Determinants, inversa i rang: Laplace, Gauss i càlcul amb paràmetre

El determinant, la inversa i el rang són tres certificats d'una mateixa propietat: si les files (o columnes) d'una matriu són independents o no. A primer d'enginyeria no n'hi ha prou de saber-los calcular; cal saber quin dels tres convé en cada problema i com es comporten quan hi ha un paràmetre pel mig, que és el que distingeix un exercici d'examen d'un exercici de calculadora. En aquesta pàgina veuràs el desenvolupament de Laplace, l'estratègia de fer zeros abans de desenvolupar, un determinant amb paràmetre resolt i factoritzat, les dues vies per a la inversa i el càlcul del rang per Gauss i per menors, incloent-hi el cas paramètric en què un pivot pot amagar un cas. Suposem que domines les operacions de la pàgina de matrius i equacions matricials.

Què és el determinant

Per a una matriu quadrada d'ordre 2, $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$. Per a ordre 3, la regla de Sarrus dona sis productes de tres factors: els tres «diagonals» sumen i els tres «antidiagonals» resten.

Sarrus només funciona per a ordre 3; no s'estén a ordre 4. La definició general és recursiva (o, equivalentment, una suma sobre totes les permutacions de $\{1, \ldots, n\}$ de productes $\pm a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)}$): el determinant d'ordre $n$ es defineix a partir de determinants d'ordre $n - 1$ mitjançant el desenvolupament de Laplace que veurem tot seguit. Per calcular, però, gairebé mai es fa servir la definició directament: es busca estructura.

El determinant té dos significats que convé tenir presents. Geomètric: $\lvert \det A \rvert$ és el factor pel qual l'aplicació $x \mapsto Ax$ multiplica àrees (ordre 2) o volums (ordre 3), i el signe diu si conserva o inverteix l'orientació. Algebraic: $\det A = 0$ equival a un col·lapse de dimensió: les columnes són linealment dependents i la matriu no és inversible. Aquesta segona lectura és la que fa del determinant un certificat.

Menors, cofactors i desenvolupament de Laplace

Els signes $(-1)^{i+j}$ formen un tauler d'escacs que comença amb $+$ a la posició $(1,1)$. El desenvolupament de Laplace diu que, per a qualsevol fila $i$ fixada,

$$\det A = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\, C_{ij} = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in},$$

i el mateix val per a qualsevol columna. El criteri d'eficiència és evident: desenvolupa per la fila o columna amb més zeros, perquè cada zero elimina un menor sencer.

Propietats que governen el càlcul

Aquestes són les regles que permeten transformar un determinant abans de calcular-lo.

• $\det(A^t) = \det A$: tot el que val per a files val per a columnes.
• $\det(AB) = \det A \cdot \det B$ (multiplicatiu), i per tant $\det(A^{-1}) = 1/\det A$ si $A$ és inversible, i $\det(A^k) = (\det A)^k$.
• $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ per a $A$ d'ordre $n$ (no $\lambda \det A$: cada fila aporta un factor $\lambda$).
• Si $A$ és triangular (o diagonal), $\det A$ és el producte de la diagonal.
• Si dues files són iguals o proporcionals, o una fila és nul·la, o una fila és combinació lineal de les altres, el determinant és $0$.
• Un factor comú d'una fila (o columna) es pot treure fora del determinant.

I la propietat que no té: el determinant no és lineal en la matriu sencera. En general $\det(A + B) \ne \det A + \det B$; prova-ho amb $A = I_2$ i $B = -I_2$.

Les operacions elementals de files són l'eina de càlcul, i cadascuna té un efecte precís que has de registrar:

Operació	Efecte sobre el determinant
$F_i \leftrightarrow F_j$ (intercanviar)	canvia de signe
$F_i \to c\,F_i$ amb $c \ne 0$	queda multiplicat per $c$
$F_i \to F_i + c\,F_j$	no canvia

Estratègia: fer zeros abans de desenvolupar

Per a ordre 4 o superior, la combinació guanyadora és: crea zeros en una columna amb operacions del tipus $F_i \to F_i + cF_j$ (que no alteren res) i desenvolupa per aquella columna. Així un determinant $4 \times 4$ es converteix en un únic determinant $3 \times 3$, que resols amb Sarrus.

Determinant amb paràmetre

Quan la matriu conté un paràmetre, el determinant és un polinomi, i el que importa no és el polinomi desenvolupat sinó la seva factorització: les arrels són els valors crítics on la matriu deixa de ser inversible, i seran els casos que caldrà separar en qualsevol discussió posterior (rang, sistemes, diagonalització). Dues regles: no divideixis mai per una expressió que contingui el paràmetre sense haver separat abans el cas en què s'anul·la, i comprova el resultat amb valors senzills del paràmetre.

La inversa: dues vies

Si $\det A \ne 0$, la inversa es pot calcular per dues vies. Convé dominar-les totes dues i triar segons la mida i el tipus d'entrades.

Via 1: adjunta. La matriu de cofactors $\operatorname{cof}(A) = (C_{ij})$ transposada s'anomena adjunta, $\operatorname{adj}(A) = \operatorname{cof}(A)^t$, i

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A).$$

És útil per a ordre 2 o 3 i quan hi ha paràmetres, perquè dona una fórmula tancada. Per a ordre 4 ja exigeix setze determinants d'ordre 3.

Via 2: Gauss-Jordan. S'escriu la matriu ampliada $(A \mid I_n)$ i s'aplica el mètode de Gauss-Jordan fins a obtenir $(I_n \mid A^{-1})$. És més escalable, no requereix calcular el determinant a part (si apareix una fila nul·la a l'esquerra, la matriu és singular) i és exactament el mateix algorisme que resol sistemes: cada columna de $A^{-1}$ és la solució de $Ax = e_j$, com veuràs a la pàgina de sistemes lineals.

Teorema de caracterització de la inversa

Tot el que hem vist es recull en una xarxa d'equivalències que és, probablement, el teorema més usat del curs.

La utilitat del teorema és que et deixa triar el certificat més barat: si el problema dona un sistema homogeni amb solució no trivial, ja saps que $\det A = 0$ sense calcular-lo; si $\operatorname{rang} A = n$, ja saps que $A^{-1}$ existeix. I a la inversa: si has de demostrar que una matriu no és inversible, n'hi ha prou amb exhibir una combinació lineal nul·la de les seves files, com hem fet amb $a = -3$ a l'exemple del paràmetre.

Rang: tres cares d'un mateix nombre

Aquesta és la cara conceptual, que desenvolupem a espais vectorials i bases. Per calcular-lo hi ha dues cares operatives, que donen el mateix nombre:

• Nombre de pivots. Les operacions elementals no canvien el rang. El rang és el nombre de files no nul·les (de pivots) de qualsevol forma escalonada obtinguda per Gauss.
• Ordre màxim d'un menor no nul. Un menor d'ordre $r$ no nul demostra $\operatorname{rang} A \ge r$. Si a més tots els menors d'ordre $r + 1$ són nuls, aleshores $\operatorname{rang} A = r$.

Per menors, no cal calcular tots els menors d'ordre $r + 1$ si es fa amb mètode: fixat un menor d'ordre $r$ no nul, només cal orlar-lo (afegir-hi una fila i una columna més de totes les maneres possibles); si totes les orles són nul·les, el rang és $r$. Amb tot, per a matrius numèriques Gauss és més ràpid i més segur; els menors guanyen quan hi ha paràmetres, perquè donen polinomis factoritzables.

Rang amb paràmetre: el pivot no pot amagar un cas

Quan la matriu depèn d'un paràmetre, el rang és una funció a trossos d'aquest paràmetre, i l'examen puntua sobretot els trossos excepcionals. El protocol:

1. Si un pas de Gauss demana dividir per una expressió $p(a)$, o bé treballes sense dividir, o bé anotes «cas $p(a) = 0$» per estudiar-lo a part.
2. Resol el cas genèric (el rang màxim que dona un menor no nul).
3. Estudia separadament cada arrel de $p(a)$, tornant a la matriu original o a una reducció vàlida per a aquell valor.
4. Si el menor que feies servir s'anul·la, busca'n un altre del mateix ordre abans de concloure que el rang baixa.

Protocol de resolució

1. Reconeix l'ordre i l'estructura: ordre 2 o 3 (fórmula directa), triangular (producte de la diagonal), files repetides o proporcionals (zero immediat), fila d'uns (resta-la a les altres).
2. Tria el mètode: Sarrus per a ordre 3 numèric; Laplace per files amb zeros; Gauss amb registre d'operacions per a ordre 4 o més; menors quan hi ha paràmetres.
3. Amb paràmetre, no divideixis per expressions que puguin anul·lar-se; conserva els factors i factoritza el resultat.
4. Per a la inversa, primer el certificat $\det A \ne 0$; després adjunta (ordre 3, simbòlic) o Gauss-Jordan (numèric, ordre 4 o més).
5. Per al rang, cas genèric amb un menor; cada arrel a part; un menor nul no tanca el cas.
6. Comprova amb un valor senzill del paràmetre, amb una propietat estructural (files iguals, suma nul·la) o multiplicant $AA^{-1}$.

Exercicis proposats

Exercici 1. Calcula el determinant de $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ creant zeros en una columna i desenvolupant per Laplace.

Solució de l'exercici 1

Intercanvia $F_1 \leftrightarrow F_2$ per tenir pivot $1$ (el determinant canvia de signe) i fes $F_2 \to F_2 - 2F_1$, $F_4 \to F_4 - 3F_1$ (sense canvi):

$$\det = -\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -4 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -5 & 2 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 3 & -4 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & -5 & 2 \end{vmatrix} = -(-14) = 14 .$$

El menor $3 \times 3$ per Sarrus: positius $6 - 12 - 30 = -36$, negatius $9 - 15 - 16 = -22$, total $-36 + 22 = -14$. No t'oblidis del signe de l'intercanvi.

Exercici 2. Sigui $E_k = \begin{pmatrix} k & 1 & 0 \\ 1 & k & 1 \\ 0 & 1 & k \end{pmatrix}$. Determina per a quins valors de $k$ és inversible i calcula $E_2^{-1}$ per la via de l'adjunta.

Solució de l'exercici 2

Desenvolupant per la primera fila, $\det E_k = k(k^2 - 1) - 1\cdot(k - 0) = k^3 - 2k = k(k^2 - 2)$. Per tant $E_k$ és inversible si i només si $k \ne 0$ i $k \ne \pm\sqrt{2}$.

Per a $k = 2$, $\det E_2 = 4$ i els cofactors de $E_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ són $C_{11} = 3$, $C_{12} = -2$, $C_{13} = 1$, $C_{22} = 4$, $C_{23} = -2$, $C_{33} = 3$ (la matriu és simètrica, i la de cofactors també). Així

$$E_2^{-1} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}.$$

Comprovació: la primera fila de $E_2$ per la primera columna de $E_2^{-1}$ dona $\tfrac{1}{4}(6 - 2 + 0) = 1$.

Exercici 3. Estudia el rang de $T(b) = \begin{pmatrix} b & 1 & 1 & 2 \\ 1 & b & 1 & 2 \\ 1 & 1 & b & 2 \end{pmatrix}$ segons el valor de $b$.

Solució de l'exercici 3

El menor de les tres primeres columnes és $\begin{vmatrix} b & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & b \end{vmatrix} = (b - 1)^2(b + 2)$, així que per a $b \ne 1, -2$ el rang és 3.

Per a $b = -2$ el menor s'anul·la, però el de les columnes 1, 2 i 4 val $2(b - 1)^2 = 18 \ne 0$: el rang continua sent 3. Per a $b = 1$ les tres files són iguals a $(1, 1, 1, 2)$ i el rang és 1.

Resposta: $\operatorname{rang} T(b) = 3$ si $b \ne 1$ i $\operatorname{rang} T(1) = 1$. Fixa't que $b = -2$ és un valor crític del menor, no del rang: és el cas que l'examen posa per veure si tanques la discussió massa aviat.

Amb determinants, inverses i rangs a punt, el pas següent és aplicar-los a la discussió de sistemes: sistemes lineals i Rouché-Frobenius. Si vols veure aquesta teoria amb l'enfocament de batxillerat, la pàgina de sistemes de selectivitat fa de repàs ràpid, i a exàmens resolts hi ha problemes complets de determinant i rang amb paràmetre.