Nombres complexos: forma binòmica, polar i exponencial, argument i operacions

Els nombres complexos són la primera eina de Matemàtiques d'enginyeria que et demana pensar en dues representacions alhora: la forma binòmica $a + bj$, que mostra les components, i la forma exponencial $r\,e^{j\theta}$, que mostra el mòdul i la direcció. Gairebé tots els errors d'examen venen de triar malament la forma o de perdre el quadrant en calcular l'argument. En aquesta pàgina veuràs com es defineixen els complexos, com es passa d'una forma a l'altra sense perdre el quadrant, què fa el conjugat, i com s'opera en cada llenguatge. És la base de les pàgines de potències, arrels i equacions i de funcions complexes.

Per què ampliem els nombres reals

L'equació $x^2 + 1 = 0$ no té cap solució real, perquè el quadrat d'un nombre real mai no és negatiu. Per resoldre-la (i, de passada, totes les equacions polinòmiques) s'introdueix un nou nombre, la unitat imaginària, definida per la propietat

$$j^2 = -1 .$$

Amb això, $x^2 + 1 = 0$ té dues solucions, $x = j$ i $x = -j$. Fixa't que definim $j$ per la seva propietat $j^2 = -1$, i no com a $\sqrt{-1}$: el símbol d'arrel és ambigu a $\mathbb{C}$, perquè tot nombre no nul té dues arrels quadrades, i cal una convenció per triar-ne una.

L'error més freqüent en aquest punt és escriure $\operatorname{Im}(3 - 5j) = -5j$. La part imaginària és el coeficient de $j$: $\operatorname{Im}(3 - 5j) = -5$. Una pregunta curta d'examen ("calcula $\operatorname{Im}(\ldots)$") es perd sencera per aquesta $j$ de més.

El pla complex: punt i vector

Com que un complex queda determinat per dos reals $(a, b)$, el podem dibuixar en un pla: l'eix horitzontal és l'eix real i el vertical l'eix imaginari. El nombre $z = a + bj$ és alhora el punt $(a, b)$ i el vector que va de l'origen a aquest punt. Les dues lectures són útils: la de punt per situar i comparar, la de vector per sumar (regla del paral·lelogram) i per parlar de longitud i direcció.

L'argument és una família d'angles

Si $z \neq 0$, qualsevol angle $\theta$ que orienti el vector $z$ (mesurat des del semieix real positiu, en sentit antihorari) és un argument de $z$. Però el mateix vector s'obté sumant voltes senceres, així que l'argument no és un nombre sinó un conjunt:

$$\operatorname{arg} z = \{\, \theta + 2k\pi \;:\; k \in \mathbb{Z} \,\}.$$

Per fixar-ne un, s'escull l'argument principal, que escriurem amb majúscula:

Per a productes i quocients pots fer servir qualsevol argument coherent, perquè el resultat és el mateix mòdul $2\pi$. En canvi, a les arrels, els logaritmes i les potències complexes el terme $2k\pi$ genera solucions diferents i no es pot deixar de banda.

El quadrant decideix: atan2

Per a $z = a + bj \neq 0$,

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad \operatorname{Arg} z = \operatorname{atan2}(b, a),$$

on $\operatorname{atan2}(b, a)$ és l'angle del punt $(a, b)$ tenint en compte els signes de les dues components. Si només disposes de $\arctan(b/a)$ (que retorna valors a $(-\pi/2, \pi/2)$), el que fas és:

1. Calcular l'angle de referència $\alpha = \arctan\!\big(|b|/|a|\big) \in [0, \pi/2]$.
2. Mirar el quadrant amb els signes de $a$ i $b$ i corregir: quadrant I, $\operatorname{Arg} z = \alpha$; quadrant II, $\pi - \alpha$; quadrant III, $-\pi + \alpha$; quadrant IV, $-\alpha$.
3. Tractar a part els eixos: $a = 0$ dona $\pm\pi/2$ segons el signe de $b$; $b = 0$ dona $0$ o $\pi$.

Forma polar i fórmula d'Euler

Amb el mòdul $r = |z|$ i un argument $\theta$, les components es recuperen per trigonometria: $a = r\cos\theta$ i $b = r\sin\theta$. Això dona la forma polar o trigonomètrica:

$$z = r(\cos\theta + j\sin\theta).$$

La fórmula d'Euler comprimeix el parèntesi en una sola exponencial:

El nombre $e^{j\theta}$ té sempre mòdul $1$ (perquè $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$): és el punt de la circumferència unitat a l'angle $\theta$. Casos que has de reconèixer a l'instant: $e^{j\pi/2} = j$, $e^{j\pi} = -1$, $e^{-j\pi/2} = -j$, $e^{2\pi j} = 1$. La identitat $e^{j\pi} + 1 = 0$ és la fórmula d'Euler amb $\theta = \pi$.

La forma exponencial es comporta com una exponencial real en tot el que fa a productes i potències, i això és el que la fa tan útil: $e^{j\alpha}\,e^{j\beta} = e^{j(\alpha + \beta)}$, que no és més que la suma d'angles del sinus i el cosinus escrita de manera compacta.

Pas entre formes

De binòmica a exponencial: tres decisions

1. Mòdul: $r = \sqrt{a^2 + b^2}$.
2. Quadrant: mira els signes de $a$ i $b$ (o si el punt és sobre un eix).
3. Argument principal: angle de referència corregit segons el quadrant.

D'exponencial a binòmica: conserva l'exactitud

Només cal desenvolupar amb Euler: $r e^{j\theta} = r\cos\theta + j\, r\sin\theta$. Si l'angle és notable ($\pi/6$, $\pi/4$, $\pi/3$ i els seus múltiples), mantén radicals i fraccions; no substitueixis $\sqrt{3}/2$ per $0{,}866$ si no t'ho demanen.

El conjugat és una reflexió

Les identitats que fas servir contínuament:

$$z\bar z = |z|^2, \qquad \operatorname{Re} z = \frac{z + \bar z}{2}, \qquad \operatorname{Im} z = \frac{z - \bar z}{2j}, \qquad \bar{\bar z} = z .$$

La primera és la clau per dividir: $z\bar z = (a + bj)(a - bj) = a^2 - (bj)^2 = a^2 + b^2$, un real positiu. A més, el conjugat respecta les operacions: $\overline{z + w} = \bar z + \bar w$ i $\overline{zw} = \bar z\,\bar w$, i el mòdul és multiplicatiu, $|zw| = |z|\,|w|$ i $|z/w| = |z|/|w|$, mentre que amb la suma només tens la desigualtat triangular $|z + w| \leq |z| + |w|$. Una justificació curta d'aquesta última: $|z + w|^2 = (z + w)(\bar z + \bar w) = |z|^2 + 2\operatorname{Re}(z\bar w) + |w|^2 \leq |z|^2 + 2|z||w| + |w|^2$.

Operacions en forma binòmica

Per a $a, b, c, d \in \mathbb{R}$:

$$(a + bj) + (c + dj) = (a + c) + (b + d)j, \qquad (a + bj)(c + dj) = (ac - bd) + (ad + bc)j .$$

El producte és simplement la propietat distributiva més $j^2 = -1$: el terme $(bj)(dj) = bd\,j^2 = -bd$ canvia de signe i passa a la part real. Per dividir, es multiplica numerador i denominador pel conjugat del denominador, que el converteix en el real $c^2 + d^2$:

$$\frac{a + bj}{c + dj} = \frac{(a + bj)(c - dj)}{c^2 + d^2}, \qquad c + dj \neq 0 .$$

Operacions en forma exponencial

Si $z_1 = r e^{j\theta}$ i $z_2 = R e^{j\varphi}$ amb $r, R > 0$:

$$z_1 z_2 = rR\,e^{j(\theta + \varphi)}, \qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{R}\,e^{j(\theta - \varphi)}, \qquad z_1^{\,n} = r^n e^{jn\theta} \quad (n \in \mathbb{N}).$$

En paraules: els mòduls es multipliquen (o divideixen) i els arguments se sumen (o resten). Una potència multiplica l'argument per $n$; és la fórmula de De Moivre, que tractem a fons a potències i arrels.

Quina forma convé per a cada operació

Què domina l'expressió	Forma recomanada
Suma, resta, $\operatorname{Re}$, $\operatorname{Im}$, conjugat aïllat	Binòmica
Producte o quocient d'un parell de factors	Qualsevol; binòmica si ja hi són
Potència alta ($n \geq 4$), quocient de potències	Exponencial
Potència petita dins d'una suma	Sovint binòmica
Arrels $n$-èsimes	Exponencial, amb el terme $2k\pi$
Logaritme, exponent complex	Exponencial, declarant branques
Equació quadràtica	Binòmica per als coeficients

La regla pràctica: primer decideix el llenguatge, després calcula. Canviar de forma a mig problema és una decisió estratègica, no un signe que t'has equivocat.

Expressions mixtes

Als exàmens és habitual una expressió on el numerador demana binòmica i el denominador demana exponencial. Es resol cada tros en la forma que li convé, i es fa la conversió només al final.

Interpretació geomètrica del producte

Multiplicar per $w = R e^{j\varphi}$ és una transformació del pla: gira un angle $\varphi$ (sentit antihorari si $\varphi > 0$) i escala el mòdul un factor $R$. Casos particulars que val la pena visualitzar:

• Multiplicar per $j = e^{j\pi/2}$ és un gir de $90^\circ$ sense canvi de mida: $j(3 + 2j) = -2 + 3j$, que efectivament és el vector $(3, 2)$ girat un quart de volta.
• Multiplicar per $-1 = e^{j\pi}$ és un gir de mitja volta.
• Multiplicar per un real positiu és una homotècia pura.
• Multiplicar per $2e^{j\pi/3}$ dobla la mida i gira $60^\circ$: $(1 + j) \cdot 2e^{j\pi/3}$ passa de mòdul $\sqrt{2}$ i argument $\pi/4$ a mòdul $2\sqrt{2}$ i argument $\pi/4 + \pi/3 = 7\pi/12$.

Dividir fa el contrari: gira $-\varphi$ i escala $1/R$. Conjugar reflecteix respecte a l'eix real. Aquesta lectura geomètrica és la que després explica per què les arrels $n$-èsimes formen un polígon regular i per què $e^{jy}$ fa girar l'exponencial complexa.

Protocol de resolució

1. Llegeix què demanen: forma binòmica final, exponencial, només $\operatorname{Re}$ o $\operatorname{Im}$, o un mòdul.
2. Classifica l'operació dominant amb la taula anterior i tria la forma de cada tros.
3. Converteix amb cura: en el pas a exponencial, mòdul, quadrant i argument principal, en aquest ordre; en el pas a binòmica, radicals exactes si l'angle és notable.
4. Opera en el llenguatge escollit. En binòmica vigila $j^2 = -1$; en exponencial vigila que només se sumen arguments quan es multipliquen nombres.
5. Converteix al final a la forma demanada.
6. Comprova: un mòdul (és multiplicatiu, així que és barat de calcular) o una substitució inversa (multiplica el quocient pel denominador).

Exercicis proposats

Exercici 1. Escriu en forma exponencial, amb argument principal, els nombres $-1 - \sqrt{3}\,j$, $\;5j$, $\;-4$ i $\;3 - 3j$.

Solució de l'exercici 1

• $-1 - \sqrt{3}\,j$: mòdul $2$, signes $(-, -)$, quadrant III, angle de referència $\pi/3$: $\operatorname{Arg} = -\pi + \pi/3 = -2\pi/3$. Resultat $2e^{-j2\pi/3}$.
• $5j$: sobre el semieix imaginari positiu, mòdul $5$, argument $\pi/2$: $5e^{j\pi/2}$.
• $-4$: real negatiu, mòdul $4$, argument $\pi$ (no $-\pi$): $4e^{j\pi}$.
• $3 - 3j$: mòdul $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$, quadrant IV, angle de referència $\pi/4$: $3\sqrt{2}\,e^{-j\pi/4}$.

Exercici 2. Calcula en forma binòmica $(1 - 2j)(3 + j)$ i $\dfrac{4 + 3j}{1 - j}$, i comprova el quocient multiplicant.

Solució de l'exercici 2

Producte: $(1 - 2j)(3 + j) = 3 + j - 6j - 2j^2 = 3 + 2 - 5j = 5 - 5j$.

Quocient: $\dfrac{(4 + 3j)(1 + j)}{1 + 1} = \dfrac{4 + 4j + 3j + 3j^2}{2} = \dfrac{1 + 7j}{2} = 0{,}5 + 3{,}5j$.

Comprovació: $(0{,}5 + 3{,}5j)(1 - j) = 0{,}5 - 0{,}5j + 3{,}5j - 3{,}5j^2 = 4 + 3j$. Correcte.

Exercici 3. Siguin $z = 2e^{j\pi/3}$ i $w = 1 - j$. Calcula $zw$ en forma exponencial i en forma binòmica, i després $\operatorname{Im}(z^2 + \bar w)$.

Solució de l'exercici 3

Primer $w = \sqrt{2}\,e^{-j\pi/4}$ (quadrant IV). Aleshores $zw = 2\sqrt{2}\,e^{j(\pi/3 - \pi/4)} = 2\sqrt{2}\,e^{j\pi/12}$.

En binòmica és més ràpid usar $z = 2(\cos\tfrac{\pi}{3} + j\sin\tfrac{\pi}{3}) = 1 + \sqrt{3}\,j$: $zw = (1 + \sqrt3 j)(1 - j) = 1 - j + \sqrt3 j - \sqrt3 j^2 = (1 + \sqrt3) + (\sqrt3 - 1)j \approx 2{,}732 + 0{,}732j$. Comprovació: mòdul $\sqrt{2{,}732^2 + 0{,}732^2} \approx 2{,}828 = 2\sqrt2$.

Per a la part imaginària: $z^2 = 4e^{j2\pi/3} = -2 + 2\sqrt3 j$ i $\bar w = 1 + j$, així que $z^2 + \bar w = -1 + (2\sqrt3 + 1)j$ i $\operatorname{Im}(z^2 + \bar w) = 2\sqrt3 + 1 \approx 4{,}464$ (un real, sense $j$).

Amb aquestes eines ja pots abordar les potències, arrels i equacions i, més endavant, posar-te a prova amb els exàmens resolts del bloc.