Funcions complexes: exponencial, sinus i cosinus, logaritme complex i potències

Un cop saps representar i operar i extreure arrels, el pas següent és estendre les funcions elementals a variable complexa: l'exponencial complexa, que separa creixement i rotació; el sinus i el cosinus, que deixen de ser acotats; i el logaritme complex, que és inevitablement multivaluat i obliga a parlar de branques. Les potències complexes $z^w$ es defineixen a través del logaritme i n'hereten totes les branques. En aquesta pàgina trobaràs les definicions, les fórmules per a la part real i imaginària, exemples numèrics verificats i un arbre de decisió per a tot el bloc.

L'exponencial complexa separa creixement i rotació

Per a $z = x + yj$ amb $x, y$ reals es defineix, usant les propietats de l'exponencial real i la fórmula d'Euler,

$$e^{z} = e^{x + yj} = e^{x}\,e^{yj} = e^{x}\big(\cos y + j\sin y\big).$$

La lectura geomètrica és immediata: la part real de l'exponent fixa el mòdul, $|e^z| = e^x > 0$, i la part imaginària fixa l'argument, $\operatorname{arg}(e^z) = y \pmod{2\pi}$. L'exponencial converteix sumes en productes, $e^{z + w} = e^z e^w$, exactament com a $\mathbb{R}$.

Dues propietats que sorprenen la primera vegada:

• $e^z$ mai no és zero, perquè el seu mòdul és $e^x > 0$. L'equació $e^z = 0$ no té solució.
• $e^z$ és periòdica de període $2\pi j$: $e^{z + 2k\pi j} = e^z e^{2k\pi j} = e^z$ per a tot $k \in \mathbb{Z}$. Augmentar la part imaginària de l'exponent en $2\pi$ és donar una volta sencera. Aquesta periodicitat és la raó per la qual el logaritme tindrà infinits valors.

Sinus, cosinus i funcions hiperbòliques

De la fórmula d'Euler, $e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$ i $e^{-j\theta} = \cos\theta - j\sin\theta$; sumant i restant s'aïllen el cosinus i el sinus. Aquestes expressions es prenen com a definició per a qualsevol $z \in \mathbb{C}$:

Compara els denominadors: el sinus té $2j$, el cosinus té $2$. Escriure $2j$ al cosinus és un error clàssic que es detecta de seguida provant $z = 0$: la definició correcta dona $\cos 0 = 1$, la incorrecta dona $-j$.

La relació entre les funcions circulars i les hiperbòliques és una substitució directa a les definicions: posant $z = jy$,

$$\cos(jy) = \cosh y, \qquad \sin(jy) = j\sinh y, \qquad \text{i, en general,} \quad \cosh(jz) = \cos z, \quad \sinh(jz) = j\sin z .$$

Totes les identitats algebraiques reals continuen valent a $\mathbb{C}$ (perquè es dedueixen de les definicions exponencials): $\sin^2 z + \cos^2 z = 1$, les fórmules de suma d'angles, etc. El que no es conserva és la fita $|\sin z| \leq 1$: per exemple $\sin(2j) = j\sinh 2 \approx 3{,}627j$ i $\cos(2j) = \cosh 2 \approx 3{,}762$. Si a l'examen surt un sinus de mòdul més gran que $1$, no és senyal d'error.

Part real i imaginària de $\sin(x + yj)$ i $\cos(x + yj)$

Aplicant la fórmula de suma d'angles a $\sin(x + yj) = \sin x\cos(yj) + \cos x\sin(yj)$ i substituint $\cos(yj) = \cosh y$, $\sin(yj) = j\sinh y$:

La comprovació $y = 0$ ($\cosh 0 = 1$, $\sinh 0 = 0$) recupera $\sin x$ i $\cos x$, i detecta a l'instant errors de signe o de denominador. Fixa't també en el signe menys del cosinus: ve del $j^2$ que apareix en $\sin x \sin(yj) = \sin x \cdot j\sinh y$ dins de $\cos(x + yj) = \cos x\cos(yj) - \sin x\sin(yj)$.

Paritat i signes

El sinus és imparell i el cosinus és parell, també a $\mathbb{C}$: $\sin(-z) = -\sin z$ i $\cos(-z) = \cos z$. Això s'usa contínuament quan $x$ o $y$ són negatius, perquè les funcions hiperbòliques tenen la mateixa paritat: $\sinh(-y) = -\sinh y$ i $\cosh(-y) = \cosh y$.

El logaritme complex és necessàriament multivaluat

Per a $z \neq 0$ busquem tots els $L \in \mathbb{C}$ tals que $e^L = z$. Escrivint $L = u + vj$ i $z = |z|e^{j\theta}$, la igualtat $e^u e^{vj} = |z|e^{j\theta}$ exigeix $e^u = |z|$ (per tant $u = \ln|z|$, el logaritme real) i $v \in \operatorname{arg} z$. Com que l'argument és una família d'angles, hi ha infinits logaritmes:

Cada valor fix de $k$ s'anomena una branca del logaritme. Tots els valors tenen la mateixa part real $\ln|z|$ i les parts imaginàries difereixen en múltiples de $2\pi$: al pla són punts alineats verticalment, separats $2\pi$. La convenció d'aquest bloc és que $\log z$ denota el conjunt i $\operatorname{Log} z$ el valor principal; alguns textos usen $\ln z$ per al conjunt, així que mira sempre la convenció declarada.

Potències complexes: $z^w = e^{w\log z}$

A $\mathbb{R}$, $a^b = e^{b\ln a}$. A $\mathbb{C}$ es fa el mateix, però com que el logaritme té infinits valors, la potència també:

Quants valors diferents hi ha depèn de l'exponent, perquè passar de $k$ a $k + 1$ multiplica el resultat per $e^{2\pi jw}$:

• Si $w \in \mathbb{Z}$, $e^{2\pi jw} = 1$ i totes les branques col·lapsen en un únic valor: $z^n$ és el de sempre.
• Si $w = p/q$ és racional irreductible, hi ha exactament $q$ valors: les arrels $q$-èsimes de la pàgina anterior.
• Si $w$ és irracional o no real, hi ha infinits valors diferents. Si $w$ té part imaginària, el factor $e^{2\pi jw}$ té mòdul $e^{-2\pi\operatorname{Im} w} \neq 1$, i les branques canvien fins i tot el mòdul del resultat.

En un problema, la manera segura d'organitzar-ho és posar nom a les peces: $L_0 = \ln|z|$ i $\theta_k = \operatorname{Arg} z + 2k\pi$; escriure $w(L_0 + j\theta_k)$ i separar-ne la part real (que anirà al mòdul) i la part imaginària (que anirà a l'argument). Després, el resultat és $e^{\operatorname{Re}}\,e^{j\operatorname{Im}}$ per a cada $k$.

Arbre de decisió per a tot el tema

Abans de calcular, pregunta't quina operació domina l'expressió i tria el llenguatge:

1. Suma, resta, $\operatorname{Re}$, $\operatorname{Im}$, conjugat → forma binòmica. Cap altra forma permet sumar.
2. Producte, quocient, potència entera $z^n$, arrels → forma exponencial. Mòduls es multipliquen, arguments se sumen; per a les arrels, no oblidis $2k\pi$ i el polígon.
3. $e^z$ → separa $x$ i $y$: mòdul $e^x$, argument $y$. Un sol valor.
4. $\sin z$, $\cos z$ → fórmules de separació amb $\cosh$ i $\sinh$; vigila la paritat i el signe menys del cosinus. Un sol valor.
5. $\log z$, $z^w$ amb $w \notin \mathbb{Z}$ → multivaluat: escriu el conjunt amb $k \in \mathbb{Z}$ explícit i, a part, el valor principal amb $\operatorname{Arg} z \in (-\pi, \pi]$.
6. Equació quadràtica → coeficients en binòmica, el discriminant com a coll d'ampolla, Vieta al final.

I sempre: resultat exacte quan sigui accessible, més una comprovació (mòdul, substitució inversa, cas $y = 0$, Vieta).

Errors que una bona solució ha de detectar

Protocol de resolució

1. Identifica la funció i si és univaluada ($e^z$, $\sin z$, $\cos z$) o multivaluada ($\log z$, $z^w$).
2. Separa $x$ i $y$ de l'argument de la funció, amb els signes correctes.
3. Aplica la fórmula de separació corresponent. Per a l'exponencial, mòdul $e^x$ i argument $y$; per a sinus i cosinus, les fórmules amb $\cosh$ i $\sinh$.
4. Per al logaritme, calcula $|z|$ i $\operatorname{Arg} z$ (quadrant!), escriu el conjunt amb $k$ i marca el valor principal.
5. Per a una potència $z^w$, escriu $w\log z$, separa part real i imaginària per a cada $k$, i exponencia.
6. Comprova: cas $y = 0$, $\sin^2 z + \cos^2 z = 1$, $e^{\operatorname{Log} z} = z$, o el mòdul esperat.

Exercicis proposats

Exercici 1. Calcula $e^{-1 + j\pi/6}$ en forma binòmica exacta i $e^{3 - j\pi}$.

Solució de l'exercici 1

$e^{-1 + j\pi/6} = e^{-1}\big(\cos\tfrac{\pi}{6} + j\sin\tfrac{\pi}{6}\big) = \dfrac{\sqrt3}{2e} + \dfrac{1}{2e}j \approx 0{,}3186 + 0{,}1839j$. Mòdul $e^{-1} \approx 0{,}3679$.

$e^{3 - j\pi} = e^3(\cos\pi - j\sin\pi) = -e^3 \approx -20{,}086$. Un real negatiu: l'argument $-\pi$ és mitja volta.

Exercici 2. Escriu $\cos(1 - 2j)$ en forma binòmica exacta i dona'n el valor numèric.

Solució de l'exercici 2

Amb $x = 1$, $y = -2$: $\cos(1 - 2j) = \cos 1\cosh(-2) - j\sin 1\sinh(-2) = \cos 1\cosh 2 + j\sin 1\sinh 2$, per la paritat de $\cosh$ (parell) i $\sinh$ (imparell). Numèricament, $\approx 2{,}0327 + 3{,}0519j$.

Fixa't que és el mateix valor que $\cos(-1 + 2j)$ de l'exemple anterior: com que el cosinus és parell, $\cos(1 - 2j) = \cos\big(-(1 - 2j)\big) = \cos(-1 + 2j)$.

Exercici 3. Troba tots els valors de $\log(-3j)$ i de $(-j)^{2j}$, i indica el valor principal de cadascun.

Solució de l'exercici 3

$|{-3j}| = 3$ i $\operatorname{Arg}(-3j) = -\pi/2$ (semieix imaginari negatiu). Per tant

$$\log(-3j) = \Big\{\, \ln 3 + j\Big(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi\Big) \;:\; k \in \mathbb{Z} \,\Big\}, \qquad \operatorname{Log}(-3j) = \ln 3 - j\frac{\pi}{2} \approx 1{,}0986 - 1{,}5708j .$$

Per a la potència, $\log(-j) = \{\, j(-\tfrac{\pi}{2} + 2k\pi) \,\}$ (mòdul $1$). Aleshores $2j\log(-j) = 2j \cdot j(-\tfrac{\pi}{2} + 2k\pi) = -2(-\tfrac{\pi}{2} + 2k\pi) = \pi - 4k\pi$, que és real. Així

$$(-j)^{2j} = \big\{\, e^{\pi - 4k\pi} \;:\; k \in \mathbb{Z} \,\big\},$$

infinits reals positius amb argument $0$; el valor principal és $e^{\pi} \approx 23{,}141$. Comprovació de coherència: com que l'exponent $2j$ no és real, les branques han de canviar el mòdul, i efectivament els valors difereixen en factors $e^{4\pi}$.

Per veure com es combinen totes aquestes eines en un examen real, continua amb els exàmens resolts del bloc.