☰ Índex de temes

Derivades: definició, taula de derivades i regla de la cadena

⏱ 12 min de lectura🔄 Actualitzat el 7 de setembre del 2026Selectivitat

La derivada és l'eina central del bloc d'anàlisi de les PAU de Matemàtiques II. Mesura com de ràpid canvia una funció en cada punt i, geomètricament, és el pendent de la recta tangent. A l'examen no sol aparèixer com a pregunta aïllada («deriva això»), sinó dins de problemes més grans: recta tangent, estudi de funcions, optimització o derivabilitat d'una funció a trossos amb paràmetres. Per això has de derivar de manera automàtica i sense errors. En aquesta pàgina trobaràs la definició, la condició de derivabilitat, la taula de derivades completa (amb la versió composta de cada fórmula), les regles de derivació amb exemples i el tipus d'exercici de paràmetres que cau cada any.

Taxa de variació mitjana

Abans de la derivada hi ha una idea més senzilla: quant ha crescut, de mitjana, una funció en un interval. Si prens dos punts de la gràfica, $(x_{1}, f (x_{1}))$ i $(x_{2}, f (x_{2}))$ , el pendent de la recta que els uneix és

TVM [x_{1}, x_{2}] = \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} .

Aquest quocient s'anomena taxa de variació mitjana i té una interpretació física immediata: si $f (t)$ és la posició d'un mòbil, la TVM entre dos instants és la velocitat mitjana. Per exemple, per a $f (x) = x^{2} + 1$ a l'interval $[1, 3]$ tenim $f (1) = 2$ i $f (3) = 10$ , de manera que la TVM val $\frac{10 - 2}{3 - 1} = 4$ : de mitjana, la funció puja 4 unitats per cada unitat que avança $x$ .

El problema de la TVM és que només dona una mitjana. Si vols saber com creix la funció exactament en un punt (la velocitat instantània), has de fer l'interval tan petit com vulguis. Això és un límit, i és la definició de derivada.

Definició de derivada com a límit

Derivada d'una funció en un punt

La derivada de $f$ en el punt $x_{0}$ és el límit, si existeix i és finit,

f^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} = h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h} .

Les dues expressions són la mateixa: la segona s'obté escrivint $x = x_{0} + h$ . Si el límit existeix, diem que $f$ és derivable en $x_{0}$ .

Fixa't que el quocient de dins del límit és exactament una TVM a l'interval $[x_{0}, x_{0} + h]$ . La derivada és la taxa de variació instantània: el valor cap al qual tendeixen les taxes mitjanes quan l'interval s'encongeix. Per calcular-la per definició sempre surt una indeterminació $\frac{0}{0}$ que cal resoldre amb les tècniques de límits.

Derivada per definició

Calcula, a partir de la definició, la derivada de $f (x) = x^{2} - 3 x$ en $x_{0} = 2$ .

Tenim $f (2) = 4 - 6 = - 2$ i $f (2 + h) = (2 + h)^{2} - 3 (2 + h) = 4 + 4 h + h^{2} - 6 - 3 h = h^{2} + h - 2$ . Per tant,

f^{'} (2) = h \to 0 lim \frac{( h ^{2} + h - 2 ) - ( - 2 )}{h} = h \to 0 lim \frac{h ^{2} + h}{h} = h \to 0 lim (h + 1) = 1.

Si fem el mateix càlcul en un punt genèric $x$ en lloc de $2$ , el quocient queda $\frac{2 x h + h ^{2} - 3 h}{h} = 2 x + h - 3$ , i el límit és $2 x - 3$ . Això és la funció derivada, i de fet $f^{'} (2) = 2 \cdot 2 - 3 = 1$ , com havíem trobat.

A les PAU pot sortir una pregunta del tipus «calcula $f^{'} (1)$ aplicant la definició de derivada» per a una funció senzilla ( $x^{2}$ , $\frac{1}{x}$ , $x$ ). Practica-ho, perquè el que avaluen és que sàpigues escriure bé el límit, no el resultat.

Interpretació geomètrica: el pendent de la tangent

El quocient $\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ és el pendent de la recta secant que passa pels punts $(x_{0}, f (x_{0}))$ i $(x, f (x))$ . Quan $x$ s'acosta a $x_{0}$ , els dos punts s'ajunten i la secant es converteix en la recta tangent a la gràfica en $x_{0}$ . Per tant:

f^{'} (x_{0}) = pendent de la recta tangent a y = f (x) en el punt (x_{0}, f (x_{0})) .

Per exemple, per a $f (x) = x^{3}$ tenim $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , de manera que la tangent en $x = 1$ té pendent $3$ : la corba puja molt de pressa en aquell punt. El signe de la derivada també diu si la funció puja ( $f^{'} > 0$ ) o baixa ( $f^{'} < 0$ ), idea que és la base de tot l'estudi de funcions.

Derivades laterals i derivabilitat

Com que la derivada és un límit, també té versions laterals:

f^{'} (x_{0}^{-}) = h \to 0^{-} lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}, f^{'} (x_{0}^{+}) = h \to 0^{+} lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h} .

La funció és derivable en $x_{0}$ si i només si les dues derivades laterals existeixen, són finites i coincideixen. Geomètricament, la derivada lateral per l'esquerra és el pendent amb què la gràfica arriba al punt, i la de la dreta és el pendent amb què en surt. Si no coincideixen, la gràfica fa un «pic» (un punt angulós) i no hi ha una única tangent.

Derivable implica contínua

Si $f$ és derivable en $x_{0}$ , aleshores $f$ és contínua en $x_{0}$ . El recíproc és fals: hi ha funcions contínues que no són derivables.

La implicació és clara si penses que, perquè existeixi el límit del quocient amb el denominador tendint a $0$ , el numerador $f (x) - f (x_{0})$ també ha de tendir a $0$ , i això és exactament la continuïtat. Per veure que el recíproc falla, l'exemple canònic és el valor absolut.

El valor absolut és contínu però no derivable a 0

Sigui $f (x) = ∣ x ∣$ , és a dir, $f (x) = - x$ si $x < 0$ i $f (x) = x$ si $x \geq 0$ . És contínua a $x = 0$ perquè els dos trossos valen $0$ en aquest punt. Ara calculem les derivades laterals:

f^{'} (0^{-}) = h \to 0^{-} lim \frac{∣ h ∣ - 0}{h} = h \to 0^{-} lim \frac{- h}{h} = - 1, f^{'} (0^{+}) = h \to 0^{+} lim \frac{∣ h ∣}{h} = h \to 0^{+} lim \frac{h}{h} = 1.

Com que $- 1 \neq = 1$ , la funció no és derivable a $x = 0$ : la gràfica hi fa un pic en forma de V. A qualsevol altre punt sí que és derivable, amb $f^{'} (x) = - 1$ per a $x < 0$ i $f^{'} (x) = 1$ per a $x > 0$ .

En la pràctica, els punts on cal dubtar de la derivabilitat són els mateixos que a la continuïtat: els punts on canvia la definició d'una funció a trossos, els punts on hi ha un valor absolut i els punts on una arrel s'anul·la (com $x$ en $x = 0$ , que té tangent vertical i derivada infinita).

La funció derivada

Quan la derivada existeix en tots els punts d'un interval, obtenim una nova funció $f^{'} (x)$ que a cada $x$ li assigna el pendent de la tangent en aquell punt. Aquesta és la funció derivada, i calcular-la és el que normalment entenem per «derivar». Per exemple, per a $f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 1$ la funció derivada és $f^{'} (x) = 6 x - 5$ : en $x = 0$ el pendent és $- 5$ (la corba baixa), en $x = 1$ és $1$ (puja) i en $x = \frac{5}{6}$ és $0$ (tangent horitzontal, que resulta ser el mínim de la paràbola).

Calcular la funció derivada per definició cada vegada seria insuportable. Per això existeix la taula de derivades: recull, ja resolts, els límits de les funcions elementals.

Taula de derivades

La columna «simple» és la que has de saber de memòria. La columna «composta» és la mateixa fórmula aplicada a una funció interior $u = u (x)$ , i incorpora la regla de la cadena: sempre acaba multiplicant per $u^{'}$ . A l'examen gairebé tot el que derivaràs és de la segona columna.

Funció	Derivada (simple)	Composta amb $u (x)$	Derivada (composta)
$k$ (constant)	$0$	—	—
$x$	$1$	$u$	$u^{'}$
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$	$u^{n}$	$n u^{n - 1} \cdot u^{'}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$	$u$	$\frac{u ^{'}}{2 u}$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$	$\frac{1}{u}$	$- \frac{u ^{'}}{u ^{2}}$
$e^{x}$	$e^{x}$	$e^{u}$	$e^{u} \cdot u^{'}$
$a^{x}$	$a^{x} ln a$	$a^{u}$	$a^{u} ln a \cdot u^{'}$
$ln x$	$\frac{1}{x}$	$ln u$	$\frac{u ^{'}}{u}$
$lo g_{a} x$	$\frac{1}{x ln a}$	$lo g_{a} u$	$\frac{u ^{'}}{u ln a}$
$sin x$	$cos x$	$sin u$	$cos u \cdot u^{'}$
$cos x$	$- sin x$	$cos u$	$- sin u \cdot u^{'}$
$tan x$	$\frac{1}{cos ^{2} x} = 1 + tan^{2} x$	$tan u$	$\frac{u ^{'}}{cos ^{2} u}$
$cot x$	$- \frac{1}{sin ^{2} x}$	$cot u$	$- \frac{u ^{'}}{sin ^{2} u}$
$arcsin x$	$\frac{1}{1 - x ^{2}}$	$arcsin u$	$\frac{u ^{'}}{1 - u ^{2}}$
$arccos x$	$- \frac{1}{1 - x ^{2}}$	$arccos u$	$- \frac{u ^{'}}{1 - u ^{2}}$
$arctan x$	$\frac{1}{1 + x ^{2}}$	$arctan u$	$\frac{u ^{'}}{1 + u ^{2}}$

Dos comentaris sobre la taula. Primer, l'arrel i la inversa no són fórmules noves: són la de la potència amb $n = \frac{1}{2}$ i $n = - 1$ , i val la pena saber-ho perquè $3 x = x^{1/3}$ o $\frac{1}{x ^{4}} = x^{- 4}$ es deriven igual. Segon, les tres primeres files de trigonomètriques inverses apareixen menys a les PAU, però la d' $arctan$ sí que surt, especialment a integrals, on la llegiràs al revés.

Com memoritzar la columna composta

No cal aprendre-la a part. Agafa la fórmula simple, canvia cada $x$ per $u$ i multiplica pel final per $u^{'}$ . Si te'n descuides, la derivada de $sin (x^{2})$ et sortiria $cos (x^{2})$ en lloc de $2 x cos (x^{2})$ , i és l'error més freqüent de tot el tema.

Regles de derivació

Les funcions de l'examen són combinacions de les elementals: sumes, productes, quocients i composicions. Hi ha una regla per a cada operació.

Regles de derivació

Si $f$ i $g$ són derivables i $k$ és una constant:

Suma i resta: $(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}$ .
Constant per funció: $(k f)^{'} = k f^{'}$ .
Producte: $(f \cdot g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ .
Quocient: $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ , on $g \neq = 0$ .
Regla de la cadena: si $F (x) = f (g (x))$ , aleshores $F^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ .

La regla de la suma diu que pots derivar terme a terme, i és la que permet derivar qualsevol polinomi. Per exemple, $f (x) = 4 x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 1$ té derivada $f^{'} (x) = 12 x^{2} - 4 x + 7$ : cada terme baixa un grau i el coeficient es multiplica per l'exponent antic, i la constant desapareix.

Regla del producte

Deriva $f (x) = x^{2} e^{x}$ .

Prenem $f_{1} = x^{2}$ i $f_{2} = e^{x}$ , amb $f_{1}^{'} = 2 x$ i $f_{2}^{'} = e^{x}$ . Aleshores

f^{'} (x) = 2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x} = e^{x} (x^{2} + 2 x) .

Treure factor comú al final no és obligatori, però facilita el pas següent que gairebé sempre ve: resoldre $f^{'} (x) = 0$ . Aquí és immediat veure que $f^{'} (x) = 0$ només quan $x = 0$ o $x = - 2$ , perquè $e^{x}$ no s'anul·la mai.

Regla del quocient

Deriva $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x - 1}$ .

Numerador $x^{2} + 1$ (derivada $2 x$ ) i denominador $x - 1$ (derivada $1$ ):

f^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - ( x ^{2} + 1 ) \cdot 1}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} - 2 x - x ^{2} - 1}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x - 1}{( x - 1 ) ^{2}} .

Simplifica sempre el numerador, però no desenvolupis el denominador: deixar-lo com a $(x - 1)^{2}$ és més net i deixa clar que és positiu.

L'ordre al quocient

A la regla del producte l'ordre no importa, però a la del quocient sí: és «derivada del de dalt pel de baix menys el de dalt per la derivada del de baix». Si ho gires, el signe de tota la derivada queda invertit i, després, els intervals de creixement surten al revés. Una comprovació ràpida: la derivada de $\frac{1}{x}$ ha de donar $- \frac{1}{x ^{2}}$ ; si amb la teva manera d'aplicar la regla surt positiva, l'has girada.

La regla de la cadena

És la regla que més s'utilitza i la que més errors genera. Serveix per derivar una funció «dins» d'una altra: $F (x) = f (g (x))$ . La recepta és derivar la funció exterior deixant l'interior intacte, i multiplicar per la derivada de l'interior. Si hi ha més de dues capes, es va pelant de fora cap a dins i es multipliquen totes les derivades.

Regla de la cadena, diversos casos

a) $f (x) = sin (x^{2} + 1)$ . Exterior $sin$ , interior $x^{2} + 1$ :

f^{'} (x) = cos (x^{2} + 1) \cdot 2 x = 2 x cos (x^{2} + 1) .

b) $f (x) = ln (x^{2} + 3 x)$ . Exterior $ln$ , interior $x^{2} + 3 x$ :

f^{'} (x) = \frac{2 x + 3}{x ^{2} + 3 x} .

c) $f (x) = e^{- x^{2}}$ . Exterior $e^{(\cdot)}$ , interior $- x^{2}$ :

f^{'} (x) = e^{- x^{2}} \cdot (- 2 x) = - 2 x e^{- x^{2}} .

d) $f (x) = (2 x + 1)^{5}$ . Exterior potència, interior $2 x + 1$ :

f^{'} (x) = 5 (2 x + 1)^{4} \cdot 2 = 10 (2 x + 1)^{4} .

e) $f (x) = x^{2} + 4$ . Exterior arrel, interior $x^{2} + 4$ :

f^{'} (x) = \frac{2 x}{2 x ^{2} + 4} = \frac{x}{x ^{2} + 4} .

f) $f (x) = arctan (3 x)$ :

f^{'} (x) = \frac{3}{1 + ( 3 x ) ^{2}} = \frac{3}{1 + 9 x ^{2}} .

Quan la funció combina diverses regles, identifica primer l'operació més exterior. A $x \cdot sin (2 x)$ l'exterior és un producte; a $sin (x \cdot 2 x)$ és una composició; a $\frac{s i n x}{x}$ és un quocient. Aquesta primera decisió determina quina regla s'aplica al principi, i les altres s'utilitzen a dins.

Derivació logarítmica

Hi ha un tipus de funció que no encaixa a cap fila de la taula: una funció elevada a una altra funció, $f (x) = g (x)^{h (x)}$ , com $x^{x}$ o $(x^{2} + 1)^{s i n x}$ . No és una potència (l'exponent no és constant) ni una exponencial (la base no és constant). El truc és prendre logaritmes abans de derivar:

ln f = h ln g ⟹ \frac{f ^{'}}{f} = h^{'} ln g + h \cdot \frac{g ^{'}}{g} ⟹ f^{'} = g^{h} (h^{'} ln g + \frac{h g ^{'}}{g}) .

No cal memoritzar la fórmula final: recorda el mètode (logaritme, derivar els dos costats, aïllar $f^{'}$ ) i aplica'l cada vegada.

Derivació logarítmica

a) $f (x) = x^{x}$ . Prenem logaritmes: $ln f = x ln x$ . Derivant els dos costats, $\frac{f ^{'}}{f} = ln x + x \cdot \frac{1}{x} = ln x + 1$ . Per tant $f^{'} (x) = x^{x} (ln x + 1)$ .

b) $f (x) = (x^{2} + 1)^{s i n x}$ . Ara $ln f = sin x \cdot ln (x^{2} + 1)$ , i derivant amb la regla del producte:

\frac{f ^{'}}{f} = cos x \cdot ln (x^{2} + 1) + sin x \cdot \frac{2 x}{x ^{2} + 1}, f^{'} (x) = (x^{2} + 1)^{s i n x} [cos x ln (x^{2} + 1) + \frac{2 x sin x}{x ^{2} + 1}] .

Derivades successives

La derivada d'una funció derivable és una altra funció, que pot tornar-se a derivar. Així s'obtenen la segona derivada $f^{''}$ , la tercera $f^{'''}$ i, en general, la derivada $n$ -èsima $f^{(n)}$ . La segona derivada és la que més necessitaràs: diu si la gràfica és còncava o convexa i serveix per classificar màxims i mínims. Per exemple, si $f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ aleshores $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x$ i $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 6$ .

A vegades es demana una fórmula general. Per a $f (x) = e^{2 x}$ , cada derivada treu un factor $2$ : $f^{'} = 2 e^{2 x}$ , $f^{''} = 4 e^{2 x}$ , $f^{'''} = 8 e^{2 x}$ , i en general $f^{(n)} (x) = 2^{n} e^{2 x}$ . Per a $sin x$ les derivades són cícliques ( $cos x$ , $- sin x$ , $- cos x$ , $sin x$ ) i es repeteixen cada quatre.

Derivabilitat de funcions a trossos amb paràmetres

Aquest és l'exercici tipus d'aquesta pàgina a les PAU. Et donen una funció definida a trossos amb paràmetres i et demanen els valors que la fan derivable. El mètode té dos passos, en aquest ordre:

Continuïtat al punt de canvi: iguala els límits laterals (com a límits i continuïtat). Sense continuïtat no hi ha derivabilitat, així que aquesta equació és obligatòria.
Derivabilitat: deriva cada tros per separat, avalua les dues expressions al punt de canvi i iguala-les.

Cada pas dona una equació; amb dos paràmetres, tens un sistema $2 \times 2$ .

Paràmetres per a la derivabilitat

Troba $a$ i $b$ perquè sigui derivable a tot $R$ la funció

f (x) = {a x^{2} + b x ln x + 2 si x \leq 1 si x > 1

Els dos trossos són derivables als seus intervals (el segon perquè $x > 0$ ), així que només cal estudiar $x = 1$ .

Continuïtat en $x = 1$ . $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = a + b$ i $lim_{x \to 1^{+}} f (x) = ln 1 + 2 = 2$ . Cal que $a + b = 2$ .

Derivabilitat en $x = 1$ . Les derivades dels trossos són $2 a x + b$ i $\frac{1}{x}$ . En $x = 1$ : $f^{'} (1^{-}) = 2 a + b$ i $f^{'} (1^{+}) = 1$ . Cal que $2 a + b = 1$ .

Resolem el sistema: restant la primera equació a la segona, $a = - 1$ , i aleshores $b = 3$ .

Resposta: $f$ és derivable a tot $R$ si i només si $a = - 1$ i $b = 3$ . Comprovació: amb aquests valors $f (1) = - 1 + 3 = 2$ i $f^{'} (1^{-}) = - 2 + 3 = 1 = f^{'} (1^{+})$ .

Atenció PAU

Igualar les derivades dels trossos només té sentit si la funció ja és contínua en aquell punt. Si a l'examen escrius directament $f^{'} (1^{-}) = f^{'} (1^{+})$ sense haver imposat la continuïtat, la resposta és incompleta i pots trobar un valor del paràmetre que faci les derivades laterals iguals però deixi la funció amb un salt: aquesta funció no és derivable. Escriu sempre els dos passos i digues explícitament «primer imposem la continuïtat».

Derivar per trossos i oblidar el punt de canvi

Si et demanen «la funció derivada» d'una funció a trossos, la derivada de cada tros va amb desigualtats estrictes al punt de canvi: la derivada en aquest punt només existeix si les laterals coincideixen, i s'ha d'estudiar a part. Escriure $f^{'} (x) = 2 a x + b$ «si $x \leq 1$ » dona per fet que $f$ és derivable en $1$ , cosa que has de justificar.

Com redactar la resposta a l'examen

En un càlcul de derivada, escriu quina regla apliques i, si fas servir la cadena, deixa visible la derivada de l'interior abans de simplificar: així el corrector pot donar punts parcials si t'equivoques en un pas aritmètic. Simplifica el resultat fins que sigui útil per al que ve després (factor comú si hauràs de resoldre $f^{'} = 0$ , numerador ordenat si és un quocient), però sense obsessionar-te. En un problema de derivabilitat, separa clarament l'apartat de continuïtat i el de derivabilitat, escriu les dues derivades laterals i acaba amb una frase de conclusió: « $f$ és derivable a $R$ si i només si $a = \dots$ i $b = \dots$ ».

Llista de comprovació

Has identificat l'operació més exterior (suma, producte, quocient o composició) abans de derivar?
A cada regla de la cadena, has multiplicat per la derivada de l'interior?
Al quocient, has respectat l'ordre « $f^{'} g - f g^{'}$ »?
A una funció elevada a una funció, has fet derivació logarítmica?
En una funció a trossos, has imposat primer la continuïtat i després la igualtat de derivades laterals?
Has comprovat el resultat substituint els valors trobats?

Amb la derivada dominada, el pas següent són les aplicacions de les derivades: tangent, monotonia, extrems, L'Hôpital i optimització. I l'operació inversa, trobar una funció a partir de la seva derivada, és el tema d'integrals.

Exercicis proposats

Exercici 1. Calcula la derivada de les funcions següents i simplifica el resultat.

a) f (x) = x^{3} ln x, b) g (x) = \frac{e ^{2 x}}{x ^{2} + 1}, c) h (x) = cos^{3} (2 x), d) k (x) = arctan x .

Solució de l'exercici 1

a) Producte: $f^{'} (x) = 3 x^{2} ln x + x^{3} \cdot \frac{1}{x} = 3 x^{2} ln x + x^{2} = x^{2} (3 ln x + 1)$ .

b) Quocient amb cadena al numerador: $g^{'} (x) = \frac{2 e ^{2 x} ( x ^{2} + 1 ) - e ^{2 x} \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{2 e ^{2 x} ( x ^{2} - x + 1 )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ .

c) Tres capes: potència, cosinus i $2 x$ . $h^{'} (x) = 3 cos^{2} (2 x) \cdot (- sin (2 x)) \cdot 2 = - 6 cos^{2} (2 x) sin (2 x)$ .

d) Arctangent amb arrel a dins: $k^{'} (x) = \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2 x} = \frac{1}{2 x ( 1 + x )}$ .

Exercici 2. Calcula, aplicant la definició de derivada, $f^{'} (4)$ per a $f (x) = x$ .

Solució de l'exercici 2

f^{'} (4) = h \to 0 lim \frac{4 + h - 2}{h} .

És una indeterminació $\frac{0}{0}$ ; multipliquem pel conjugat $4 + h + 2$ :

h \to 0 lim \frac{( 4 + h ) - 4}{h ( 4 + h + 2 )} = h \to 0 lim \frac{1}{4 + h + 2} = \frac{1}{4} .

Coincideix amb la taula: $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ i $f^{'} (4) = \frac{1}{4}$ .

Exercici 3. Determina $a$ i $b$ perquè la funció següent sigui derivable a tot $R$ .

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ a x^{2} + 3 \frac{b}{x} si x \leq 2 si x > 2

Solució de l'exercici 3

Els trossos són derivables als seus intervals (el segon perquè $x \neq = 0$ ). Estudiem $x = 2$ .

Continuïtat: $4 a + 3 = \frac{b}{2}$ , és a dir $b = 8 a + 6$ .

Derivabilitat: les derivades són $2 a x$ i $- \frac{b}{x ^{2}}$ ; en $x = 2$ , $4 a = - \frac{b}{4}$ , és a dir $b = - 16 a$ .

Igualant, $8 a + 6 = - 16 a$ , d'on $a = - \frac{1}{4}$ i $b = 4$ . Comprovació: $f (2) = - 1 + 3 = 2 = \frac{4}{2}$ , i $f^{'} (2^{-}) = 4 \cdot (- \frac{1}{4}) = - 1 = - \frac{4}{4} = f^{'} (2^{+})$ .

Resposta: $a = - \frac{1}{4}$ , $b = 4$ .

📄 Vols aquest tema en paper? Descarrega el resum del bloc en PDF.

Descarrega el PDF