Derivades: definició, taula de derivades i regla de la cadena

La derivada és l'eina central del bloc d'anàlisi de les PAU de Matemàtiques II. Mesura com de ràpid canvia una funció en cada punt i, geomètricament, és el pendent de la recta tangent. A l'examen no sol aparèixer com a pregunta aïllada («deriva això»), sinó dins de problemes més grans: recta tangent, estudi de funcions, optimització o derivabilitat d'una funció a trossos amb paràmetres. Per això has de derivar de manera automàtica i sense errors. En aquesta pàgina trobaràs la definició, la condició de derivabilitat, la taula de derivades completa (amb la versió composta de cada fórmula), les regles de derivació amb exemples i el tipus d'exercici de paràmetres que cau cada any.

Taxa de variació mitjana

Abans de la derivada hi ha una idea més senzilla: quant ha crescut, de mitjana, una funció en un interval. Si prens dos punts de la gràfica, $(x_1, f(x_1))$ i $(x_2, f(x_2))$, el pendent de la recta que els uneix és

$$\text{TVM}[x_1, x_2] = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}.$$

Aquest quocient s'anomena taxa de variació mitjana i té una interpretació física immediata: si $f(t)$ és la posició d'un mòbil, la TVM entre dos instants és la velocitat mitjana. Per exemple, per a $f(x) = x^2 + 1$ a l'interval $[1, 3]$ tenim $f(1) = 2$ i $f(3) = 10$, de manera que la TVM val $\frac{10 - 2}{3 - 1} = 4$: de mitjana, la funció puja 4 unitats per cada unitat que avança $x$.

El problema de la TVM és que només dona una mitjana. Si vols saber com creix la funció exactament en un punt (la velocitat instantània), has de fer l'interval tan petit com vulguis. Això és un límit, i és la definició de derivada.

Definició de derivada com a límit

Fixa't que el quocient de dins del límit és exactament una TVM a l'interval $[x_0, x_0 + h]$. La derivada és la taxa de variació instantània: el valor cap al qual tendeixen les taxes mitjanes quan l'interval s'encongeix. Per calcular-la per definició sempre surt una indeterminació $\frac{0}{0}$ que cal resoldre amb les tècniques de límits.

A les PAU pot sortir una pregunta del tipus «calcula $f'(1)$ aplicant la definició de derivada» per a una funció senzilla ($x^2$, $\frac{1}{x}$, $\sqrt{x}$). Practica-ho, perquè el que avaluen és que sàpigues escriure bé el límit, no el resultat.

Interpretació geomètrica: el pendent de la tangent

El quocient $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ és el pendent de la recta secant que passa pels punts $(x_0, f(x_0))$ i $(x, f(x))$. Quan $x$ s'acosta a $x_0$, els dos punts s'ajunten i la secant es converteix en la recta tangent a la gràfica en $x_0$. Per tant:

$$f'(x_0) = \text{pendent de la recta tangent a } y = f(x) \text{ en el punt } (x_0, f(x_0)).$$

Per exemple, per a $f(x) = x^3$ tenim $f'(x) = 3x^2$, de manera que la tangent en $x = 1$ té pendent $3$: la corba puja molt de pressa en aquell punt. El signe de la derivada també diu si la funció puja ($f' > 0$) o baixa ($f' < 0$), idea que és la base de tot l'estudi de funcions.

Derivades laterals i derivabilitat

Com que la derivada és un límit, també té versions laterals:

$$f'(x_0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}, \qquad f'(x_0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.$$

La funció és derivable en $x_0$ si i només si les dues derivades laterals existeixen, són finites i coincideixen. Geomètricament, la derivada lateral per l'esquerra és el pendent amb què la gràfica arriba al punt, i la de la dreta és el pendent amb què en surt. Si no coincideixen, la gràfica fa un «pic» (un punt angulós) i no hi ha una única tangent.

La implicació és clara si penses que, perquè existeixi el límit del quocient amb el denominador tendint a $0$, el numerador $f(x) - f(x_0)$ també ha de tendir a $0$, i això és exactament la continuïtat. Per veure que el recíproc falla, l'exemple canònic és el valor absolut.

En la pràctica, els punts on cal dubtar de la derivabilitat són els mateixos que a la continuïtat: els punts on canvia la definició d'una funció a trossos, els punts on hi ha un valor absolut i els punts on una arrel s'anul·la (com $\sqrt{x}$ en $x = 0$, que té tangent vertical i derivada infinita).

La funció derivada

Quan la derivada existeix en tots els punts d'un interval, obtenim una nova funció $f'(x)$ que a cada $x$ li assigna el pendent de la tangent en aquell punt. Aquesta és la funció derivada, i calcular-la és el que normalment entenem per «derivar». Per exemple, per a $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ la funció derivada és $f'(x) = 6x - 5$: en $x = 0$ el pendent és $-5$ (la corba baixa), en $x = 1$ és $1$ (puja) i en $x = \frac{5}{6}$ és $0$ (tangent horitzontal, que resulta ser el mínim de la paràbola).

Calcular la funció derivada per definició cada vegada seria insuportable. Per això existeix la taula de derivades: recull, ja resolts, els límits de les funcions elementals.

Taula de derivades

La columna «simple» és la que has de saber de memòria. La columna «composta» és la mateixa fórmula aplicada a una funció interior $u = u(x)$, i incorpora la regla de la cadena: sempre acaba multiplicant per $u'$. A l'examen gairebé tot el que derivaràs és de la segona columna.

Funció	Derivada (simple)	Composta amb $u(x)$	Derivada (composta)
$k$ (constant)	$0$	—	—
$x$	$1$	$u$	$u'$
$x^n$	$n x^{n-1}$	$u^n$	$n u^{n-1} \cdot u'$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$\dfrac{1}{u}$	$-\dfrac{u'}{u^2}$
$e^x$	$e^x$	$e^u$	$e^u \cdot u'$
$a^x$	$a^x \ln a$	$a^u$	$a^u \ln a \cdot u'$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$\ln u$	$\dfrac{u'}{u}$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$	$\log_a u$	$\dfrac{u'}{u \ln a}$
$\sin x$	$\cos x$	$\sin u$	$\cos u \cdot u'$
$\cos x$	$-\sin x$	$\cos u$	$-\sin u \cdot u'$
$\tan x$	$\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$	$\tan u$	$\dfrac{u'}{\cos^2 u}$
$\cot x$	$-\dfrac{1}{\sin^2 x}$	$\cot u$	$-\dfrac{u'}{\sin^2 u}$
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$\arcsin u$	$\dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$
$\arccos x$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$\arccos u$	$-\dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$
$\arctan x$	$\dfrac{1}{1 + x^2}$	$\arctan u$	$\dfrac{u'}{1 + u^2}$

Dos comentaris sobre la taula. Primer, l'arrel i la inversa no són fórmules noves: són la de la potència amb $n = \frac{1}{2}$ i $n = -1$, i val la pena saber-ho perquè $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ o $\frac{1}{x^4} = x^{-4}$ es deriven igual. Segon, les tres primeres files de trigonomètriques inverses apareixen menys a les PAU, però la d'$\arctan$ sí que surt, especialment a integrals, on la llegiràs al revés.

Regles de derivació

Les funcions de l'examen són combinacions de les elementals: sumes, productes, quocients i composicions. Hi ha una regla per a cada operació.

La regla de la suma diu que pots derivar terme a terme, i és la que permet derivar qualsevol polinomi. Per exemple, $f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 7x - 1$ té derivada $f'(x) = 12x^2 - 4x + 7$: cada terme baixa un grau i el coeficient es multiplica per l'exponent antic, i la constant desapareix.

La regla de la cadena

És la regla que més s'utilitza i la que més errors genera. Serveix per derivar una funció «dins» d'una altra: $F(x) = f(g(x))$. La recepta és derivar la funció exterior deixant l'interior intacte, i multiplicar per la derivada de l'interior. Si hi ha més de dues capes, es va pelant de fora cap a dins i es multipliquen totes les derivades.

Quan la funció combina diverses regles, identifica primer l'operació més exterior. A $x \cdot \sin(2x)$ l'exterior és un producte; a $\sin(x \cdot 2x)$ és una composició; a $\frac{\sin x}{x}$ és un quocient. Aquesta primera decisió determina quina regla s'aplica al principi, i les altres s'utilitzen a dins.

Derivació logarítmica

Hi ha un tipus de funció que no encaixa a cap fila de la taula: una funció elevada a una altra funció, $f(x) = g(x)^{h(x)}$, com $x^x$ o $(x^2 + 1)^{\sin x}$. No és una potència (l'exponent no és constant) ni una exponencial (la base no és constant). El truc és prendre logaritmes abans de derivar:

$$\ln f = h \ln g \quad \Longrightarrow \quad \frac{f'}{f} = h' \ln g + h \cdot \frac{g'}{g} \quad \Longrightarrow \quad f' = g^{h} \left( h' \ln g + \frac{h g'}{g} \right).$$

No cal memoritzar la fórmula final: recorda el mètode (logaritme, derivar els dos costats, aïllar $f'$) i aplica'l cada vegada.

Derivades successives

La derivada d'una funció derivable és una altra funció, que pot tornar-se a derivar. Així s'obtenen la segona derivada $f''$, la tercera $f'''$ i, en general, la derivada $n$-èsima $f^{(n)}$. La segona derivada és la que més necessitaràs: diu si la gràfica és còncava o convexa i serveix per classificar màxims i mínims. Per exemple, si $f(x) = x^4 - 3x^2$ aleshores $f'(x) = 4x^3 - 6x$ i $f''(x) = 12x^2 - 6$.

A vegades es demana una fórmula general. Per a $f(x) = e^{2x}$, cada derivada treu un factor $2$: $f' = 2e^{2x}$, $f'' = 4e^{2x}$, $f''' = 8e^{2x}$, i en general $f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x}$. Per a $\sin x$ les derivades són cícliques ($\cos x$, $-\sin x$, $-\cos x$, $\sin x$) i es repeteixen cada quatre.

Derivabilitat de funcions a trossos amb paràmetres

Aquest és l'exercici tipus d'aquesta pàgina a les PAU. Et donen una funció definida a trossos amb paràmetres i et demanen els valors que la fan derivable. El mètode té dos passos, en aquest ordre:

1. Continuïtat al punt de canvi: iguala els límits laterals (com a límits i continuïtat). Sense continuïtat no hi ha derivabilitat, així que aquesta equació és obligatòria.
2. Derivabilitat: deriva cada tros per separat, avalua les dues expressions al punt de canvi i iguala-les.

Cada pas dona una equació; amb dos paràmetres, tens un sistema $2 \times 2$.

Com redactar la resposta a l'examen

En un càlcul de derivada, escriu quina regla apliques i, si fas servir la cadena, deixa visible la derivada de l'interior abans de simplificar: així el corrector pot donar punts parcials si t'equivoques en un pas aritmètic. Simplifica el resultat fins que sigui útil per al que ve després (factor comú si hauràs de resoldre $f' = 0$, numerador ordenat si és un quocient), però sense obsessionar-te. En un problema de derivabilitat, separa clarament l'apartat de continuïtat i el de derivabilitat, escriu les dues derivades laterals i acaba amb una frase de conclusió: «$f$ és derivable a $\mathbb{R}$ si i només si $a = \ldots$ i $b = \ldots$».

Amb la derivada dominada, el pas següent són les aplicacions de les derivades: tangent, monotonia, extrems, L'Hôpital i optimització. I l'operació inversa, trobar una funció a partir de la seva derivada, és el tema d'integrals.

Exercicis proposats

Exercici 1. Calcula la derivada de les funcions següents i simplifica el resultat.

$$\text{a)}\ f(x) = x^3 \ln x, \qquad \text{b)}\ g(x) = \frac{e^{2x}}{x^2 + 1}, \qquad \text{c)}\ h(x) = \cos^3(2x), \qquad \text{d)}\ k(x) = \arctan\sqrt{x}.$$

Solució de l'exercici 1

a) Producte: $f'(x) = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \dfrac{1}{x} = 3x^2 \ln x + x^2 = x^2 (3 \ln x + 1)$.

b) Quocient amb cadena al numerador: $g'(x) = \dfrac{2e^{2x}(x^2 + 1) - e^{2x} \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{2e^{2x}(x^2 - x + 1)}{(x^2 + 1)^2}$.

c) Tres capes: potència, cosinus i $2x$. $h'(x) = 3\cos^2(2x) \cdot (-\sin(2x)) \cdot 2 = -6 \cos^2(2x) \sin(2x)$.

d) Arctangent amb arrel a dins: $k'(x) = \dfrac{1}{1 + x} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}\,(1 + x)}$.

Exercici 2. Calcula, aplicant la definició de derivada, $f'(4)$ per a $f(x) = \sqrt{x}$.

Solució de l'exercici 2

$$f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4 + h} - 2}{h}.$$

És una indeterminació $\frac{0}{0}$; multipliquem pel conjugat $\sqrt{4 + h} + 2$:

$$\lim_{h \to 0} \frac{(4 + h) - 4}{h \left(\sqrt{4 + h} + 2\right)} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{4 + h} + 2} = \frac{1}{4}.$$

Coincideix amb la taula: $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ i $f'(4) = \dfrac{1}{4}$.

Exercici 3. Determina $a$ i $b$ perquè la funció següent sigui derivable a tot $\mathbb{R}$.

$$f(x) = \begin{cases} a x^2 + 3 & \text{si } x \le 2 \\ \dfrac{b}{x} & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

Solució de l'exercici 3

Els trossos són derivables als seus intervals (el segon perquè $x \neq 0$). Estudiem $x = 2$.

Continuïtat: $4a + 3 = \dfrac{b}{2}$, és a dir $b = 8a + 6$.

Derivabilitat: les derivades són $2ax$ i $-\dfrac{b}{x^2}$; en $x = 2$, $4a = -\dfrac{b}{4}$, és a dir $b = -16a$.

Igualant, $8a + 6 = -16a$, d'on $a = -\dfrac{1}{4}$ i $b = 4$. Comprovació: $f(2) = -1 + 3 = 2 = \dfrac{4}{2}$, i $f'(2^-) = 4 \cdot \left(-\tfrac{1}{4}\right) = -1 = -\dfrac{4}{4} = f'(2^+)$.

Resposta: $a = -\dfrac{1}{4}$, $b = 4$.