Determinants: Sarrus, propietats, Laplace, matriu inversa i rang

⏱ 12 min de lectura🔄 Actualitzat el 7 de setembre del 2026Selectivitat

El determinant és un nombre associat a cada matriu quadrada que respon, tot sol, a les preguntes importants del bloc d'àlgebra: si una matriu té inversa, quin rang té i si un sistema té solució única. Als exàmens de determinants de selectivitat rarament et demanen «calcula aquest determinant» i prou; el que surt és «per a quins valors de $k$ la matriu té inversa», «troba el rang segons el paràmetre» o «calcula $A^{- 1}$ ». En aquesta pàgina veuràs com calcular-los (regla de Sarrus i desenvolupament de Laplace), les propietats que estalvien càlculs, la inversa $3 \times 3$ amb la matriu adjunta i el rang, que és el pont cap als sistemes d'equacions.

Determinants d'ordre 1, 2 i 3

El determinant només existeix per a matrius quadrades i s'escriu amb barres verticals, $∣ A ∣$ o $det (A)$ . Els tres primers ordres es calculen amb fórmules directes.

Determinants d'ordre 1, 2 i 3

Ordre 1: $∣ a ∣ = a$ . (No és el valor absolut: $∣ - 5∣ = - 5$ com a determinant.)
Ordre 2: producte de la diagonal principal menys producte de la diagonal secundària,

a c b d = a d - b c .

Ordre 3 (regla de Sarrus):

a d g b e h c f i = a e i + b f g + c d h - ce g - a f h - b d i .

Per exemple, $35 - 2 4 = 3 \cdot 4 - (- 2) \cdot 5 = 12 + 10 = 22$ .

La regla de Sarrus s'entén amb un esquema: copia les dues primeres files sota la matriu. Les tres diagonals que baixen cap a la dreta donen els termes positius i les tres que pugen donen els termes negatius.

Esquema de la regla de Sarrus: matriu 3 per 3 amb les dues primeres files repetides a sota; a l'esquerra, tres diagonals descendents en blau donen els termes positius aei, bfg i cdh; a la dreta, tres diagonals ascendents en vermell donen els termes negatius ceg, afh i bdi — Regla de Sarrus: diagonals descendents (positives) i ascendents (negatives).

Un determinant d'ordre 3 amb Sarrus

Calcula el determinant de $A = 201 1 - 1 2 341$ .

Termes positius: $2 \cdot (- 1) \cdot 1 = - 2$ , $1 \cdot 4 \cdot 1 = 4$ , $3 \cdot 0 \cdot 2 = 0$ . Termes negatius: $3 \cdot (- 1) \cdot 1 = - 3$ , $2 \cdot 4 \cdot 2 = 16$ , $1 \cdot 0 \cdot 1 = 0$ .

∣ A ∣ = (- 2 + 4 + 0) - (- 3 + 16 + 0) = 2 - 13 = - 11.

Escriu els sis productes per separat abans de sumar: així no perds cap signe.

Sarrus només serveix per a l'ordre 3

La regla de Sarrus no funciona per a matrius $4 \times 4$ ni més grans: per a ordres superiors cal el desenvolupament de Laplace o fer zeros amb les propietats. A les PAU no surten determinants d'ordre 4, però sí que es veu sovint Sarrus amb el signe dels termes negatius canviat.

Propietats dels determinants

Les propietats permeten calcular determinants sense fer tots els productes i són la base del rang i dels determinants amb paràmetre. Totes valen igual per a files que per a columnes.

Les propietats dels determinants

Si una fila (o columna) és tota de zeros, $∣ A ∣ = 0$ .
Si dues files són iguals, $∣ A ∣ = 0$ .
Si dues files són proporcionals, $∣ A ∣ = 0$ .
Si una fila és combinació lineal de les altres, $∣ A ∣ = 0$ .
Si s'intercanvien dues files, el determinant canvia de signe.
$∣ A^{t} ∣ = ∣ A ∣$ : transposar no canvia el determinant.
Si es multiplica una fila per un nombre $k$ , el determinant queda multiplicat per $k$ .
Si $A$ és triangular (o diagonal), $∣ A ∣$ és el producte dels elements de la diagonal.
$∣ A B ∣ = ∣ A ∣ \cdot ∣ B ∣$ .
Si $A$ és d'ordre $n$ , $∣ k A ∣ = k^{n} ∣ A ∣$ .
Si $A$ és invertible, $∣ A^{- 1} ∣ = \frac{1}{∣ A ∣}$ .

I la propietat que més feina estalvia: si a una fila li sumes un múltiple d'una altra, $F_{i} \to F_{i} + k F_{j}$ , el determinant no canvia.

Les propietats 1 a 4 diuen el mateix des de punts de vista diferents: el determinant és zero exactament quan les files són linealment dependents. La 10 és la que més enganya: multiplicar tota la matriu per $k$ és multiplicar cada fila per $k$ , i per la propietat 7 el determinant queda multiplicat per $k$ tantes vegades com files hi ha. La 11 surt de la 9: de $A A^{- 1} = I$ es dedueix $∣ A ∣ \cdot ∣ A^{- 1} ∣ = 1$ .

Les propietats en acció

Amb la matriu $A$ de l'exemple anterior, $∣ A ∣ = - 11$ . Sense tornar a calcular res:

$∣ A^{t} ∣ = - 11$ (propietat 6).
$∣3 A ∣ = 3^{3} \cdot (- 11) = - 297$ , i no $- 33$ (propietat 10).
$∣ A^{- 1} ∣ = - \frac{1}{11}$ (propietat 11).
Si intercanviem les dues primeres files, el determinant val $11$ (propietat 5).

Per a la matriu triangular $T = 200 5 - 3 0 - 1 47$ , la propietat 8 dona directament $∣ T ∣ = 2 \cdot (- 3) \cdot 7 = - 42$ . I si $∣ P ∣ = 5$ i $∣ Q ∣ = 3$ , la propietat 9 dona $∣ P Q ∣ = 15$ sense calcular el producte.

Fer zeros abans de calcular

Calcula $∣ C ∣ = 1232573711$ .

Fem $F_{2} \to F_{2} - 2 F_{1}$ i $F_{3} \to F_{3} - 3 F_{1}$ ; el determinant no canvia:

∣ C ∣ = 100211312 .

Ara la primera columna només té un element no nul i el determinant es redueix a $1 \cdot 1112 = 1$ (és el desenvolupament de Laplace que ve tot seguit).

Atenció PAU

Les preguntes de propietats són curtes i valen punts fàcils: «sabent que $∣ A ∣ = 5$ , calcula $∣2 A ∣$ , $∣ A^{- 1} ∣$ o $∣ A^{t} A ∣$ ». Justifica cada resposta amb la propietat: $∣ A^{t} A ∣ = ∣ A^{t} ∣ \cdot ∣ A ∣ = ∣ A ∣^{2} = 25$ .

Menors, adjunts i desenvolupament de Laplace

Menor complementari i adjunt

Sigui $A$ una matriu quadrada. El menor complementari $M_{ij}$ de l'element $a_{ij}$ és el determinant de la matriu que queda en suprimir la fila $i$ i la columna $j$ . L'adjunt de $a_{ij}$ és el menor amb el signe que li toca segons la posició:

A_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij} .

No cal calcular cada potència $(- 1)^{i + j}$ : els signes segueixen un patró d'escacs que comença sempre amb $+$ a la cantonada superior esquerra,

+ - + - + - + - + .

Per a la matriu $A$ de Sarrus, el menor de l'element $a_{12} = 1$ s'obté tapant la primera fila i la segona columna: $M_{12} = 0141 = - 4$ , i l'adjunt és $A_{12} = - M_{12} = 4$ , perquè la posició $(1, 2)$ té signe negatiu.

Desenvolupament de Laplace

El determinant és la suma dels elements d'una fila qualsevol multiplicats pels seus adjunts:

∣ A ∣ = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + a_{i 3} A_{i 3},

i el mateix val per a qualsevol columna. El resultat no depèn de la fila o columna triada.

Els elements que valen zero no cal ni mirar-los. Per això la regla d'or és desenvolupar per la fila o columna amb més zeros, i si no n'hi ha cap, fabricar-los primer amb $F_{i} \to F_{i} + k F_{j}$ .

Laplace per la columna amb més zeros

Calcula $∣ B ∣ = 31 - 2 040205$ .

La segona columna té dos zeros, així que desenvolupem per ella. Només queda el terme de l'element $a_{22} = 4$ , que ocupa una posició amb signe $+$ :

∣ B ∣ = 4 \cdot (+ 1) \cdot 3 - 2 25 = 4 \cdot (15 + 4) = 76.

Per la primera fila obtindries $3 \cdot 20 - 0 + 2 \cdot 8 = 76$ : el mateix, amb el doble de feina.

Determinants amb paràmetre

El determinant amb paràmetre és la peça central de gairebé tot problema d'àlgebra de les PAU. Calcula $∣ A (k) ∣$ amb Sarrus (o fent zeros), obtindràs un polinomi en $k$ , i resol $∣ A (k) ∣ = 0$ . Les arrels són els valors crítics: per a la resta de valors la matriu és regular; per a cada valor crític cal estudiar què passa.

Resoldre |A(k)| = 0 amb Ruffini

Per a quins valors de $k$ la matriu $A (k) = 1 k 1 k 11 1 k k$ no té inversa?

Per Sarrus,

∣ A (k) ∣ = k + k^{2} + k - 1 - k - k^{3} = - k^{3} + k^{2} + k - 1.

La matriu no té inversa quan $∣ A (k) ∣ = 0$ , és a dir, quan $k^{3} - k^{2} - k + 1 = 0$ (canviem el signe per comoditat). Provem els divisors del terme independent: $k = 1$ dona $1 - 1 - 1 + 1 = 0$ , així que és arrel. Amb Ruffini,

111 - 1 10 - 1 0 - 1 1 - 1 0

i el quocient és $k^{2} - 1 = (k - 1) (k + 1)$ . Per tant $k^{3} - k^{2} - k + 1 = (k - 1)^{2} (k + 1)$ i els valors crítics són $k = 1$ (arrel doble) i $k = - 1$ .

Conclusió: $A (k)$ té inversa per a tot $k \neq = 1$ i $k \neq = - 1$ .

Perdre arrels

Si el polinomi és, per exemple, $k^{3} - 4 k$ , no simplifiquis dividint per $k$ : escriu $k (k - 2) (k + 2)$ i queda't amb les tres arrels, $0$ , $2$ i $- 2$ . Perdre $k = 0$ és molt freqüent i implica deixar-se tot un cas de la discussió. Factoritza fins al final.

Matriu inversa 3×3 amb la matriu adjunta

A la pàgina de matrius ja has vist què és la inversa, la fórmula per a l'ordre 2 i el mètode de Gauss-Jordan. Ara pots afegir-hi el criteri definitiu i el mètode dels adjunts:

Existència i càlcul de la inversa

Una matriu quadrada $A$ té inversa si i només si $∣ A ∣ \neq = 0$ . En aquest cas,

A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} (Adj (A))^{t},

on $Adj (A)$ és la matriu formada pels adjunts $A_{ij}$ de cada element.

Un avís sobre el nom: alguns llibres anomenen matriu adjunta la matriu d'adjunts, i altres, la seva transposada, de manera que la fórmula canvia d'aspecte segons el conveni. Per no equivocar-te, oblida el nom i segueix sempre els cinc passos:

Calcula el determinant $∣ A ∣$ i comprova que no és zero.
Calcula els nou menors $M_{ij}$ .
Posa els signes del patró d'escacs per obtenir els adjunts $A_{ij}$ .
Transposa la matriu d'adjunts.
Divideix per $∣ A ∣$ .

Inversa d'una matriu 3×3 pas a pas

Calcula la inversa de $A = 101211111$ .

Pas 1. $∣ A ∣ = 1 + 2 + 0 - 1 - 1 - 0 = 1 \neq = 0$ , així que la inversa existeix.

Pas 2 i 3. Calculem els menors i hi apliquem els signes. Per a la primera fila: $M_{11} = 1111 = 0$ , $M_{12} = 0111 = - 1$ , $M_{13} = 0111 = - 1$ , de manera que $A_{11} = 0$ , $A_{12} = 1$ , $A_{13} = - 1$ . Fent el mateix amb les altres dues files:

Adj (A) = 0 - 1 1 10 - 1 - 1 11 .

Pas 4 i 5. Transposem i dividim per $∣ A ∣ = 1$ :

A^{- 1} = \frac{1}{1} 01 - 1 - 1 01 1 - 1 1 .

Comprovació: la primera fila de $A$ per la primera columna de $A^{- 1}$ dona $0 + 2 - 1 = 1$ , i per la segona columna $- 1 + 0 + 1 = 0$ . Fent tots els productes s'obté $A A^{- 1} = I$ .

No t'oblidis de transposar

Oblidar la transposició és l'error més habitual d'aquest mètode i no es nota si no comproves el resultat, perquè la matriu que surt s'assembla molt a la bona. Per això multiplicar $A A^{- 1}$ al final no és opcional. Un truc: si calcules els adjunts de $A^{t}$ en lloc dels de $A$ , ja no cal transposar.

Rang d'una matriu

El rang fa de pont entre determinants i sistemes. Intuïtivament, és el nombre de files (o columnes) realment independents d'una matriu, les que no es poden deduir de les altres. A diferència del determinant, el rang existeix per a qualsevol matriu, quadrada o no.

Rang d'una matriu

El rang de $A$ , escrit $rang (A)$ , és l'ordre més gran d'un menor no nul que es pot extreure de $A$ . Un menor d'ordre $r$ és el determinant d'una submatriu $r \times r$ obtinguda en triar $r$ files i $r$ columnes.

Dues conseqüències útils: el rang no pot superar ni el nombre de files ni el de columnes (una matriu $3 \times 4$ té rang $3$ com a molt), i una matriu $3 \times 3$ té $rang (A) = 3$ si i només si $∣ A ∣ \neq = 0$ , la mateixa condició de tenir inversa.

Càlcul del rang per menors

Es va de menys a més: un element no nul dona rang almenys 1; un menor d'ordre 2 no nul, almenys 2; un menor d'ordre 3 no nul, rang 3. En una matriu $3 \times 3$ convé començar pel determinant: si no és zero, ja has acabat.

Rang d'una matriu 3×3 amb determinant nul

Troba el rang de $S = 121240361$ .

La segona fila és el doble de la primera, així que $∣ S ∣ = 0$ (propietat 3) i el rang és menor que 3. Busquem un menor d'ordre 2 no nul. El de la cantonada superior esquerra val $1224 = 0$ , però això no vol dir que el rang sigui 1: amb la primera i la tercera fila, $1120 = - 2 \neq = 0$ . Per tant $rang (S) = 2$ .

Càlcul del rang per Gauss

Les operacions elementals per files (intercanviar, multiplicar per un nombre no nul, sumar un múltiple d'una altra) no canvien el rang. Esglaona la matriu: el rang és el nombre de files no nul·les que queden. És el mètode més ràpid per a matrius no quadrades.

Rang d'una matriu 3×4 per Gauss

Calcula el rang de $R = 123246 - 1 10 303$ .

Amb $F_{2} \to F_{2} - 2 F_{1}$ i $F_{3} \to F_{3} - 3 F_{1}$ :

R ⟶ 100200 - 1 33 3 - 6 - 6 ⟶ 100200 - 1 30 3 - 6 0,

on l'últim pas és $F_{3} \to F_{3} - F_{2}$ . Queden dues files no nul·les: $rang (R) = 2$ . Per menors arribaries al mateix lloc, però hauries de comprovar que els quatre menors d'ordre 3 s'anul·len.

Rang amb paràmetre

Aquí es combina tot: determinant en funció del paràmetre, valors crítics i, per a cadascun, estudi de la matriu numèrica que queda.

Rang segons el valor de k

Determina el rang de $A (k) = 1 k 1 k 11 1 k k$ segons el valor de $k$ .

Ja sabem que $∣ A (k) ∣ = - (k - 1)^{2} (k + 1)$ , amb valors crítics $k = 1$ i $k = - 1$ .

Cas $k \neq = 1$ , $k \neq = - 1$ . El determinant no és zero: $rang (A) = 3$ .

Cas $k = 1$ . La matriu es converteix en $111111111$ : totes les files són iguals, tots els menors d'ordre 2 s'anul·len i $rang (A) = 1$ .

Cas $k = - 1$ . La matriu és $1 - 1 1 - 1 11 1 - 1 - 1$ . El menor de la cantonada, $1 - 1 - 1 1 = 0$ , no serveix, però amb la primera i la tercera fila, $11 - 1 1 = 2 \neq = 0$ . Per tant $rang (A) = 2$ .

Valor de $k$	$rang (A)$
$k \neq = 1, k \neq = - 1$	3
$k = 1$	1
$k = - 1$	2

Un menor nul no tanca el cas

Quan el determinant s'anul·la per a un valor del paràmetre, només saps que el rang és menor que 3. Un menor d'ordre 2 que val zero no demostra que el rang sigui 1: cal trobar-ne un que no sigui zero (rang 2) o comprovar que tots són zero (rang 1). I si la matriu és la de coeficients d'un sistema, encara falta comparar-ne el rang amb el de l'ampliada, com explica el teorema de Rouché-Frobenius.

El rang també apareix a geometria: tres vectors de l'espai són linealment independents si i només si la matriu de les seves coordenades té rang 3, és a dir, determinant no nul; si val zero, són coplanaris.

Errors habituals

Els errors que més punts costen

Canviar els signes de Sarrus: els termes de les diagonals ascendents es resten.
Fer $∣ k A ∣ = k ∣ A ∣$ : en una matriu $3 \times 3$ , $∣ k A ∣ = k^{3} ∣ A ∣$ .
Oblidar el patró de signes dels adjunts, tant a Laplace com a la inversa.
No transposar la matriu d'adjunts, o dividir per un determinant que és zero.
Dividir el polinomi del determinant pel paràmetre i perdre un valor crític.
Concloure rang 1 perquè un sol menor d'ordre 2 s'anul·la.

Com redactar la resposta a l'examen

El corrector vol veure el determinant calculat de manera visible, l'equació $∣ A ∣ = 0$ resolta amb totes les arrels i una conclusió per a cada cas. Redacció model per a «per a quins valors de $k$ té inversa la matriu $A$ ?»:

Calculem el determinant: $∣ A ∣ = \dots = (k - 1)^{2} (k + 1)$ . La matriu té inversa si i només si $∣ A ∣ \neq = 0$ , és a dir, per a tot $k \neq = 1$ i $k \neq = - 1$ . Per a $k = \dots$ , el determinant val $\dots \neq = 0$ , i la inversa és $A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} (Adj A)^{t} = \dots$ Comprovació: $A A^{- 1} = I$ .

I per al rang:

Com que $∣ A ∣ = 0$ quan $k = \dots$ , per a la resta de valors $rang (A) = 3$ . Si $k = \dots$ , el menor $\dots = \dots \neq = 0$ , de manera que $rang (A) = 2$ .

Llista de comprovació abans d'entregar

Has escrit els sis productes de Sarrus amb el signe correcte (o has desenvolupat per la fila amb més zeros)?
Has factoritzat del tot el polinomi del determinant i has escrit tots els valors crítics?
Abans de calcular una inversa, has comprovat que $∣ A ∣ \neq = 0$ ?
Has transposat la matriu d'adjunts i has comprovat que $A A^{- 1} = I$ ?
Per a cada valor crític, has trobat un menor no nul (o has justificat que tots són nuls) abans de dir el rang?
Has acabat amb una frase de conclusió per a cada cas?

Exercicis proposats

Exercici 1. (a) Calcula $∣ E ∣ = 214 - 1 01 32 - 1$ per Sarrus i comprova el resultat desenvolupant per la segona fila. (b) Sabent que $a d g b e h c f i = 5$ , calcula

2 a g d + a 2 b h e + b 2 c i f + c i a 3 d g - 2 a b 3 e h - 2 b c 3 f i - 2 c .

Solució de l'exercici 1

(a) Per Sarrus: termes positius $0 + (- 8) + 3 = - 5$ , negatius $0 + 4 + 1 = 5$ , així que $∣ E ∣ = - 5 - 5 = - 10$ . Per la segona fila (té un zero), amb els signes $-, +, -$ :

∣ E ∣ = - 1 \cdot - 1 1 3 - 1 + 0 - 2 \cdot 24 - 1 1 = - 1 \cdot (- 2) - 2 \cdot 6 = 2 - 12 = - 10.

(b) Al primer determinant, si a la tercera fila li restem la meitat de la primera queda $(d, e, f)$ i el valor no canvia. Aleshores la primera fila està multiplicada per 2 (factor $2$ ) i les files segona i tercera estan intercanviades respecte de l'original (factor $- 1$ ): el determinant val $2 \cdot (- 1) \cdot 5 = - 10$ .

Al segon, la tercera fila és $F_{3} - 2 F_{1}$ , que no canvia res, i la segona està multiplicada per 3: el resultat és $3 \cdot 5 = 15$ .

Exercici 2. Estudia el rang de $M = a 21 2 a 1 111$ segons el valor de $a$ .

Solució de l'exercici 2

Per Sarrus, $∣ M ∣ = a^{2} + 2 + 2 - a - a - 4 = a^{2} - 2 a = a (a - 2)$ , que s'anul·la per a $a = 0$ i $a = 2$ .

Si $a \neq = 0$ i $a \neq = 2$ : $∣ M ∣ \neq = 0$ i $rang (M) = 3$ .
Si $a = 0$ : el menor $0220 = - 4 \neq = 0$ , així que $rang (M) = 2$ .
Si $a = 2$ : les dues primeres files són iguals, $(2, 2, 1)$ , i el menor de la cantonada $2222$ val zero. Però $2111 = 1 \neq = 0$ , de manera que $rang (M) = 2$ .

Exercici 3. Sigui $A = 211321111$ . (a) Calcula $A^{- 1}$ amb la matriu adjunta. (b) Resol l'equació $A X = B$ , on $B = 101011$ .

Solució de l'exercici 3

(a) $∣ A ∣ = 4 + 3 + 1 - 2 - 2 - 3 = 1 \neq = 0$ . Els adjunts, ja amb els signes, són $A_{11} = 1$ , $A_{12} = 0$ , $A_{13} = - 1$ ; $A_{21} = - 2$ , $A_{22} = 1$ , $A_{23} = 1$ ; $A_{31} = 1$ , $A_{32} = - 1$ , $A_{33} = 1$ . Transposant la matriu d'adjunts i dividint per $∣ A ∣ = 1$ :

A^{- 1} = 10 - 1 - 2 11 1 - 1 1 .

Comprovació de la primera fila de $A A^{- 1}$ : $(2 - 0 - 1, - 4 + 3 + 1, 2 - 3 + 1) = (1, 0, 0)$ .

(b) Multipliquem per l'esquerra per $A^{- 1}$ : $X = A^{- 1} B$ , que és una matriu $3 \times 2$ :

X = 10 - 1 - 2 11 1 - 1 1 101011 = 2 - 1 0 - 1 02 .

Comprovació: la primera fila de $A$ per la primera columna de $X$ dona $4 - 3 + 0 = 1 = b_{11}$ , i la resta d'entrades també coincideixen.

📄 Vols aquest tema en paper? Descarrega el resum del bloc en PDF.

Descarrega el PDF