☰ Índex de temes

Determinants, inversa i rang: Laplace, Gauss i càlcul amb paràmetre

⏱ 13 min de lectura🔄 Actualitzat el 7 de setembre del 2026Universitat

El determinant, la inversa i el rang són tres certificats d'una mateixa propietat: si les files (o columnes) d'una matriu són independents o no. A primer d'enginyeria no n'hi ha prou de saber-los calcular; cal saber quin dels tres convé en cada problema i com es comporten quan hi ha un paràmetre pel mig, que és el que distingeix un exercici d'examen d'un exercici de calculadora. En aquesta pàgina veuràs el desenvolupament de Laplace, l'estratègia de fer zeros abans de desenvolupar, un determinant amb paràmetre resolt i factoritzat, les dues vies per a la inversa i el càlcul del rang per Gauss i per menors, incloent-hi el cas paramètric en què un pivot pot amagar un cas. Suposem que domines les operacions de la pàgina de matrius i equacions matricials.

Què és el determinant

Per a una matriu quadrada d'ordre 2, $det (a c b d) = a d - b c$ . Per a ordre 3, la regla de Sarrus dona sis productes de tres factors: els tres «diagonals» sumen i els tres «antidiagonals» resten.

Sarrus, agrupant signes

214 - 1 01 32 - 1 = 0 - 8 + 3 = - 5 2 \cdot 0 \cdot (- 1) + (- 1) \cdot 2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 \cdot 1 - 0 + 4 + 1 = 5 (3 \cdot 0 \cdot 4 + 2 \cdot 2 \cdot 1 + (- 1) \cdot 1 \cdot (- 1)) = - 10.

Calcula primer els tres productes positius, després els tres negatius, i resta al final: és la manera de no perdre signes.

Sarrus només funciona per a ordre 3; no s'estén a ordre 4. La definició general és recursiva (o, equivalentment, una suma sobre totes les permutacions de ${1, \dots, n}$ de productes $\pm a_{1 σ (1)} \dots a_{nσ (n)}$ ): el determinant d'ordre $n$ es defineix a partir de determinants d'ordre $n - 1$ mitjançant el desenvolupament de Laplace que veurem tot seguit. Per calcular, però, gairebé mai es fa servir la definició directament: es busca estructura.

El determinant té dos significats que convé tenir presents. Geomètric: $∣ det A ∣$ és el factor pel qual l'aplicació $x \mapsto A x$ multiplica àrees (ordre 2) o volums (ordre 3), i el signe diu si conserva o inverteix l'orientació. Algebraic: $det A = 0$ equival a un col·lapse de dimensió: les columnes són linealment dependents i la matriu no és inversible. Aquesta segona lectura és la que fa del determinant un certificat.

Menors, cofactors i desenvolupament de Laplace

Menor i cofactor

Sigui $A \in M_{n} (R)$ . El menor $M_{ij}$ és el determinant de la matriu d'ordre $n - 1$ que s'obté suprimint la fila $i$ i la columna $j$ de $A$ . El cofactor (o adjunt) és el menor amb signe: $C_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$ .

Els signes $(- 1)^{i + j}$ formen un tauler d'escacs que comença amb $+$ a la posició $(1, 1)$ . El desenvolupament de Laplace diu que, per a qualsevol fila $i$ fixada,

det A = j = 1 \sum n a_{ij} C_{ij} = a_{i 1} C_{i 1} + a_{i 2} C_{i 2} + \dots + a_{in} C_{in},

i el mateix val per a qualsevol columna. El criteri d'eficiència és evident: desenvolupa per la fila o columna amb més zeros, perquè cada zero elimina un menor sencer.

Laplace per la fila amb més zeros

310045201 = 3 \cdot (+ 1) 4501 - 0 + 2 \cdot (+ 1) 1045 = 3 \cdot 4 + 2 \cdot 5 = 22.

Hem desenvolupat per la primera fila: el zero central estalvia un menor, i el signe de la posició $(1, 3)$ és $(- 1)^{1 + 3} = + 1$ . Sarrus dona el mateix: $12 + 0 + 10 - (0 + 0 + 0) = 22$ .

Propietats que governen el càlcul

Aquestes són les regles que permeten transformar un determinant abans de calcular-lo.

$det (A^{t}) = det A$ : tot el que val per a files val per a columnes.
$det (A B) = det A \cdot det B$ (multiplicatiu), i per tant $det (A^{- 1}) = 1/ det A$ si $A$ és inversible, i $det (A^{k}) = (det A)^{k}$ .
$det (λ A) = λ^{n} det A$ per a $A$ d'ordre $n$ (no $λ det A$ : cada fila aporta un factor $λ$ ).
Si $A$ és triangular (o diagonal), $det A$ és el producte de la diagonal.
Si dues files són iguals o proporcionals, o una fila és nul·la, o una fila és combinació lineal de les altres, el determinant és $0$ .
Un factor comú d'una fila (o columna) es pot treure fora del determinant.

I la propietat que no té: el determinant no és lineal en la matriu sencera. En general $det (A + B) \neq = det A + det B$ ; prova-ho amb $A = I_{2}$ i $B = - I_{2}$ .

Les operacions elementals de files són l'eina de càlcul, i cadascuna té un efecte precís que has de registrar:

Operació	Efecte sobre el determinant
$F_{i} \leftrightarrow F_{j}$ (intercanviar)	canvia de signe
$F_{i} \to c F_{i}$ amb $c \neq = 0$	queda multiplicat per $c$
$F_{i} \to F_{i} + c F_{j}$	no canvia

Registre extern de les operacions

Si triangularitzes una matriu per calcular-ne el determinant, mantén fora de la matriu un registre del signe i dels factors acumulats. El producte de la diagonal que obtens al final és el determinant de la matriu transformada; el de l'original és aquest producte dividit pels factors que has aplicat i amb el signe corregit. La tercera operació és la més segura precisament perquè no cal registrar res.

Estratègia: fer zeros abans de desenvolupar

Per a ordre 4 o superior, la combinació guanyadora és: crea zeros en una columna amb operacions del tipus $F_{i} \to F_{i} + c F_{j}$ (que no alteren res) i desenvolupa per aquella columna. Així un determinant $4 \times 4$ es converteix en un únic determinant $3 \times 3$ , que resols amb Sarrus.

Determinant 4 × 4 amb un sol menor

Calcula

D = 12 - 1 3 2310 - 1 121 3102 .

Amb l' $1$ de la posició $(1, 1)$ com a pivot, fem $F_{2} \to F_{2} - 2 F_{1}$ , $F_{3} \to F_{3} + F_{1}$ i $F_{4} \to F_{4} - 3 F_{1}$ . Cap d'elles canvia el determinant:

D = 1000 2 - 1 3 - 6 - 1 314 3 - 5 3 - 7 = 1 \cdot - 1 3 - 6 314 - 5 3 - 7 .

Hem desenvolupat per la primera columna, on només queda un element no nul (signe $+$ ). Sarrus: els productes positius són $7 - 54 - 60 = - 107$ i els negatius $30 - 12 - 63 = - 45$ , de manera que $D = - 107 - (- 45) = - 62$ .

Determinant amb paràmetre

Quan la matriu conté un paràmetre, el determinant és un polinomi, i el que importa no és el polinomi desenvolupat sinó la seva factorització: les arrels són els valors crítics on la matriu deixa de ser inversible, i seran els casos que caldrà separar en qualsevol discussió posterior (rang, sistemes, diagonalització). Dues regles: no divideixis mai per una expressió que contingui el paràmetre sense haver separat abans el cas en què s'anul·la, i comprova el resultat amb valors senzills del paràmetre.

Determinant 4 × 4 amb paràmetre, factoritzat

Calcula, en funció de $a$ ,

Δ (a) = 111 a 1 a 11 11 a 1 1 - 1 1 - 1,

i determina per a quins valors la matriu és inversible.

Fer zeros. La primera fila és tota d'uns: restant-la de les altres creem zeros a la primera columna sense alterar el determinant. Fem $F_{2} \to F_{2} - F_{1}$ , $F_{3} \to F_{3} - F_{1}$ i $F_{4} \to F_{4} - a F_{1}$ :

Δ (a) = 1000 1 a - 1 0 1 - a 10 a - 1 1 - a 1 - 2 0 - 1 - a = a - 1 0 1 - a 0 a - 1 1 - a - 2 0 - 1 - a .

Laplace per la fila amb més zeros. La segona fila del menor només té l'element $a - 1$ a la posició $(2, 2)$ , de signe $+$ :

Δ (a) = (a - 1) a - 1 1 - a - 2 - 1 - a = (a - 1) [(a - 1) (- 1 - a) + 2 (1 - a)] .

Factoritzar, no desenvolupar. Dins del claudàtor hi ha el factor comú $(1 - a)$ : $(a - 1) (- 1 - a) = (1 - a) (a + 1)$ , de manera que el claudàtor és $(1 - a) (a + 1 + 2) = (1 - a) (a + 3)$ . Per tant

Δ (a) = (a - 1) (1 - a) (a + 3) = - (a - 1)^{2} (a + 3) .

Conclusió. La matriu és inversible si i només si $a \neq = 1$ i $a \neq = - 3$ .

Comprovacions independents. Per a $a = 1$ la primera i la tercera fila coincideixen, així que el determinant ha de ser $0$ : correcte. Per a $a = - 3$ la suma de les quatre files és el vector nul (comprova-ho columna a columna), cosa que també força determinant $0$ . I per a $a = 0$ la fórmula dona $- 3$ , que pots verificar amb Sarrus sobre el menor.

Desenvolupar el polinomi i després intentar factoritzar-lo

Si expandeixes $Δ (a)$ fins a obtenir $- a^{3} - a^{2} + 5 a - 3$ , després hauràs de trobar-ne les arrels per Ruffini, amb el risc afegit d'equivocar-te en algun coeficient. Els zeros que has creat amb Gauss ja t'ofereixen el determinant parcialment factoritzat: conserva els factors $(a - 1)$ a mesura que apareixen i treu factor comú abans de multiplicar res.

La inversa: dues vies

Si $det A \neq = 0$ , la inversa es pot calcular per dues vies. Convé dominar-les totes dues i triar segons la mida i el tipus d'entrades.

Via 1: adjunta. La matriu de cofactors $cof (A) = (C_{ij})$ transposada s'anomena adjunta, $adj (A) = cof (A)^{t}$ , i

A^{- 1} = \frac{1}{det A} adj (A) .

És útil per a ordre 2 o 3 i quan hi ha paràmetres, perquè dona una fórmula tancada. Per a ordre 4 ja exigeix setze determinants d'ordre 3.

Via 2: Gauss-Jordan. S'escriu la matriu ampliada $(A ∣ I_{n})$ i s'aplica el mètode de Gauss-Jordan fins a obtenir $(I_{n} ∣ A^{- 1})$ . És més escalable, no requereix calcular el determinant a part (si apareix una fila nul·la a l'esquerra, la matriu és singular) i és exactament el mateix algorisme que resol sistemes: cada columna de $A^{- 1}$ és la solució de $A x = e_{j}$ , com veuràs a la pàgina de sistemes lineals.

La mateixa inversa per les dues vies

Sigui $A = 210111013$ . Primer el certificat: desenvolupant per la primera fila, $det A = 2 (3 - 1) - 1 (3 - 0) = 4 - 3 = 1 \neq = 0$ . Existeix la inversa.

Adjunta. Els nou cofactors (amb el tauler de signes) són $C_{11} = 2$ , $C_{12} = - 3$ , $C_{13} = 1$ , $C_{21} = - 3$ , $C_{22} = 6$ , $C_{23} = - 2$ , $C_{31} = 1$ , $C_{32} = - 2$ , $C_{33} = 1$ . Com que $A$ és simètrica, la matriu de cofactors també ho és i coincideix amb la seva transposada. Amb $det A = 1$ ,

A^{- 1} = adj (A) = 2 - 3 1 - 3 6 - 2 1 - 2 1 .

Gauss-Jordan. Partim de $(A ∣ I)$ i intercanviem $F_{1} \leftrightarrow F_{2}$ per tenir un pivot $1$ :

120111103010100001 F_{2} \to F_{2} - 2 F_{1} 100 1 - 1 1 1 - 2 3 010 1 - 2 0 001 .

Ara $F_{2} \to - F_{2}$ i després $F_{3} \to F_{3} - F_{2}$ :

100110121 0 - 1 1 12 - 2 001 .

La part esquerra ja és triangular amb uns a la diagonal; pugem fent zeros per sobre dels pivots amb $F_{2} \to F_{2} - 2 F_{3}$ , $F_{1} \to F_{1} - F_{3}$ i finalment $F_{1} \to F_{1} - F_{2}$ :

100010001 2 - 3 1 - 3 6 - 2 1 - 2 1 .

La part dreta és la mateixa $A^{- 1}$ que abans. Comprovació: la primera fila de $A$ per la primera columna de $A^{- 1}$ dona $4 - 3 + 0 = 1$ , i per la segona, $- 6 + 6 + 0 = 0$ .

Teorema de caracterització de la inversa

Tot el que hem vist es recull en una xarxa d'equivalències que és, probablement, el teorema més usat del curs.

Caracterització de les matrius inversibles

Per a $A \in M_{n} (R)$ , les afirmacions següents són equivalents:

$A$ és inversible.
$det A \neq = 0$ .
$rang A = n$ .
Les files (i les columnes) de $A$ són linealment independents; les columnes formen una base de $R^{n}$ .
El sistema homogeni $A X = 0$ només té la solució trivial $X = 0$ (és a dir, $Ker A = {0}$ ).
Per a cada $b \in R^{n}$ , el sistema $A X = b$ té solució única.
$A$ es pot reduir per files a la identitat $I_{n}$ .

La utilitat del teorema és que et deixa triar el certificat més barat: si el problema dona un sistema homogeni amb solució no trivial, ja saps que $det A = 0$ sense calcular-lo; si $rang A = n$ , ja saps que $A^{- 1}$ existeix. I a la inversa: si has de demostrar que una matriu no és inversible, n'hi ha prou amb exhibir una combinació lineal nul·la de les seves files, com hem fet amb $a = - 3$ a l'exemple del paràmetre.

Rang: tres cares d'un mateix nombre

Rang

El rang de $A \in M_{m \times n} (R)$ és la dimensió del subespai de $R^{m}$ generat per les seves columnes, que coincideix amb la dimensió del subespai de $R^{n}$ generat per les seves files. Sempre $0 \leq rang A \leq min (m, n)$ .

Aquesta és la cara conceptual, que desenvolupem a espais vectorials i bases. Per calcular-lo hi ha dues cares operatives, que donen el mateix nombre:

Nombre de pivots. Les operacions elementals no canvien el rang. El rang és el nombre de files no nul·les (de pivots) de qualsevol forma escalonada obtinguda per Gauss.
Ordre màxim d'un menor no nul. Un menor d'ordre $r$ no nul demostra $rang A \geq r$ . Si a més tots els menors d'ordre $r + 1$ són nuls, aleshores $rang A = r$ .

El mateix rang per Gauss i per menors

Sigui $R = 123246 - 1 10 314$ .

Gauss. $F_{2} \to F_{2} - 2 F_{1}$ dona $(0, 0, 3, - 5)$ i $F_{3} \to F_{3} - 3 F_{1}$ dona també $(0, 0, 3, - 5)$ ; llavors $F_{3} \to F_{3} - F_{2}$ deixa la tercera fila nul·la. Queden dos pivots (columnes 1 i 3): $rang R = 2$ .

Menors. El menor de files 1, 2 i columnes 1, 3 val $12 - 1 1 = 3 \neq = 0$ , així que el rang és almenys 2. Com que $F_{3} = F_{1} + F_{2}$ , tota matriu $3 \times 3$ formada amb tres columnes de $R$ té les files dependents i el seu determinant és $0$ : els quatre menors d'ordre 3 s'anul·len i $rang R = 2$ .

Per menors, no cal calcular tots els menors d'ordre $r + 1$ si es fa amb mètode: fixat un menor d'ordre $r$ no nul, només cal orlar-lo (afegir-hi una fila i una columna més de totes les maneres possibles); si totes les orles són nul·les, el rang és $r$ . Amb tot, per a matrius numèriques Gauss és més ràpid i més segur; els menors guanyen quan hi ha paràmetres, perquè donen polinomis factoritzables.

Rang amb paràmetre: el pivot no pot amagar un cas

Quan la matriu depèn d'un paràmetre, el rang és una funció a trossos d'aquest paràmetre, i l'examen puntua sobretot els trossos excepcionals. El protocol:

Si un pas de Gauss demana dividir per una expressió $p (a)$ , o bé treballes sense dividir, o bé anotes «cas $p (a) = 0$ » per estudiar-lo a part.
Resol el cas genèric (el rang màxim que dona un menor no nul).
Estudia separadament cada arrel de $p (a)$ , tornant a la matriu original o a una reducció vàlida per a aquell valor.
Si el menor que feies servir s'anul·la, busca'n un altre del mateix ordre abans de concloure que el rang baixa.

«El determinant dona zero, per tant el rang és 2»

Un menor concret nul no demostra que el rang baixi: només invalida aquell certificat. Per afirmar que el rang és $r$ has d'haver exclòs tots els menors d'ordre $r + 1$ (o haver fet Gauss fins al final). Aquest és l'error que separa un 5 d'un 10 en la discussió de rangs.

Rang d'una matriu 3 × 4 amb paràmetre

Determina $rang R (b)$ per a

R (b) = 1 b 1 b 1 b 1 b b 121 .

Cas genèric. El rang és com a molt 3. El menor de les tres primeres columnes és

1 b 1 b 1 b 1 b b = - b^{3} + b^{2} + b - 1 = - (b - 1) (b^{2} - 1) = - (b - 1)^{2} (b + 1) .

Per a $b \neq = 1$ i $b \neq = - 1$ és no nul, així que $rang R (b) = 3$ .

Cas $b = - 1$ . El menor anterior s'anul·la, però això no tanca el cas. Provem un altre menor d'ordre 3, el de les columnes 1, 3 i 4:

1 - 1 1 1 - 1 - 1 121 = 6 \neq = 0,

i per tant $rang R (- 1) = 3$ . (En general, aquest menor val $(b - 2) (b - 1)$ , que a $b = - 1$ dona $(- 3) (- 2) = 6$ .)

Cas $b = 1$ . La matriu queda $111111111121$ . La tercera fila és igual a la primera i, restant $F_{1}$ de $F_{2}$ , s'obté $(0, 0, 0, 1)$ : exactament dos pivots. $rang R (1) = 2$ . Que cap menor d'ordre 3 pugui ser no nul es veu directament: tota submatriu $3 \times 3$ té dues files iguals.

Resposta: $rang R (b) = 3$ si $b \neq = 1$ , i $rang R (1) = 2$ . El valor $b = - 1$ anul·la un menor, però no el rang.

Predir abans d'expandir

Sense calcular cap inversa, decideix per a quins $a$ és inversible $C (a) = 2 a a a 2 a a a 2$ .

Dues pistes estructurals: si $a = 2$ les tres files coincideixen (rang 1), i si $a = - 1$ la suma de les tres files és nul·la, de manera que $(1, 1, 1)^{t}$ és del nucli. Tots dos valors han d'anul·lar el determinant. Calculant-lo (resta $F_{1}$ a $F_{2}$ i $F_{3}$ , treu factor comú $(2 - a)$ de cadascuna i acaba amb Sarrus) s'obté $det C (a) = 2 (a - 2)^{2} (a + 1)$ : no hi ha més valors crítics, i $C (a)$ és inversible si i només si $a \neq = 2$ i $a \neq = - 1$ . L'arrel doble a $a = 2$ reflecteix que allà el rang cau dues unitats, no una.

Protocol de resolució

Reconeix l'ordre i l'estructura: ordre 2 o 3 (fórmula directa), triangular (producte de la diagonal), files repetides o proporcionals (zero immediat), fila d'uns (resta-la a les altres).
Tria el mètode: Sarrus per a ordre 3 numèric; Laplace per files amb zeros; Gauss amb registre d'operacions per a ordre 4 o més; menors quan hi ha paràmetres.
Amb paràmetre, no divideixis per expressions que puguin anul·lar-se; conserva els factors i factoritza el resultat.
Per a la inversa, primer el certificat $det A \neq = 0$ ; després adjunta (ordre 3, simbòlic) o Gauss-Jordan (numèric, ordre 4 o més).
Per al rang, cas genèric amb un menor; cada arrel a part; un menor nul no tanca el cas.
Comprova amb un valor senzill del paràmetre, amb una propietat estructural (files iguals, suma nul·la) o multiplicant $A A^{- 1}$ .

Llista de comprovació

Has registrat l'efecte de cada operació elemental sobre el determinant?
El determinant amb paràmetre està factoritzat i comprovat amb un valor?
Has escrit « $det A = \dots \neq = 0$ » abans d'escriure $A^{- 1}$ ?
Has multiplicat $A A^{- 1}$ (almenys una fila) per comprovar la inversa?
En el rang amb paràmetre, has estudiat cada arrel per separat i buscat un altre menor abans de rebaixar el rang?
La resposta del rang està escrita com a funció a trossos del paràmetre?

Exercicis proposats

Exercici 1. Calcula el determinant de $2103 1 - 1 20 02113012$ creant zeros en una columna i desenvolupant per Laplace.

Solució de l'exercici 1

Intercanvia $F_{1} \leftrightarrow F_{2}$ per tenir pivot $1$ (el determinant canvia de signe) i fes $F_{2} \to F_{2} - 2 F_{1}$ , $F_{4} \to F_{4} - 3 F_{1}$ (sense canvi):

det = - 1000 - 1 323 2 - 4 1 - 5 0312 = - 323 - 4 1 - 5 312 = - (- 14) = 14.

El menor $3 \times 3$ per Sarrus: positius $6 - 12 - 30 = - 36$ , negatius $9 - 15 - 16 = - 22$ , total $- 36 + 22 = - 14$ . No t'oblidis del signe de l'intercanvi.

Exercici 2. Sigui $E_{k} = k 10 1 k 1 01 k$ . Determina per a quins valors de $k$ és inversible i calcula $E_{2}^{- 1}$ per la via de l'adjunta.

Solució de l'exercici 2

Desenvolupant per la primera fila, $det E_{k} = k (k^{2} - 1) - 1 \cdot (k - 0) = k^{3} - 2 k = k (k^{2} - 2)$ . Per tant $E_{k}$ és inversible si i només si $k \neq = 0$ i $k \neq = \pm 2$ .

Per a $k = 2$ , $det E_{2} = 4$ i els cofactors de $E_{2} = 210121012$ són $C_{11} = 3$ , $C_{12} = - 2$ , $C_{13} = 1$ , $C_{22} = 4$ , $C_{23} = - 2$ , $C_{33} = 3$ (la matriu és simètrica, i la de cofactors també). Així

E_{2}^{- 1} = \frac{1}{4} 3 - 2 1 - 2 4 - 2 1 - 2 3 .

Comprovació: la primera fila de $E_{2}$ per la primera columna de $E_{2}^{- 1}$ dona $\frac{1}{4} (6 - 2 + 0) = 1$ .

Exercici 3. Estudia el rang de $T (b) = b 11 1 b 1 11 b 222$ segons el valor de $b$ .

Solució de l'exercici 3

El menor de les tres primeres columnes és $b 11 1 b 1 11 b = (b - 1)^{2} (b + 2)$ , així que per a $b \neq = 1, - 2$ el rang és 3.

Per a $b = - 2$ el menor s'anul·la, però el de les columnes 1, 2 i 4 val $2 (b - 1)^{2} = 18 \neq = 0$ : el rang continua sent 3. Per a $b = 1$ les tres files són iguals a $(1, 1, 1, 2)$ i el rang és 1.

Resposta: $rang T (b) = 3$ si $b \neq = 1$ i $rang T (1) = 1$ . Fixa't que $b = - 2$ és un valor crític del menor, no del rang: és el cas que l'examen posa per veure si tanques la discussió massa aviat.

Amb determinants, inverses i rangs a punt, el pas següent és aplicar-los a la discussió de sistemes: sistemes lineals i Rouché-Frobenius. Si vols veure aquesta teoria amb l'enfocament de batxillerat, la pàgina de sistemes de selectivitat fa de repàs ràpid, i a exàmens resolts hi ha problemes complets de determinant i rang amb paràmetre.