☰ Índex de temes

Nombres complexos: forma binòmica, polar i exponencial, argument i operacions

⏱ 10 min de lectura🔄 Actualitzat el 7 de setembre del 2026Universitat

Els nombres complexos són la primera eina de Matemàtiques d'enginyeria que et demana pensar en dues representacions alhora: la forma binòmica $a + bj$ , que mostra les components, i la forma exponencial $r e^{j θ}$ , que mostra el mòdul i la direcció. Gairebé tots els errors d'examen venen de triar malament la forma o de perdre el quadrant en calcular l'argument. En aquesta pàgina veuràs com es defineixen els complexos, com es passa d'una forma a l'altra sense perdre el quadrant, què fa el conjugat, i com s'opera en cada llenguatge. És la base de les pàgines de potències, arrels i equacions i de funcions complexes.

Per què ampliem els nombres reals

L'equació $x^{2} + 1 = 0$ no té cap solució real, perquè el quadrat d'un nombre real mai no és negatiu. Per resoldre-la (i, de passada, totes les equacions polinòmiques) s'introdueix un nou nombre, la unitat imaginària, definida per la propietat

j^{2} = - 1.

Amb això, $x^{2} + 1 = 0$ té dues solucions, $x = j$ i $x = - j$ . Fixa't que definim $j$ per la seva propietat $j^{2} = - 1$ , i no com a $- 1$ : el símbol d'arrel és ambigu a $C$ , perquè tot nombre no nul té dues arrels quadrades, i cal una convenció per triar-ne una.

Notació: j o i?

A enginyeria (i en tot aquest bloc) la unitat imaginària s'escriu $j$ , perquè la lletra $i$ es reserva per a la intensitat de corrent. A matemàtiques s'escriu $i$ . Són exactament el mateix objecte: $i^{2} = j^{2} = - 1$ . Si canvies de llibre, canvia només la lletra.

El conjunt dels nombres complexos

C = {a + bj : a, b \in R} .

Per a $z = a + bj$ , la part real és $Re z = a$ i la part imaginària és $Im z = b$ . Tots dos són nombres reals. Els reals són els complexos amb part imaginària zero, de manera que $R \subset C$ . Dos complexos són iguals si i només si coincideixen les parts reals i les parts imaginàries.

L'error més freqüent en aquest punt és escriure $Im (3 - 5 j) = - 5 j$ . La part imaginària és el coeficient de $j$ : $Im (3 - 5 j) = - 5$ . Una pregunta curta d'examen ("calcula $Im (\dots)$ ") es perd sencera per aquesta $j$ de més.

El pla complex: punt i vector

Com que un complex queda determinat per dos reals $(a, b)$ , el podem dibuixar en un pla: l'eix horitzontal és l'eix real i el vertical l'eix imaginari. El nombre $z = a + bj$ és alhora el punt $(a, b)$ i el vector que va de l'origen a aquest punt. Les dues lectures són útils: la de punt per situar i comparar, la de vector per sumar (regla del paral·lelogram) i per parlar de longitud i direcció.

Mòdul

El mòdul de $z = a + bj$ és la longitud del vector, és a dir, la distància de $z$ a l'origen:

∣ z ∣ = a^{2} + b^{2} \geq 0.

Només $z = 0$ té mòdul zero. Per a un real, el mòdul coincideix amb el valor absolut.

L'argument és una família d'angles

Si $z \neq = 0$ , qualsevol angle $θ$ que orienti el vector $z$ (mesurat des del semieix real positiu, en sentit antihorari) és un argument de $z$ . Però el mateix vector s'obté sumant voltes senceres, així que l'argument no és un nombre sinó un conjunt:

arg z = {θ + 2 k π : k \in Z} .

Per fixar-ne un, s'escull l'argument principal, que escriurem amb majúscula:

Argument principal

$Arg z$ és l'únic argument de $z$ que pertany a l'interval $(- π, π]$ . Els nombres del semipla superior tenen $Arg z \in (0, π)$ , els del semipla inferior tenen $Arg z \in (- π, 0)$ , els reals positius tenen argument $0$ i els reals negatius tenen argument $π$ (no $- π$ , perquè $- π$ queda fora de l'interval). El nombre $0$ no té argument.

Per a productes i quocients pots fer servir qualsevol argument coherent, perquè el resultat és el mateix mòdul $2 π$ . En canvi, a les arrels, els logaritmes i les potències complexes el terme $2 k π$ genera solucions diferents i no es pot deixar de banda.

El quadrant decideix: atan2

Per a $z = a + bj \neq = 0$ ,

∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}, Arg z = atan2 (b, a),

on $atan2 (b, a)$ és l'angle del punt $(a, b)$ tenint en compte els signes de les dues components. Si només disposes de $arctan (b / a)$ (que retorna valors a $(- π /2, π /2)$ ), el que fas és:

Calcular l'angle de referència $α = arctan (∣ b ∣/∣ a ∣) \in [0, π /2]$ .
Mirar el quadrant amb els signes de $a$ i $b$ i corregir: quadrant I, $Arg z = α$ ; quadrant II, $π - α$ ; quadrant III, $- π + α$ ; quadrant IV, $- α$ .
Tractar a part els eixos: $a = 0$ dona $\pm π /2$ segons el signe de $b$ ; $b = 0$ dona $0$ o $π$ .

Mateix quocient b/a, quatre quadrants

Els quatre nombres $1 + 3 j$ , $- 1 + 3 j$ , $- 1 - 3 j$ i $1 - 3 j$ tenen tots mòdul $1 + 3 = 2$ i tots tenen $∣ b / a ∣ = 3$ , de manera que l'angle de referència és $α = π /3$ per a tots quatre. L'argument principal, però, és diferent:

Nombre	Signes $(a, b)$	Quadrant	$Arg z$
$1 + 3 j$	$(+, +)$	I	$π /3$
$- 1 + 3 j$	$(-, +)$	II	$π - π /3 = 2 π /3$
$- 1 - 3 j$	$(-, -)$	III	$- π + π /3 = - 2 π /3$
$1 - 3 j$	$(+, -)$	IV	$- π /3$

Si haguessis aplicat $arctan (b / a)$ directament, el segon i el tercer nombre t'haurien sortit amb l'angle del quart i del primer quadrant, respectivament: la calculadora no veu el signe de $a$ .

Un argument no notable

Per a $z = - 3 - 2 j$ : $∣ z ∣ = 9 + 4 = 13 \approx 3, 606$ . Signes $(-, -)$ : quadrant III. L'angle de referència és $α = arctan (2/3) \approx 0, 5880$ , i per tant $Arg z = - π + 0, 5880 \approx - 2, 5536$ rad. Si la calculadora et dona $arctan (- 2/ - 3) = arctan (2/3) \approx 0, 588$ i t'ho creus, situes el nombre al primer quadrant: error de $π$ radiants.

Forma polar i fórmula d'Euler

Amb el mòdul $r = ∣ z ∣$ i un argument $θ$ , les components es recuperen per trigonometria: $a = r cos θ$ i $b = r sin θ$ . Això dona la forma polar o trigonomètrica:

z = r (cos θ + j sin θ) .

La fórmula d'Euler comprimeix el parèntesi en una sola exponencial:

Fórmula d'Euler i forma exponencial

Per a tot $θ \in R$ ,

e^{j θ} = cos θ + j sin θ .

Per tant, tot complex no nul s'escriu en forma exponencial com

z = r e^{j θ}, r = ∣ z ∣ > 0, θ \in arg z .

El nombre $e^{j θ}$ té sempre mòdul $1$ (perquè $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ ): és el punt de la circumferència unitat a l'angle $θ$ . Casos que has de reconèixer a l'instant: $e^{j π /2} = j$ , $e^{j π} = - 1$ , $e^{- j π /2} = - j$ , $e^{2 π j} = 1$ . La identitat $e^{j π} + 1 = 0$ és la fórmula d'Euler amb $θ = π$ .

La forma exponencial es comporta com una exponencial real en tot el que fa a productes i potències, i això és el que la fa tan útil: $e^{j α} e^{j β} = e^{j (α + β)}$ , que no és més que la suma d'angles del sinus i el cosinus escrita de manera compacta.

Pas entre formes

De binòmica a exponencial: tres decisions

Mòdul: $r = a^{2} + b^{2}$ .
Quadrant: mira els signes de $a$ i $b$ (o si el punt és sobre un eix).
Argument principal: angle de referència corregit segons el quadrant.

De binòmica a exponencial

Escriu $z = - 3 + j$ en forma exponencial.

Mòdul: $r = 3 + 1 = 2$ . Signes $(-, +)$ : quadrant II. Angle de referència $α = arctan (1/ 3) = π /6$ , i per tant $Arg z = π - π /6 = 5 π /6$ . Resultat:

- 3 + j = 2 e^{j 5 π /6} .

Comprovació ràpida: $2 cos (5 π /6) = 2 \cdot (- 3 /2) = - 3$ i $2 sin (5 π /6) = 2 \cdot (1/2) = 1$ . Correcte.

D'exponencial a binòmica: conserva l'exactitud

Només cal desenvolupar amb Euler: $r e^{j θ} = r cos θ + j r sin θ$ . Si l'angle és notable ( $π /6$ , $π /4$ , $π /3$ i els seus múltiples), mantén radicals i fraccions; no substitueixis $3 /2$ per $0, 866$ si no t'ho demanen.

D'exponencial a binòmica

4 e^{- j π /6} = 4 cos (- \frac{π}{6}) + 4 j sin (- \frac{π}{6}) = 4 \cdot \frac{3}{2} - 4 j \cdot \frac{1}{2} = 23 - 2 j .

Comprovació: $∣2 3 - 2 j ∣ = 12 + 4 = 4$ , i el punt és al quadrant IV, coherent amb l'argument $- π /6$ .

El conjugat és una reflexió

Conjugat

El conjugat de $z = a + bj$ és $\overset{z}{ˉ} = a - bj$ . Geomètricament, és la reflexió de $z$ respecte a l'eix real. En forma exponencial, si $z = r e^{j θ}$ aleshores $\overset{z}{ˉ} = r e^{- j θ}$ : mateix mòdul, argument oposat.

Les identitats que fas servir contínuament:

z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}, Re z = \frac{z + z ˉ}{2}, Im z = \frac{z - z ˉ}{2 j}, \overset{ˉ}{\overset{z}{ˉ}} = z .

La primera és la clau per dividir: $z \overset{z}{ˉ} = (a + bj) (a - bj) = a^{2} - (bj)^{2} = a^{2} + b^{2}$ , un real positiu. A més, el conjugat respecta les operacions: $\overline{z + w} = \overset{z}{ˉ} + \overset{w}{ˉ}$ i $\overline{z w} = \overset{z}{ˉ} \overset{w}{ˉ}$ , i el mòdul és multiplicatiu, $∣ z w ∣ = ∣ z ∣ ∣ w ∣$ i $∣ z / w ∣ = ∣ z ∣/∣ w ∣$ , mentre que amb la suma només tens la desigualtat triangular $∣ z + w ∣ \leq ∣ z ∣ + ∣ w ∣$ . Una justificació curta d'aquesta última: $∣ z + w ∣^{2} = (z + w) (\overset{z}{ˉ} + \overset{w}{ˉ}) = ∣ z ∣^{2} + 2 Re (z \overset{w}{ˉ}) + ∣ w ∣^{2} \leq ∣ z ∣^{2} + 2∣ z ∣∣ w ∣ + ∣ w ∣^{2}$ .

El conjugat no és l'invers

Es veu sovint $z / \overset{z}{ˉ} = 1$ . És fals: $z / \overset{z}{ˉ} = e^{2 j θ}$ , que només val $1$ si $z$ és real. El que sí que és cert és $∣ z / \overset{z}{ˉ} ∣ = 1$ per a tot $z \neq = 0$ . Compara amb $z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}$ , que és la identitat útil.

Operacions en forma binòmica

Per a $a, b, c, d \in R$ :

(a + bj) + (c + d j) = (a + c) + (b + d) j, (a + bj) (c + d j) = (a c - b d) + (a d + b c) j .

El producte és simplement la propietat distributiva més $j^{2} = - 1$ : el terme $(bj) (d j) = b d j^{2} = - b d$ canvia de signe i passa a la part real. Per dividir, es multiplica numerador i denominador pel conjugat del denominador, que el converteix en el real $c^{2} + d^{2}$ :

\frac{a + bj}{c + d j} = \frac{( a + bj ) ( c - d j )}{c ^{2} + d ^{2}}, c + d j \neq = 0.

Producte i quocient en binòmica

Producte:

(3 - 2 j) (1 + 4 j) = 3 + 12 j - 2 j - 8 j^{2} = 3 + 8 + 10 j = 11 + 10 j .

Quocient:

\frac{2 + 5 j}{3 - j} = \frac{( 2 + 5 j ) ( 3 + j )}{3 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{6 + 2 j + 15 j + 5 j ^{2}}{10} = \frac{1 + 17 j}{10} = 0, 1 + 1, 7 j .

Comprovació del quocient: $(0, 1 + 1, 7 j) (3 - j) = 0, 3 - 0, 1 j + 5, 1 j - 1, 7 j^{2} = 2 + 5 j$ . Correcte.

Operacions en forma exponencial

Si $z_{1} = r e^{j θ}$ i $z_{2} = R e^{j φ}$ amb $r, R > 0$ :

z_{1} z_{2} = r R e^{j (θ + φ)}, \frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r}{R} e^{j (θ - φ)}, z_{1}^{n} = r^{n} e^{j n θ} (n \in N) .

En paraules: els mòduls es multipliquen (o divideixen) i els arguments se sumen (o resten). Una potència multiplica l'argument per $n$ ; és la fórmula de De Moivre, que tractem a fons a potències i arrels.

Producte, quocient i potència en exponencial

$2 e^{j π /6} \cdot 3 e^{j π /3} = 6 e^{j π /2} = 6 j$ .
$\frac{4 e ^{j 2 π /3}}{2 e ^{- j π /6}} = 2 e^{j (2 π /3 + π /6)} = 2 e^{j 5 π /6} = - 3 + j$ .
$(1 + j)^{8}$ : primer $1 + j = 2 e^{j π /4}$ , i per tant $(1 + j)^{8} = (2)^{8} e^{j 8 π /4} = 16 e^{2 π j} = 16$ .

Fer $(1 + j)^{8}$ en binòmica exigiria tres quadrats successius; en exponencial és una línia.

No hi ha cap regla per sumar en exponencial

$r e^{j θ} + R e^{j φ}$ no és $(r + R) e^{j (θ + φ)}$ ni res semblant. Per sumar o restar cal passar a binòmica. L'única excepció pràctica és quan els dos sumands tenen el mateix argument (són "paral·lels"): aleshores sí que $r e^{j θ} + R e^{j θ} = (r + R) e^{j θ}$ .

Quina forma convé per a cada operació

Què domina l'expressió	Forma recomanada
Suma, resta, $Re$ , $Im$ , conjugat aïllat	Binòmica
Producte o quocient d'un parell de factors	Qualsevol; binòmica si ja hi són
Potència alta ( $n \geq 4$ ), quocient de potències	Exponencial
Potència petita dins d'una suma	Sovint binòmica
Arrels $n$ -èsimes	Exponencial, amb el terme $2 k π$
Logaritme, exponent complex	Exponencial, declarant branques
Equació quadràtica	Binòmica per als coeficients

La regla pràctica: primer decideix el llenguatge, després calcula. Canviar de forma a mig problema és una decisió estratègica, no un signe que t'has equivocat.

Expressions mixtes

Als exàmens és habitual una expressió on el numerador demana binòmica i el denominador demana exponencial. Es resol cada tros en la forma que li convé, i es fa la conversió només al final.

Una expressió mixta

Siguin $w_{1} = 2 + j$ i $w_{2} = 4 e^{j π /6}$ . Calcula en forma binòmica

\frac{w _{1}^{2} - w ˉ _{1}}{w ˉ _{2}^{2}} .

Numerador (binòmica): $w_{1}^{2} = 4 + 4 j + j^{2} = 3 + 4 j$ i $\overset{w}{ˉ}_{1} = 2 - j$ , així que $w_{1}^{2} - \overset{w}{ˉ}_{1} = 1 + 5 j$ .

Denominador (exponencial): $\overset{w}{ˉ}_{2} = 4 e^{- j π /6}$ , i $\overset{w}{ˉ}_{2}^{2} = 16 e^{- j π /3}$ .

Quocient: dividir per $16 e^{- j π /3}$ és multiplicar per $\frac{1}{16} e^{j π /3} = \frac{1}{16} (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} j)$ :

\frac{( 1 + 5 j ) ( \frac{1}{2} + \frac{3}{2} j )}{16} = \frac{( \frac{1}{2} - \frac{5 3}{2} ) + ( \frac{3}{2} + \frac{5}{2} ) j}{16} = \frac{( 1 - 5 3 ) + ( 3 + 5 ) j}{32} .

Numèricament, $\approx - 0, 2394 + 0, 2104 j$ . Comprovació de mòduls: $∣1 + 5 j ∣/16 = 26 /16 \approx 0, 3187$ , i $0, 239 4^{2} + 0, 210 4^{2} \approx 0, 3187$ . Correcte.

Interpretació geomètrica del producte

Multiplicar per $w = R e^{j φ}$ és una transformació del pla: gira un angle $φ$ (sentit antihorari si $φ > 0$ ) i escala el mòdul un factor $R$ . Casos particulars que val la pena visualitzar:

Multiplicar per $j = e^{j π /2}$ és un gir de $9 0^{\circ}$ sense canvi de mida: $j (3 + 2 j) = - 2 + 3 j$ , que efectivament és el vector $(3, 2)$ girat un quart de volta.
Multiplicar per $- 1 = e^{j π}$ és un gir de mitja volta.
Multiplicar per un real positiu és una homotècia pura.
Multiplicar per $2 e^{j π /3}$ dobla la mida i gira $6 0^{\circ}$ : $(1 + j) \cdot 2 e^{j π /3}$ passa de mòdul $2$ i argument $π /4$ a mòdul $22$ i argument $π /4 + π /3 = 7 π /12$ .

Dividir fa el contrari: gira $- φ$ i escala $1/ R$ . Conjugar reflecteix respecte a l'eix real. Aquesta lectura geomètrica és la que després explica per què les arrels $n$ -èsimes formen un polígon regular i per què $e^{j y}$ fa girar l'exponencial complexa.

Protocol de resolució

Llegeix què demanen: forma binòmica final, exponencial, només $Re$ o $Im$ , o un mòdul.
Classifica l'operació dominant amb la taula anterior i tria la forma de cada tros.
Converteix amb cura: en el pas a exponencial, mòdul, quadrant i argument principal, en aquest ordre; en el pas a binòmica, radicals exactes si l'angle és notable.
Opera en el llenguatge escollit. En binòmica vigila $j^{2} = - 1$ ; en exponencial vigila que només se sumen arguments quan es multipliquen nombres.
Converteix al final a la forma demanada.
Comprova: un mòdul (és multiplicatiu, així que és barat de calcular) o una substitució inversa (multiplica el quocient pel denominador).

Llista de comprovació

Has escrit $Im z$ com un real, sense la $j$ ?
Has decidit el quadrant amb els signes de $a$ i $b$ , no amb la calculadora?
L'argument principal és a $(- π, π]$ ? Els reals negatius tenen argument $π$ .
Has mantingut radicals i fraccions on l'angle era notable?
Has sumat mòduls o arguments en alguna suma? (No es pot.)
Has comprovat el resultat amb un mòdul o una substitució?

Exercicis proposats

Exercici 1. Escriu en forma exponencial, amb argument principal, els nombres $- 1 - 3 j$ , $5 j$ , $- 4$ i $3 - 3 j$ .

Solució de l'exercici 1

$- 1 - 3 j$ : mòdul $2$ , signes $(-, -)$ , quadrant III, angle de referència $π /3$ : $Arg = - π + π /3 = - 2 π /3$ . Resultat $2 e^{- j 2 π /3}$ .
$5 j$ : sobre el semieix imaginari positiu, mòdul $5$ , argument $π /2$ : $5 e^{j π /2}$ .
$- 4$ : real negatiu, mòdul $4$ , argument $π$ (no $- π$ ): $4 e^{j π}$ .
$3 - 3 j$ : mòdul $18 = 32$ , quadrant IV, angle de referència $π /4$ : $32 e^{- j π /4}$ .

Exercici 2. Calcula en forma binòmica $(1 - 2 j) (3 + j)$ i $\frac{4 + 3 j}{1 - j}$ , i comprova el quocient multiplicant.

Solució de l'exercici 2

Producte: $(1 - 2 j) (3 + j) = 3 + j - 6 j - 2 j^{2} = 3 + 2 - 5 j = 5 - 5 j$ .

Quocient: $\frac{( 4 + 3 j ) ( 1 + j )}{1 + 1} = \frac{4 + 4 j + 3 j + 3 j ^{2}}{2} = \frac{1 + 7 j}{2} = 0, 5 + 3, 5 j$ .

Comprovació: $(0, 5 + 3, 5 j) (1 - j) = 0, 5 - 0, 5 j + 3, 5 j - 3, 5 j^{2} = 4 + 3 j$ . Correcte.

Exercici 3. Siguin $z = 2 e^{j π /3}$ i $w = 1 - j$ . Calcula $z w$ en forma exponencial i en forma binòmica, i després $Im (z^{2} + \overset{w}{ˉ})$ .

Solució de l'exercici 3

Primer $w = 2 e^{- j π /4}$ (quadrant IV). Aleshores $z w = 22 e^{j (π /3 - π /4)} = 22 e^{j π /12}$ .

En binòmica és més ràpid usar $z = 2 (cos \frac{π}{3} + j sin \frac{π}{3}) = 1 + 3 j$ : $z w = (1 + 3 j) (1 - j) = 1 - j + 3 j - 3 j^{2} = (1 + 3) + (3 - 1) j \approx 2, 732 + 0, 732 j$ . Comprovació: mòdul $2, 73 2^{2} + 0, 73 2^{2} \approx 2, 828 = 22$ .

Per a la part imaginària: $z^{2} = 4 e^{j 2 π /3} = - 2 + 23 j$ i $\overset{w}{ˉ} = 1 + j$ , així que $z^{2} + \overset{w}{ˉ} = - 1 + (23 + 1) j$ i $Im (z^{2} + \overset{w}{ˉ}) = 23 + 1 \approx 4, 464$ (un real, sense $j$ ).

Amb aquestes eines ja pots abordar les potències, arrels i equacions i, més endavant, posar-te a prova amb els exàmens resolts del bloc.