☰ Índex de temes

Funcions complexes: exponencial, sinus i cosinus, logaritme complex i potències

⏱ 7 min de lectura🔄 Actualitzat el 7 de setembre del 2026Universitat

Un cop saps representar i operar i extreure arrels, el pas següent és estendre les funcions elementals a variable complexa: l'exponencial complexa, que separa creixement i rotació; el sinus i el cosinus, que deixen de ser acotats; i el logaritme complex, que és inevitablement multivaluat i obliga a parlar de branques. Les potències complexes $z^{w}$ es defineixen a través del logaritme i n'hereten totes les branques. En aquesta pàgina trobaràs les definicions, les fórmules per a la part real i imaginària, exemples numèrics verificats i un arbre de decisió per a tot el bloc.

L'exponencial complexa separa creixement i rotació

Per a $z = x + y j$ amb $x, y$ reals es defineix, usant les propietats de l'exponencial real i la fórmula d'Euler,

e^{z} = e^{x + y j} = e^{x} e^{y j} = e^{x} (cos y + j sin y) .

La lectura geomètrica és immediata: la part real de l'exponent fixa el mòdul, $∣ e^{z} ∣ = e^{x} > 0$ , i la part imaginària fixa l'argument, $arg (e^{z}) = y (mod 2 π)$ . L'exponencial converteix sumes en productes, $e^{z + w} = e^{z} e^{w}$ , exactament com a $R$ .

Dues propietats que sorprenen la primera vegada:

$e^{z}$ mai no és zero, perquè el seu mòdul és $e^{x} > 0$ . L'equació $e^{z} = 0$ no té solució.
$e^{z}$ és periòdica de període $2 π j$ : $e^{z + 2 k π j} = e^{z} e^{2 k π j} = e^{z}$ per a tot $k \in Z$ . Augmentar la part imaginària de l'exponent en $2 π$ és donar una volta sencera. Aquesta periodicitat és la raó per la qual el logaritme tindrà infinits valors.

Exponencial d'un complex

$e^{1 + j π /4} = e (cos \frac{π}{4} + j sin \frac{π}{4}) = \frac{e 2}{2} (1 + j) \approx 1, 9221 + 1, 9221 j$ . Mòdul $e \approx 2, 718$ , argument $π /4$ .
$e^{- 2 + 3 j} = e^{- 2} (cos 3 + j sin 3) \approx 0, 1353 \cdot (- 0, 9900 + 0, 1411 j) \approx - 0, 1340 + 0, 0191 j$ . El mòdul és petit ( $e^{- 2}$ ) i l'argument $3$ rad el situa al quadrant II, coherent amb el signe negatiu de la part real.
$e^{2 + j π} = e^{2} (cos π + j sin π) = - e^{2} \approx - 7, 389$ .

Si l'exponent imaginari és notable, deixa el resultat exacte ( $e 2 /2$ ); si no ho és, com $cos 3$ , no aproximis fins que t'ho demanin.

Sinus, cosinus i funcions hiperbòliques

De la fórmula d'Euler, $e^{j θ} = cos θ + j sin θ$ i $e^{- j θ} = cos θ - j sin θ$ ; sumant i restant s'aïllen el cosinus i el sinus. Aquestes expressions es prenen com a definició per a qualsevol $z \in C$ :

Sinus i cosinus complexos

sin z = \frac{e ^{j z} - e ^{- j z}}{2 j}, cos z = \frac{e ^{j z} + e ^{- j z}}{2} .

Per a $z$ real coincideixen amb les funcions habituals. Les funcions hiperbòliques reals són les mateixes combinacions sense la $j$ :

sinh y = \frac{e ^{y} - e ^{- y}}{2}, cosh y = \frac{e ^{y} + e ^{- y}}{2} .

Compara els denominadors: el sinus té $2 j$ , el cosinus té $2$ . Escriure $2 j$ al cosinus és un error clàssic que es detecta de seguida provant $z = 0$ : la definició correcta dona $cos 0 = 1$ , la incorrecta dona $- j$ .

La relació entre les funcions circulars i les hiperbòliques és una substitució directa a les definicions: posant $z = j y$ ,

cos (j y) = cosh y, sin (j y) = j sinh y, i, en general, cosh (j z) = cos z, sinh (j z) = j sin z .

Totes les identitats algebraiques reals continuen valent a $C$ (perquè es dedueixen de les definicions exponencials): $sin^{2} z + cos^{2} z = 1$ , les fórmules de suma d'angles, etc. El que no es conserva és la fita $∣ sin z ∣ \leq 1$ : per exemple $sin (2 j) = j sinh 2 \approx 3, 627 j$ i $cos (2 j) = cosh 2 \approx 3, 762$ . Si a l'examen surt un sinus de mòdul més gran que $1$ , no és senyal d'error.

Part real i imaginària de $sin (x + y j)$ i $cos (x + y j)$

Aplicant la fórmula de suma d'angles a $sin (x + y j) = sin x cos (y j) + cos x sin (y j)$ i substituint $cos (y j) = cosh y$ , $sin (y j) = j sinh y$ :

Separació en part real i imaginària

Per a $x, y \in R$ ,

sin (x + y j) = sin x cosh y + j cos x sinh y, cos (x + y j) = cos x cosh y - j sin x sinh y .

La comprovació $y = 0$ ( $cosh 0 = 1$ , $sinh 0 = 0$ ) recupera $sin x$ i $cos x$ , i detecta a l'instant errors de signe o de denominador. Fixa't també en el signe menys del cosinus: ve del $j^{2}$ que apareix en $sin x sin (y j) = sin x \cdot j sinh y$ dins de $cos (x + y j) = cos x cos (y j) - sin x sin (y j)$ .

Sinus i cosinus d'un complex, verificats

Calcula $sin (2 + j)$ i $cos (2 + j)$ .

Amb $x = 2$ i $y = 1$ : $sin 2 \approx 0, 9093$ , $cos 2 \approx - 0, 4161$ , $cosh 1 \approx 1, 5431$ , $sinh 1 \approx 1, 1752$ .

sin (2 + j) = sin 2 cosh 1 + j cos 2 sinh 1 \approx 1, 4031 - 0, 4891 j,

cos (2 + j) = cos 2 cosh 1 - j sin 2 sinh 1 \approx - 0, 6421 - 1, 0686 j .

Comprovació amb $sin^{2} z + cos^{2} z = 1$ : $(1, 4031 - 0, 4891 j)^{2} \approx 1, 7295 - 1, 3725 j$ i $(- 0, 6421 - 1, 0686 j)^{2} \approx - 0, 7296 + 1, 3723 j$ ; la suma és $\approx 1, 0000 - 0, 0002 j$ , que és $1$ dins de l'error d'arrodoniment.

Paritat i signes

El sinus és imparell i el cosinus és parell, també a $C$ : $sin (- z) = - sin z$ i $cos (- z) = cos z$ . Això s'usa contínuament quan $x$ o $y$ són negatius, perquè les funcions hiperbòliques tenen la mateixa paritat: $sinh (- y) = - sinh y$ i $cosh (- y) = cosh y$ .

Resultat exacte amb parts negatives

Calcula $cos (- 1 + 2 j)$ mantenint la resposta exacta.

Amb $x = - 1$ i $y = 2$ : $cos (- 1 + 2 j) = cos (- 1) cosh 2 - j sin (- 1) sinh 2 = cos 1 cosh 2 + j sin 1 sinh 2$ . La paritat ha canviat el signe del terme imaginari. Numèricament, $cos 1 cosh 2 \approx 0, 5403 \cdot 3, 7622 \approx 2, 0327$ i $sin 1 sinh 2 \approx 0, 8415 \cdot 3, 6269 \approx 3, 0519$ , així que $cos (- 1 + 2 j) \approx 2, 0327 + 3, 0519 j$ . La resposta que un corrector vol veure és la forma exacta $cos 1 cosh 2 + j sin 1 sinh 2$ ; els decimals són només una comprovació.

Un altre exemple amb angle notable: $sin (\frac{π}{3} + j) = \frac{3}{2} cosh 1 + \frac{1}{2} j sinh 1 \approx 1, 3363 + 0, 5876 j$ .

El logaritme complex és necessàriament multivaluat

Per a $z \neq = 0$ busquem tots els $L \in C$ tals que $e^{L} = z$ . Escrivint $L = u + v j$ i $z = ∣ z ∣ e^{j θ}$ , la igualtat $e^{u} e^{v j} = ∣ z ∣ e^{j θ}$ exigeix $e^{u} = ∣ z ∣$ (per tant $u = ln ∣ z ∣$ , el logaritme real) i $v \in arg z$ . Com que l'argument és una família d'angles, hi ha infinits logaritmes:

Logaritme complex i valor principal

Per a $z \neq = 0$ ,

lo g z = {ln ∣ z ∣ + j (Arg z + 2 k π) : k \in Z} .

El valor principal (determinació principal) és el que correspon a $k = 0$ :

Log z = ln ∣ z ∣ + j Arg z, Arg z \in (- π, π] .

$lo g 0$ no existeix (no hi ha cap $L$ amb $e^{L} = 0$ ).

Cada valor fix de $k$ s'anomena una branca del logaritme. Tots els valors tenen la mateixa part real $ln ∣ z ∣$ i les parts imaginàries difereixen en múltiples de $2 π$ : al pla són punts alineats verticalment, separats $2 π$ . La convenció d'aquest bloc és que $lo g z$ denota el conjunt i $Log z$ el valor principal; alguns textos usen $ln z$ per al conjunt, així que mira sempre la convenció declarada.

Logaritmes amb tots els valors

$lo g (- 1)$ : $∣ - 1 ∣ = 1$ , $Arg (- 1) = π$ . Per tant $lo g (- 1) = {j (π + 2 k π)} = {j (2 k + 1) π}$ i $Log (- 1) = j π$ . El logaritme d'un negatiu existeix a $C$ i és imaginari pur.
$lo g (3 j) = {ln 3 + j (\frac{π}{2} + 2 k π)}$ , amb $Log (3 j) = ln 3 + j \frac{π}{2} \approx 1, 0986 + 1, 5708 j$ .
$lo g (- 2 + 2 j)$ : mòdul $22$ , quadrant II, $Arg = 3 π /4$ . Així $lo g (- 2 + 2 j) = {\frac{3}{2} ln 2 + j (\frac{3 π}{4} + 2 k π)}$ , valor principal $\approx 1, 0397 + 2, 3562 j$ . Comprovació: $e^{1, 0397} e^{j 2, 3562} \approx 2, 828 (- 0, 7071 + 0, 7071 j) = - 2 + 2 j$ .

Les regles dels logaritmes reals fallen amb el valor principal

$Log (z w) \neq = Log z + Log w$ en general. Amb $z = w = - 1$ : $Log (1) = 0$ , però $Log (- 1) + Log (- 1) = 2 π j$ . La igualtat només és certa com a igualtat de conjunts, $lo g (z w) = lo g z + lo g w$ (mòdul $2 π j$ ). De la mateixa manera, $e^{Log z} = z$ sempre, però $Log (e^{z}) = z$ només si $Im z \in (- π, π]$ : per exemple $Log (e^{j 3 π /2}) = - j π /2$ , no $j 3 π /2$ .

Potències complexes: $z^{w} = e^{w l o g z}$

A $R$ , $a^{b} = e^{b l n a}$ . A $C$ es fa el mateix, però com que el logaritme té infinits valors, la potència també:

Potència complexa

Per a $z \neq = 0$ i $w \in C$ ,

z^{w} = {e^{w L} : L \in lo g z} = {e^{w (l n ∣ z ∣ + j (Arg z + 2 k π))} : k \in Z},

i el valor principal és $pv (z^{w}) = e^{w Log z}$ .

Quants valors diferents hi ha depèn de l'exponent, perquè passar de $k$ a $k + 1$ multiplica el resultat per $e^{2 π j w}$ :

Si $w \in Z$ , $e^{2 π j w} = 1$ i totes les branques col·lapsen en un únic valor: $z^{n}$ és el de sempre.
Si $w = p / q$ és racional irreductible, hi ha exactament $q$ valors: les arrels $q$ -èsimes de la pàgina anterior.
Si $w$ és irracional o no real, hi ha infinits valors diferents. Si $w$ té part imaginària, el factor $e^{2 π j w}$ té mòdul $e^{- 2 π Im w} \neq = 1$ , i les branques canvien fins i tot el mòdul del resultat.

j^j és real

$lo g j = {j (\frac{π}{2} + 2 k π)}$ (mòdul $1$ , argument $π /2$ ). Per tant

j^{j} = {e^{j \cdot j (π /2 + 2 k π)}} = {e^{- π /2 - 2 k π} : k \in Z},

un conjunt d'infinits nombres reals positius. El valor principal és $e^{- π /2} \approx 0, 2079$ ; amb $k = 1$ s'obté $e^{- 5 π /2} \approx 0, 0004$ , i amb $k = - 1$ , $e^{3 π /2} \approx 111, 3$ .

(1 + j)^j amb totes les branques

$lo g (1 + j) = {\frac{1}{2} ln 2 + j (\frac{π}{4} + 2 k π)}$ . Multiplicant per $j$ :

j (\frac{1}{2} ln 2 + j (\frac{π}{4} + 2 k π)) = - (\frac{π}{4} + 2 k π) + j \frac{1}{2} ln 2.

Així

(1 + j)^{j} = {e^{- π /4 - 2 k π} e^{j \frac{l n 2}{2}} : k \in Z} .

Tots els valors tenen el mateix argument $\frac{1}{2} ln 2 \approx 0, 3466$ rad, i els mòduls $e^{- π /4 - 2 k π}$ formen una progressió geomètrica de raó $e^{- 2 π}$ . El valor principal és $e^{- π /4} (cos 0, 3466 + j sin 0, 3466) \approx 0, 4560 (0, 9405 + 0, 3397 j) \approx 0, 4288 + 0, 1549 j$ .

En un problema, la manera segura d'organitzar-ho és posar nom a les peces: $L_{0} = ln ∣ z ∣$ i $θ_{k} = Arg z + 2 k π$ ; escriure $w (L_{0} + j θ_{k})$ i separar-ne la part real (que anirà al mòdul) i la part imaginària (que anirà a l'argument). Després, el resultat és $e^{Re} e^{j Im}$ per a cada $k$ .

Arbre de decisió per a tot el tema

Abans de calcular, pregunta't quina operació domina l'expressió i tria el llenguatge:

Suma, resta, $Re$ , $Im$ , conjugat → forma binòmica. Cap altra forma permet sumar.
Producte, quocient, potència entera $z^{n}$ , arrels → forma exponencial. Mòduls es multipliquen, arguments se sumen; per a les arrels, no oblidis $2 k π$ i el polígon.
$e^{z}$ → separa $x$ i $y$ : mòdul $e^{x}$ , argument $y$ . Un sol valor.
$sin z$ , $cos z$ → fórmules de separació amb $cosh$ i $sinh$ ; vigila la paritat i el signe menys del cosinus. Un sol valor.
$lo g z$ , $z^{w}$ amb $w \in / Z$ → multivaluat: escriu el conjunt amb $k \in Z$ explícit i, a part, el valor principal amb $Arg z \in (- π, π]$ .
Equació quadràtica → coeficients en binòmica, el discriminant com a coll d'ampolla, Vieta al final.

I sempre: resultat exacte quan sigui accessible, més una comprovació (mòdul, substitució inversa, cas $y = 0$ , Vieta).

Errors que una bona solució ha de detectar

Els vuit errors del tema

Escriure $j = - 1$ sense dir quina de les dues arrels quadrades s'agafa. Defineix $j^{2} = - 1$ .
Usar $arctan (b / a)$ sense mirar el quadrant, o ignorar els casos sobre els eixos.
Parlar de l'argument (o del logaritme) de $0$ .
Donar una sola solució de $z^{n} = w$ amb $w \neq = 0$ : n'hi ha $n$ .
Escriure $\pm δ$ i després tornar a posar un $\pm$ a la fórmula quadràtica: el $\pm$ només hi va una vegada.
Confondre $lo g z$ (conjunt) amb $Log z$ (valor principal), o oblidar el $2 k π$ en una potència complexa.
Posar $j$ (o $2 j$ ) al denominador del cosinus.
Donar decimals quan hi ha un resultat exacte accessible ( $3 /2$ , $cos 1 cosh 2$ , $e^{- π /2}$ ).

Protocol de resolució

Identifica la funció i si és univaluada ( $e^{z}$ , $sin z$ , $cos z$ ) o multivaluada ( $lo g z$ , $z^{w}$ ).
Separa $x$ i $y$ de l'argument de la funció, amb els signes correctes.
Aplica la fórmula de separació corresponent. Per a l'exponencial, mòdul $e^{x}$ i argument $y$ ; per a sinus i cosinus, les fórmules amb $cosh$ i $sinh$ .
Per al logaritme, calcula $∣ z ∣$ i $Arg z$ (quadrant!), escriu el conjunt amb $k$ i marca el valor principal.
Per a una potència $z^{w}$ , escriu $w lo g z$ , separa part real i imaginària per a cada $k$ , i exponencia.
Comprova: cas $y = 0$ , $sin^{2} z + cos^{2} z = 1$ , $e^{Log z} = z$ , o el mòdul esperat.

Llista de comprovació

Has usat $e^{x + y j} = e^{x} (cos y + j sin y)$ amb $y$ en radians?
En $cos (x + y j)$ , hi ha el signe menys davant de $j sin x sinh y$ ?
Has aplicat la paritat quan $x$ o $y$ eren negatius?
Al logaritme, has escrit $k \in Z$ i has indicat el valor principal?
A la potència complexa, has separat bé la part real i la imaginària de $w lo g z$ ?
Has deixat el resultat exacte i has afegit una comprovació?

Exercicis proposats

Exercici 1. Calcula $e^{- 1 + j π /6}$ en forma binòmica exacta i $e^{3 - j π}$ .

Solució de l'exercici 1

$e^{- 1 + j π /6} = e^{- 1} (cos \frac{π}{6} + j sin \frac{π}{6}) = \frac{3}{2 e} + \frac{1}{2 e} j \approx 0, 3186 + 0, 1839 j$ . Mòdul $e^{- 1} \approx 0, 3679$ .

$e^{3 - j π} = e^{3} (cos π - j sin π) = - e^{3} \approx - 20, 086$ . Un real negatiu: l'argument $- π$ és mitja volta.

Exercici 2. Escriu $cos (1 - 2 j)$ en forma binòmica exacta i dona'n el valor numèric.

Solució de l'exercici 2

Amb $x = 1$ , $y = - 2$ : $cos (1 - 2 j) = cos 1 cosh (- 2) - j sin 1 sinh (- 2) = cos 1 cosh 2 + j sin 1 sinh 2$ , per la paritat de $cosh$ (parell) i $sinh$ (imparell). Numèricament, $\approx 2, 0327 + 3, 0519 j$ .

Fixa't que és el mateix valor que $cos (- 1 + 2 j)$ de l'exemple anterior: com que el cosinus és parell, $cos (1 - 2 j) = cos (- (1 - 2 j)) = cos (- 1 + 2 j)$ .

Exercici 3. Troba tots els valors de $lo g (- 3 j)$ i de $(- j)^{2 j}$ , i indica el valor principal de cadascun.

Solució de l'exercici 3

$∣ - 3 j ∣ = 3$ i $Arg (- 3 j) = - π /2$ (semieix imaginari negatiu). Per tant

lo g (- 3 j) = {ln 3 + j (- \frac{π}{2} + 2 k π) : k \in Z}, Log (- 3 j) = ln 3 - j \frac{π}{2} \approx 1, 0986 - 1, 5708 j .

Per a la potència, $lo g (- j) = {j (- \frac{π}{2} + 2 k π)}$ (mòdul $1$ ). Aleshores $2 j lo g (- j) = 2 j \cdot j (- \frac{π}{2} + 2 k π) = - 2 (- \frac{π}{2} + 2 k π) = π - 4 k π$ , que és real. Així

(- j)^{2 j} = {e^{π - 4 k π} : k \in Z},

infinits reals positius amb argument $0$ ; el valor principal és $e^{π} \approx 23, 141$ . Comprovació de coherència: com que l'exponent $2 j$ no és real, les branques han de canviar el mòdul, i efectivament els valors difereixen en factors $e^{4 π}$ .

Per veure com es combinen totes aquestes eines en un examen real, continua amb els exàmens resolts del bloc.