Pertinença a una recta

La recta $r$ té equacions $x = 1 + 2 λ$ , $y = - 2 + λ$ , $z = 3 - λ$ . Pertanyen a $r$ els punts $M = (3, - 1, 2)$ i $N = (0, 1, 1)$ ?

Per a $M$ : de la primera equació, $3 = 1 + 2 λ$ dona $λ = 1$ . Amb $λ = 1$ , $y = - 2 + 1 = - 1$ i $z = 3 - 1 = 2$ . Coincideix: $M \in r$ .

Per a $N$ : $0 = 1 + 2 λ$ dona $λ = - \frac{1}{2}$ , però aleshores $y = - 2 - \frac{1}{2} = - \frac{5}{2} \neq = 1$ . Per tant, $N \in / r$ .

Un valor de λ per a cada equació no serveix

Trobar $λ = 1$ amb la primera equació i $λ = 3$ amb la segona i concloure que «el punt és de la recta perquè hi ha solució» és un error clàssic. El punt pertany a la recta només si el mateix $λ$ funciona a les tres equacions.

Procediments típics de PAU

La majoria de preguntes de construcció es redueixen a identificar un punt i un vector (recta) o un punt i un normal, o bé un punt i dos vectors (pla).

Per trobar una recta necessites un punt i un vector director:

Enunciat	Punt	Vector director
Passa per $A$ i $B$	$A$	$A B$
Passa per $A$ i és paral·lela a $s$	$A$	el director de $s$
Passa per $A$ i és perpendicular al pla $π$	$A$	el normal de $π$
És la intersecció de $π_{1}$ i $π_{2}$	resol el sistema	$n_{1} \times n_{2}$

Per trobar un pla necessites un punt i un normal, o un punt i dos directors:

Enunciat	Punt	Vectors
Passa per $A$ , $B$ , $C$	$A$	directors $A B$ , $A C$
Passa per $A$ i és paral·lel a $π$	$A$	mateix normal que $π$
Passa per $A$ i és perpendicular a la recta $r$	$A$	normal = director de $r$
Conté la recta $r$ i el punt $Q$ exterior	un punt $P$ de $r$	directors $v_{r}$ i $P Q$
Conté dues rectes secants	el punt de tall	els dos directors
Conté dues rectes paral·leles	un punt $P$ de $r$	$v_{r}$ i $P Q$ , amb $Q \in s$

Pla que conté una recta i un punt exterior

Troba el pla que conté la recta $r : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{3}$ i el punt $Q = (0, 1, 1)$ .

De la recta llegim el punt $P = (1, 0, - 1)$ i el vector director $u = (2, 1, 3)$ . Comprovem que $Q$ no és de $r$ : $\frac{0 - 1}{2} = - \frac{1}{2}$ però $\frac{1}{1} = 1$ , així que $Q \in / r$ i el pla és únic.

El segon vector director és $P Q = (- 1, 1, 2)$ . El normal és

n = u \times P Q = (1 \cdot 2 - 3 \cdot 1, 3 \cdot (- 1) - 2 \cdot 2, 2 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1)) = (- 1, - 7, 3) .

Pla: $- (x - 1) - 7 y + 3 (z + 1) = 0$ , és a dir, $π : x + 7 y - 3 z - 4 = 0$ (multiplicat per $- 1$ ).

Comprovació: $Q$ dona $0 + 7 - 3 - 4 = 0$ i $P$ dona $1 + 0 + 3 - 4 = 0$ .

Com redactar la resposta a l'examen

A geometria, els correctors busquen que cada objecte que fas servir estigui identificat. Una redacció model quan et demanen una recta:

Un punt de la recta és $P = \dots$ i un vector director és $v = \dots$ (perquè $\dots$ ). Per tant, la recta és $(x, y, z) = P + λ v$ , o en paramètriques $\dots$

I quan et demanen un pla:

El pla passa per $P = \dots$ i té vector normal $n = \dots$ (perquè $\dots$ ). L'equació és $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ , és a dir, $\dots$

El «perquè» entre parèntesis és el que dona punts: «perquè és perpendicular al pla donat», «perquè és el producte vectorial dels dos directors». Acaba sempre comprovant que el punt (o els punts) de l'enunciat compleixen l'equació que has escrit.

Llista de comprovació

Has identificat clarament un punt i un vector director (recta) o un punt i un normal (pla)?
Si has passat de dos plans a paramètriques, has comprovat el punt en les dues equacions?
En la forma contínua, has evitat els denominadors zero?
Si has fet un pla per tres punts, has descartat que estiguin alineats?
Has substituït els punts de l'enunciat a l'equació final per comprovar-la?

Exercicis proposats

Exercici 1. Escriu la recta que passa per $A = (2, 0, - 1)$ i $B = (4, 3, - 1)$ en forma paramètrica, contínua (amb la precaució adequada) i com a intersecció de dos plans.

Solució de l'exercici 1

Vector director: $A B = (2, 3, 0)$ . Paramètriques: $x = 2 + 2 λ$ , $y = 3 λ$ , $z = - 1$ .

Com que la tercera component del director és zero, la forma contínua s'escriu $\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{3}$ , $z = - 1$ .

Com a dos plans: de $3 (x - 2) = 2 y$ surt $3 x - 2 y - 6 = 0$ , i l'altre pla és $z + 1 = 0$ :

r : {3 x - 2 y - 6 = 0 z + 1 = 0

Comprovació amb $B$ : $12 - 6 - 6 = 0$ i $- 1 + 1 = 0$ .

Exercici 2. Troba l'equació general del pla que passa per $A = (1, 0, 0)$ , $B = (0, 2, 0)$ i $C = (0, 0, 3)$ . Comprova si el punt $D = (2, 1, - 1)$ hi pertany i, si no, escriu el pla paral·lel que passa per $D$ .

Solució de l'exercici 2

$A B = (- 1, 2, 0)$ , $A C = (- 1, 0, 3)$ , no proporcionals. Normal: $A B \times A C = (6, 3, 2)$ . Pla: $6 (x - 1) + 3 y + 2 z = 0$ , és a dir, $6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0$ . (Comprovació: $B$ dona $6 - 6 = 0$ , $C$ dona $6 - 6 = 0$ .)

Per a $D$ : $12 + 3 - 2 - 6 = 7 \neq = 0$ , així que $D$ no és del pla. El pla paral·lel per $D$ té el mateix normal: $6 x + 3 y + 2 z + D^{'} = 0$ amb $12 + 3 - 2 + D^{'} = 0$ , d'on $D^{'} = - 13$ . És el pla $6 x + 3 y + 2 z - 13 = 0$ .

Exercici 3. Escriu en paramètriques la recta

r : {2 x - y + z = 3 x + y - 2 z = 0

i decideix si el punt $M = (2, 4, 3)$ hi pertany.

Solució de l'exercici 3

Director: $v = (2, - 1, 1) \times (1, 1, - 2) = ((- 1) (- 2) - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 2 \cdot (- 2), 2 \cdot 1 - (- 1) \cdot 1) = (1, 5, 3)$ .

Punt: amb $z = 0$ queda $2 x - y = 3$ i $x + y = 0$ ; sumant, $3 x = 3$ , així que $x = 1$ i $y = - 1$ . Punt $P = (1, - 1, 0)$ .

Paramètriques: $x = 1 + λ$ , $y = - 1 + 5 λ$ , $z = 3 λ$ .

Per a $M = (2, 4, 3)$ : $λ = 1$ per la primera equació, i aleshores $y = 4$ i $z = 3$ . Coincideix, així que $M \in r$ . (També es pot veure substituint a les dues equacions dels plans: $4 - 4 + 3 = 3$ i $2 + 4 - 6 = 0$ .)

📄 Vols aquest tema en paper? Descarrega el resum del bloc en PDF.

Descarrega el PDF