Intervals de confiança: mitjana, proporció, marge d'error i mida mostral

Un interval de confiança respon a una pregunta que apareix cada any a la selectivitat: si només hem observat una mostra, entre quins valors podem afirmar que es troba la mitjana o la proporció de tota la població? A la distribució binomial i a la distribució normal coneixíem el model i calculàvem probabilitats; ara fem el camí invers, la inferència estadística. En aquesta pàgina tens la distribució de la mitjana i de la proporció mostrals, les dues fórmules d'interval que entren a les PAU, el càlcul de la mida mostral i com s'ha d'interpretar i redactar el resultat perquè no et treguin punts.

Població, mostra, paràmetre i estadístic

Per saber quantes hores dorm de mitjana l'alumnat de Catalunya no podem preguntar-ho a tothom: estudiem una part i n'extraiem conclusions. Aquest és el vocabulari que has de dominar:

Perquè la mostra representi la població cal un mostreig aleatori simple: tots els individus tenen la mateixa probabilitat de ser escollits i cada elecció és independent de les altres. Sense aquesta condició cap fórmula d'aquesta pàgina és vàlida; a les PAU es dona per suposada.

Estadística descriptiva mínima

Els estadístics que resumeixen una mostra $x_1, x_2, \ldots, x_n$ són:

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}, \qquad \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2, \qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2} .$$

La variància és la mitjana dels quadrats de les desviacions respecte de $\bar{x}$, i la desviació típica és la seva arrel, que torna a tenir les unitats de les dades. Alguns llibres usen la variància mostral corregida $s^2$, que divideix per $n-1$; a les PAU l'enunciat gairebé sempre dona la desviació típica poblacional $\sigma$, i és la que has de fer servir.

Si la variable és qualitativa («té o no té la característica»), l'estadístic és la proporció mostral: si $x$ dels $n$ individus la tenen,

$$\hat{p} = \frac{x}{n} .$$

Distribució de la mitjana mostral

Aquesta és la idea que fa funcionar tota la inferència. Si traguéssim moltes mostres de mida $n$, cada una donaria una mitjana $\bar{x}$ diferent: les mitjanes mostrals són els valors d'una variable aleatòria, i el teorema central del límit en descriu la distribució:

La mitjana de les mitjanes és la mateixa $\mu$ de la població, però la seva desviació típica, anomenada error estàndard, és $\sigma/\sqrt{n}$, més petita que $\sigma$: la mitjana de 100 individus varia molt menys d'una mostra a l'altra que un sol individu, i com més gran és $n$, més concentrades estan les mitjanes al voltant de $\mu$.

Distribució de la proporció mostral

Si en una població la proporció d'individus amb una característica és $p$ i traiem mostres de mida $n$, el nombre d'individus amb la característica és una binomial $B(n, p)$, i la proporció mostral és aquest nombre dividit per $n$. Aproximant la binomial per una normal, com a la pàgina de la distribució normal, s'obté:

$$\hat{P} \sim N\!\left(p,\ \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right), \qquad \text{si } np \geq 5 \text{ i } n(1-p) \geq 5 .$$

Per exemple, si el 30 % de la població fa servir el transport públic i s'entrevisten 100 persones, la proporció mostral té desviació típica $\sqrt{0.3 \cdot 0.7/100} = 0.0458$, i la probabilitat que en la mostra surti menys d'un 25 % és $P(\hat{P} < 0.25) = \Phi(-1.09) = 1 - 0.8621 = 0.1379$.

Probabilitat i estadística: dos problemes diferents

Els dos exemples anteriors són encara problemes de probabilitat: coneixem el model ($\mu = 170$, $p = 0.3$) i calculem la probabilitat d'un resultat mostral. La inferència és el problema invers: tenim la mostra i el paràmetre és desconegut.

	Problema de probabilitat	Problema d'inferència
Què sabem	El model: $\mu$, $\sigma$, $p$ o la distribució	Només les dades d'una mostra
Què busquem	La probabilitat d'un resultat	El valor d'un paràmetre desconegut
Exemple	$X \sim B(10, 0.2)$; calcula $P(X \geq 3)$	De 400 persones, 148 van en bici; estima $p$
Resposta	Un nombre entre 0 i 1	Una estimació o un interval

Estimació puntual i estimació per interval

La manera més simple d'estimar un paràmetre és una estimació puntual: usar l'estadístic com a valor aproximat ($\mu$ amb $\bar{x}$, $p$ amb $\hat{p}$). Si en una mostra de 400 persones 148 van en bici, l'estimació puntual de $p$ és $\hat{p} = 0.37$.

Però una altra mostra hauria donat un altre valor, i un sol nombre no diu com de fiable és. L'estimació per interval hi afegeix un marge: en lloc de «$p$ val 0,37», diem «$p$ és entre 0,32 i 0,42 amb una confiança del 95 %». Tot interval de confiança té la mateixa estructura:

$$\text{IC} = \big(\text{estimador} - E,\ \text{estimador} + E\big), \qquad \text{on } E \text{ és el marge d'error.}$$

Interval de confiança per a la mitjana amb σ coneguda

Com que $\bar{X} \sim N(\mu, \sigma/\sqrt{n})$, el 95 % de les mitjanes mostrals cauen a menys d'$1.96$ errors estàndard de $\mu$. Girant la frase, $\mu$ és a menys d'$1.96 \cdot \sigma/\sqrt{n}$ de la $\bar{x}$ observada en el 95 % de les mostres. D'aquí surt la fórmula:

Els valors crítics que surten a l'examen són els dels intervals centrals de la distribució normal:

Nivell de confiança $1-\alpha$	$\alpha$	$\alpha/2$	$z_{\alpha/2}$
90 %	0,10	0,05	1,645
95 %	0,05	0,025	1,96
99 %	0,01	0,005	2,576

Si l'enunciat demana un nivell diferent, per exemple el 98 %, busques a la taula el $z$ amb $\Phi(z) = 0.99$, que és $2.33$.

Interval de confiança per a la proporció

El raonament és idèntic amb $\hat{P} \sim N\big(p, \sqrt{p(1-p)/n}\big)$; com que $p$ és desconeguda, dins l'arrel se substitueix per $\hat{p}$:

Marge d'error i amplada de l'interval

El marge d'error $E$ és la meitat de l'amplada de l'interval, la distància del centre a cada extrem:

$$E_{\mu} = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \qquad E_{p} = z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \qquad \text{amplada} = 2E .$$

Si l'enunciat dona l'interval ja construït, el centre és l'estimació puntual ($\bar{x}$ o $\hat{p}$) i la semiamplada és $E$; a partir d'$E$ s'aïlla el que falti ($n$, $\sigma$ o el valor crític, i d'aquest el nivell de confiança). És un problema invers que surt sovint (exercici 3).

Tres factors controlen l'amplada:

• Nivell de confiança: més confiança vol dir un $z_{\alpha/2}$ més gran i un interval més ample. Amb les dades de les peces, l'amplada és $3.29$ al 90 %, $3.92$ al 95 % i $5.15$ al 99 %.
• Mida de la mostra: $n$ és al denominador dins d'una arrel; per reduir el marge a la meitat cal quadruplicar la mostra.
• Dispersió: com més gran és $\sigma$ (o més a prop de $0.5$ és $\hat{p}$), més ample és l'interval.

Mida mostral necessària

«Quants individus cal enquestar perquè el marge d'error no superi $E$?» es respon aïllant $n$ de la fórmula del marge d'error.

El resultat gairebé mai és enter, i s'arrodoneix sempre cap amunt: amb $61.5$ individus no arribes al marge demanat, amb $62$ sí.

Com interpretar un interval de confiança

Aquest punt es valora a la correcció. La interpretació correcta és:

Amb un nivell de confiança del 95 %, estimem que la mitjana (o la proporció) de la població es troba entre $a$ i $b$.

El «95 %» descriu el mètode, no aquest interval concret: si repetíssim el mostreig moltes vegades, el 95 % dels intervals construïts contindria el paràmetre real. El paràmetre $\mu$ és un nombre fix; l'aleatori és l'interval, perquè depèn de la mostra. Per això no és rigorós escriure «hi ha un 95 % de probabilitat que $\mu$ sigui a l'interval»: un cop calculat, $\mu$ hi és o no hi és. A les PAU, parla sempre de confiança i evita probabilitat en la conclusió.

Els dos casos típics de les PAU

Cas «mostra i percentatge». «S'ha enquestat $n$ persones i $x$ compleixen una característica.» Calcula $\hat{p} = x/n$, comprova $n\hat{p} \geq 5$ i $n(1-\hat{p}) \geq 5$ i aplica $\hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$. Sovint un segon apartat demana la mida mostral per a un marge donat.

Cas «mitjana d'una mostra». L'enunciat dona $\sigma$, la mida de la mostra i $\bar{x}$ (o les dades per calcular-la), i s'aplica $\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt{n}$. Si et donen l'interval en lloc de $\bar{x}$, el centre és $\bar{x}$ i la semiamplada és $E$.

Com redactar la resposta a l'examen

Sigui $p$ la proporció de la població que ... (o $\mu$ la mitjana de ...). En la mostra de $n = \ldots$ individus, la proporció mostral és $\hat{p} = x/n = \ldots$ (o la mitjana mostral és $\bar{x} = \ldots$). Per a un nivell de confiança del ... %, el valor crític és $z_{\alpha/2} = \ldots$. El marge d'error és $E = z_{\alpha/2}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n} = \ldots$ (o $E = z_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt{n} = \ldots$), i l'interval de confiança és $(\hat{p} - E,\ \hat{p} + E) = (\ldots,\ \ldots)$. Per tant, amb una confiança del ... %, estimem que la proporció poblacional es troba entre ... i ...

Per a una mida mostral, acaba amb: «Com que $n \geq \ldots$, cal una mostra de com a mínim ... individus (arrodonint cap amunt)».

Exercicis proposats

Exercici 1. El pes dels paquets d'arròs d'una marca segueix una distribució normal amb desviació típica 15 g. Es pesen 100 paquets i s'obté una mitjana de 502 g. a) Construeix un interval de confiança del 95 % per al pes mitjà dels paquets. b) Quants paquets caldria pesar perquè el marge d'error al 95 % no superés els 2 g? c) I perquè no superés els 2 g amb una confiança del 99 %?

Solució de l'exercici 1

a) $\bar{x} = 502$, $\sigma = 15$, $n = 100$, $z_{\alpha/2} = 1.96$. Marge d'error: $E = 1.96 \cdot 15/\sqrt{100} = 1.96 \cdot 1.5 = 2.94$ g. Interval: $(502 - 2.94,\ 502 + 2.94) = (499.06,\ 504.94)$. Amb una confiança del 95 %, estimem que el pes mitjà dels paquets és entre 499,06 i 504,94 g.

b) $n \geq (1.96 \cdot 15/2)^2 = 14.7^2 = 216.09$, així que calen $217$ paquets.

c) $n \geq (2.576 \cdot 15/2)^2 = 19.32^2 = 373.26$, així que calen $374$ paquets. Més confiança amb el mateix marge exigeix una mostra més gran.

Exercici 2. En una enquesta feta a 250 alumnes d'un institut, 95 diuen que practiquen esport com a mínim tres cops per setmana. a) Dona l'estimació puntual de la proporció d'alumnes que fan esport tres cops per setmana i un interval de confiança del 90 % per a aquesta proporció. b) Si es volgués un marge d'error del 4 % amb el mateix nivell de confiança, quants alumnes caldria enquestar?

Solució de l'exercici 2

a) $\hat{p} = 95/250 = 0.38$ (un 38 %). Es compleix $n\hat{p} = 95 \geq 5$ i $n(1-\hat{p}) = 155 \geq 5$. Al 90 %, $z_{\alpha/2} = 1.645$. Error estàndard: $\sqrt{0.38 \cdot 0.62/250} = \sqrt{0.000942} = 0.0307$. Marge d'error: $E = 1.645 \cdot 0.0307 = 0.0505$. Interval: $(0.38 - 0.0505,\ 0.38 + 0.0505) = (0.3295,\ 0.4305)$. Amb una confiança del 90 %, estimem que entre el 33 % i el 43 % de l'alumnat fa esport tres cops per setmana.

b) Amb $E = 0.04$ i l'estimació prèvia $\hat{p} = 0.38$:

$$n \geq \frac{1.645^2 \cdot 0.38 \cdot 0.62}{0.04^2} = \frac{2.706 \cdot 0.2356}{0.0016} = 398.46 \ \Rightarrow\ n = 399 \text{ alumnes}.$$

(Si no s'aprofités l'estimació prèvia, amb $\hat{p} = 0.5$ sortiria $n \geq 422.82$, és a dir, $423$ alumnes.)

Exercici 3. Se sap que la puntuació d'un test d'atenció segueix una normal amb desviació típica 10 punts. A partir d'una mostra s'ha obtingut l'interval de confiança del 95 % per a la puntuació mitjana $(48.04,\ 51.96)$. a) Quina és la mitjana de la mostra i quina és la mida de la mostra? b) Amb la mateixa mostra s'ha construït l'interval $(47.42,\ 52.58)$. Quin nivell de confiança s'ha fet servir?

Solució de l'exercici 3

a) La mitjana mostral és el centre de l'interval: $\bar{x} = (48.04 + 51.96)/2 = 50$. El marge d'error és la semiamplada: $E = (51.96 - 48.04)/2 = 1.96$. Com que $E = z_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt{n}$ amb $z_{\alpha/2} = 1.96$ i $\sigma = 10$, tenim $1.96 = 1.96 \cdot 10/\sqrt{n}$, d'on $\sqrt{n} = 10$ i $n = 100$.

b) Ara $E = (52.58 - 47.42)/2 = 2.58$, i amb $\sigma/\sqrt{n} = 10/10 = 1$ resulta $z_{\alpha/2} = 2.58 \approx 2.576$. Aquest és el valor crític del 99 %: $2\,\Phi(2.58) - 1 = 0.99$. El nivell de confiança és del 99 %, i per això l'interval és més ample que el de l'apartat a).