Distribució binomial: combinatòria, variables discretes i exercicis resolts

⏱ 9 min de lectura🔄 Actualitzat el 7 de setembre del 2026Selectivitat

La distribució binomial és el model que apareix a les PAU cada vegada que un enunciat repeteix un experiment un nombre fix de vegades i compta quantes en surten bé: peces defectuoses en un lot, preguntes encertades a l'atzar, persones esquerranes en un grup. Per treballar-hi amb comoditat necessites tres coses que veuràs en aquesta pàgina: una mica de combinatòria per comptar casos, la idea de variable aleatòria discreta amb la seva esperança i variància, i la fórmula de la binomial $B (n, p)$ amb les traduccions de «com a mínim», «com a màxim» i «almenys un». Tots els valors numèrics estan comprovats.

Combinatòria bàsica: comptar sense llistar

La combinatòria no sol ser una pregunta en si mateixa a les PAU, però la necessites per aplicar la regla de Laplace quan els casos són massa nombrosos per enumerar-los, i és d'on surt el coeficient de la binomial.

El factorial d'un nombre natural és el producte de tots els naturals fins a ell: $n! = n \cdot (n - 1) \dots 2 \cdot 1$ , amb el conveni $0! = 1$ . Per exemple, $5! = 120$ .

Permutacions, variacions i combinacions

Permutacions de $n$ elements: maneres d'ordenar $n$ objectes diferents. $P_{n} = n!$
Variacions sense repetició: triar $k$ elements d'entre $n$ , amb ordre i sense repetir. $V_{n, k} = \frac{n !}{( n - k )!} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)$
Variacions amb repetició: triar $k$ elements d'entre $n$ , amb ordre i podent repetir. $V R_{n, k} = n^{k}$
Combinacions: triar $k$ elements d'entre $n$ sense que importi l'ordre. $C_{n, k} = (k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

El símbol $(k n)$ es llegeix « $n$ sobre $k$ » i s'anomena nombre combinatori. Compleix $(0 n) = (n n) = 1$ , $(1 n) = n$ i la simetria $(k n) = (n - k n)$ , que estalvia càlculs: $(7 10) = (3 10) = 120$ .

Per decidir quina fórmula toca, fes-te dues preguntes: importa l'ordre? i es poden repetir elements? Si l'ordre importa, són permutacions (si hi entren tots) o variacions (si només en tries alguns); si no importa, combinacions. Uns quants casos:

Ordenar 5 llibres en una prestatgeria: $P_{5} = 5! = 120$ .
Podi (or, plata, bronze) entre 8 corredors: l'ordre importa i no es repeteixen, $V_{8, 3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ .
Codis de 3 lletres de l'alfabet de 26: $V R_{26, 3} = 2 6^{3} = 17576$ .
Triar 3 persones d'un grup de 8 per a una comissió: l'ordre no importa, $(3 8) = 56$ .
Combinacions de la loteria primitiva (6 nombres de 49): $(6 49) = 13983816$ .

Laplace amb combinacions

D'un grup de 10 persones, 6 dones i 4 homes, se'n trien 3 a l'atzar. Probabilitat que siguin tres dones, i probabilitat que hi hagi exactament dues dones.

Els casos possibles són $(3 10) = 120$ (l'ordre de la tria no importa). Els favorables al primer succés són $(3 6) = 20$ , així que

P (3 dones) = \frac{( 3 6 )}{( 3 10 )} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6} .

Per a «exactament dues dones» cal triar 2 dones d'entre 6 i 1 home d'entre 4, i les tries es multipliquen:

P (2 dones i 1 home) = \frac{( 2 6 ) ( 1 4 )}{( 3 10 )} = \frac{15 \cdot 4}{120} = \frac{1}{2} .

I «almenys una dona» surt pel complementari: $1 - (3 4) /120 = 1 - 4/120 = 29/30$ .

Barrejar ordre i no ordre

Si comptes els casos favorables amb ordre (variacions), els possibles també han de ser amb ordre; i si els comptes sense ordre (combinacions), tots dos sense. Barrejar-ho dona probabilitats més grans que 1 o resultats absurds.

Variables aleatòries discretes

Una variable aleatòria és una regla que assigna un nombre a cada resultat de l'experiment: «nombre de cares en 3 tirades», «guany en un joc», «nombre de peces defectuoses en un paquet». És discreta quan pren valors aïllats (normalment $0, 1, 2, \dots$ ).

Funció de probabilitat

La distribució d'una variable discreta $X$ queda determinada per les probabilitats de cada valor, $P (X = x_{i}) = p_{i}$ , que han de complir

p_{i} \geq 0 i i \sum p_{i} = 1.

D'aquesta taula de valors i probabilitats se'n treuen tres nombres que la resumeixen:

E (X) = μ = i \sum x_{i} p_{i}, Var (X) = σ^{2} = i \sum x_{i}^{2} p_{i} - μ^{2} = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}, σ = Var (X) .

L'esperança és la mitjana teòrica que obtindries a la llarga si repetissis l'experiment moltes vegades; no cal que sigui un valor possible de la variable (l'esperança de «nombre de cares en una tirada» és $0.5$ ). La variància mesura com de dispersos són els valors al voltant de l'esperança, i la desviació típica és la seva arrel, en les mateixes unitats que $X$ .

Esperança i variància d'un joc amb un dau

En un joc de fira llances un dau: si surt un 6 guanyes 6 €, si surt un 2 o un 4 guanyes 2 €, i si surt senar no guanyes res. Quant hauria de costar jugar perquè el joc fos just?

Sigui $X$ el guany. La seva funció de probabilitat és

$x_{i}$	6	2	0
$p_{i}$	$1/6$	$2/6$	$3/6$

Comprova que les probabilitats sumen 1. L'esperança és

E (X) = 6 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{2}{6} + 0 \cdot \frac{3}{6} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.67 € .

Per a la variància calculem primer $E (X^{2}) = 36 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{2}{6} + 0 = 6 + \frac{4}{3} = \frac{22}{3}$ , de manera que

Var (X) = \frac{22}{3} - (\frac{5}{3})^{2} = \frac{66 - 25}{9} = \frac{41}{9} \approx 4.56, σ \approx 2.13 € .

El joc seria just si costés $5/3 \approx 1.67$ € per partida: a la llarga, ni el jugador ni el firaire guanyarien diners.

Un càlcul ràpid per comprovar la fórmula

Amb dues monedes, $X$ = nombre de cares val 0, 1 o 2 amb probabilitats $1/4$ , $1/2$ , $1/4$ . Surt $E (X) = 1$ i $Var (X) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{2}$ . Si fas un exercici semblant i et surt una variància negativa, has restat malament $μ^{2}$ .

La distribució binomial

Quan una variable és binomial

Una variable $X$ segueix una distribució binomial de paràmetres $n$ i $p$ , i s'escriu $X \sim B (n, p)$ , si compta el nombre d'èxits en $n$ repeticions d'un experiment que compleix:

El nombre de proves $n$ és fix.
Cada prova només té dos resultats: èxit (amb probabilitat $p$ ) o fracàs (amb probabilitat $q = 1 - p$ ).
La probabilitat d'èxit $p$ és la mateixa a totes les proves.
Les proves són independents.

«Èxit» és simplement el resultat que comptem, encara que sigui una peça defectuosa o una persona malalta. La condició que més falla és la quarta: si trec peces sense reposició d'una caixa petita, la probabilitat de defectuosa canvia a cada extracció i la variable no és binomial (cal un arbre). Si la població és enorme respecte de la mostra (una producció de milers de peces), l'aproximació binomial és acceptable, però convé dir-ho.

Funció de probabilitat, esperança i desviació típica de B(n,p)

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}, k = 0, 1, \dots, n .

E (X) = n p, Var (X) = n p (1 - p), σ = n p (1 - p) .

La fórmula té una lectura senzilla: $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ és la probabilitat d'una seqüència concreta amb $k$ èxits i $n - k$ fracassos (es multiplica per independència), i $(k n)$ compta quantes seqüències diferents tenen exactament $k$ èxits, perquè els èxits poden ocupar qualssevol $k$ posicions de les $n$ . Oblidar el coeficient és l'error més freqüent.

Traduir les preguntes

Frase de l'enunciat	Càlcul
Exactament $k$ èxits	$P (X = k)$
Com a màxim $k$	$P (X \leq k) = P (X = 0) + \dots + P (X = k)$
Menys de $k$	$P (X < k) = P (X \leq k - 1)$
Com a mínim $k$ , almenys $k$	$P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)$
Més de $k$	$P (X > k) = 1 - P (X \leq k)$
Cap	$P (X = 0) = (1 - p)^{n}$
Almenys un	$P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - (1 - p)^{n}$

La regla pràctica: quan la desigualtat inclou molts valors, passa al complementari i suma els pocs que queden. «Almenys un» és sempre $1 - (1 - p)^{n}$ .

Dispositius que fallen

Un dispositiu electrònic falla durant el primer any amb probabilitat $0.1$ , independentment dels altres. Una empresa n'instal·la 8. Calcula la probabilitat que en fallin exactament 2, que en falli almenys un i que en fallin com a màxim un. Quants se n'espera que fallin?

Sigui $X$ = «nombre de dispositius que fallen». Hi ha $n = 8$ proves independents, cadascuna amb dos resultats i amb la mateixa probabilitat de fallada, així que $X \sim B (8, 0.1)$ .

Exactament 2:

P (X = 2) = (2 8) 0. 1^{2} 0. 9^{6} = 28 \cdot 0.01 \cdot 0.5314 \approx 0.1488.

Almenys un (complementari de «cap»):

P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - 0. 9^{8} = 1 - 0.4305 = 0.5695.

Com a màxim un:

P (X \leq 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0. 9^{8} + 8 \cdot 0.1 \cdot 0. 9^{7} = 0.4305 + 0.3826 = 0.8131.

Esperança i desviació: $E (X) = 8 \cdot 0.1 = 0.8$ dispositius, $σ = 8 \cdot 0.1 \cdot 0.9 = 0.72 \approx 0.85$ . De mitjana, en fallarà menys d'un, però la probabilitat que en fallin dos o més és $1 - 0.8131 = 0.1869$ , gens menyspreable.

Un test respost a l'atzar

Un test té 10 preguntes amb 4 opcions cadascuna, una de correcta. Un estudiant respon totes les preguntes a l'atzar. Probabilitat d'encertar-ne exactament 3, i d'encertar-ne 5 o més.

$X$ = «nombre d'encerts» $\sim B (10, 0.25)$ , perquè cada pregunta és una prova independent amb probabilitat d'èxit $1/4$ .

P (X = 3) = (3 10) 0.2 5^{3} 0.7 5^{7} = 120 \cdot 0.015625 \cdot 0.1335 \approx 0.2503.

Per a «5 o més» convindria sumar sis termes ( $k = 5, \dots, 10$ ); és més curt el complementari:

P (X \geq 5) = 1 - P (X \leq 4) = 1 - (0.0563 + 0.1877 + 0.2816 + 0.2503 + 0.1460) = 1 - 0.9219 \approx 0.0781.

Només un 7,8 % dels estudiants que responen a l'atzar encerten la meitat o més. L'esperança és $E (X) = 2.5$ encerts, amb $σ = 10 \cdot 0.25 \cdot 0.75 \approx 1.37$ .

Quan una binomial en porta una altra

Un patró típic de PAU és calcular primer una probabilitat $q$ amb una binomial (o amb un complementari) i després usar-la com a $p$ d'una segona binomial sobre paquets, lots o persones.

Paquets retornats: doble binomial

Una fàbrica produeix peces amb un 4 % de defectuoses. Es venen en paquets de 5, i un paquet es retorna si conté almenys una peça defectuosa. a) Probabilitat que un paquet sigui retornat. b) Si un client compra 3 paquets, probabilitat que n'hagi de retornar almenys un.

a) $X$ = «defectuoses en un paquet» $\sim B (5, 0.04)$ . Un paquet es retorna si $X \geq 1$ :

q = P (X \geq 1) = 1 - 0.9 6^{5} = 1 - 0.8154 = 0.1846.

b) Ara cada paquet és una prova amb probabilitat d'èxit («ser retornat») $q = 0.1846$ , i els paquets són independents. $Y$ = «paquets retornats» $\sim B (3, 0.1846)$ :

P (Y \geq 1) = 1 - P (Y = 0) = 1 - (1 - 0.1846)^{3} = 1 - 0.815 4^{3} = 1 - 0.5421 = 0.4579.

Gairebé la meitat dels clients que compren 3 paquets n'han de retornar algun.

Com redactar la resposta a l'examen

El corrector vol veure que has identificat el model i no només que has fet un càlcul. La redacció model és:

Sigui $X$ la variable aleatòria que compta el nombre de ... en les $n$ repeticions. Com que les repeticions són independents, cada una només té dos resultats (èxit/fracàs) i la probabilitat d'èxit és constant $p = \dots$ , tenim $X \sim B (n, p)$ . La probabilitat demanada és $P (X \dots)$ , que es calcula com ... Per tant, ...

I si l'enunciat demana l'esperança, escriu la fórmula $E (X) = n p$ , el valor i una frase: «de mitjana s'espera que ... ».

Justificar el model dona punts

Els criteris de correcció valoren explícitament que escriguis $X \sim B (n, p)$ amb els valors de $n$ i $p$ i que diguis per què és binomial. Un resultat correcte sense aquesta justificació pot perdre la meitat de la puntuació de l'apartat.

Errors que costen punts a la binomial

Oblidar el nombre combinatori en $P (X = k)$ : la probabilitat surt molt més petita del que toca.
Confondre $<$ amb $\leq$ : «menys de 3» és $P (X \leq 2)$ , «com a màxim 3» és $P (X \leq 3)$ .
No usar el complementari i sumar vuit termes quan en bastava un.
Aplicar la binomial sense reposició en una caixa petita.
Donar la variància com a desviació típica: $σ$ és l'arrel de $n p (1 - p)$ .

Llista de comprovació abans d'entregar

Has definit $X$ amb una frase i has escrit $X \sim B (n, p)$ ?
Has justificat les quatre condicions (proves fixes, dos resultats, $p$ constant, independència)?
Has traduït la pregunta a una igualtat o desigualtat amb $X$ ?
Si la desigualtat és llarga, has passat al complementari?
Has inclòs $(k n)$ a cada terme?
Has interpretat el resultat en el context?

Quan $n$ és gran, calcular sumes llargues es fa pesat: a la pàgina de la distribució normal veuràs com aproximar la binomial amb la correcció de continuïtat. I si el problema pregunta per una proporció estimada a partir d'una mostra, el tema és el dels intervals de confiança.

Exercicis proposats

Exercici 1. Es llança una moneda equilibrada 6 vegades. a) Probabilitat d'obtenir exactament 3 cares. b) Probabilitat d'obtenir 5 cares o més. c) Probabilitat d'obtenir com a màxim una cara. d) Esperança i desviació típica del nombre de cares.

Solució de l'exercici 1

$X$ = «nombre de cares» $\sim B (6, 0.5)$ , perquè les tirades són independents i $p = 1/2$ és constant. Com que $p = 1 - p$ , cada terme és $(k 6) / 2^{6} = (k 6) /64$ .

a) $P (X = 3) = \frac{( 3 6 )}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16} = 0.3125$ .

b) $P (X \geq 5) = P (X = 5) + P (X = 6) = \frac{6 + 1}{64} = \frac{7}{64} \approx 0.109$ .

c) $P (X \leq 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = \frac{1 + 6}{64} = \frac{7}{64}$ (coincideix amb b) per la simetria de $p = 0.5$ ).

d) $E (X) = 6 \cdot 0.5 = 3$ cares; $σ = 6 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 1.5 \approx 1.22$ .

Exercici 2. En un club hi ha 7 dones i 5 homes. Se'n trien 4 a l'atzar per formar un equip. a) Quants equips diferents es poden formar? b) Probabilitat que l'equip tingui dues dones i dos homes. c) Probabilitat que hi hagi almenys un home.

Solució de l'exercici 2

a) L'ordre no importa: $(4 12) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 !} = 495$ equips.

b) Cal triar 2 dones d'entre 7 i 2 homes d'entre 5: $(2 7) (2 5) = 21 \cdot 10 = 210$ casos favorables, i per Laplace

P (2 dones i 2 homes) = \frac{210}{495} = \frac{14}{33} \approx 0.424.

c) El complementari d'«almenys un home» és «cap home», és a dir, quatre dones: $(4 7) = 35$ casos. Per tant $P (almenys un home) = 1 - \frac{35}{495} = 1 - \frac{7}{99} = \frac{92}{99} \approx 0.929$ .

Fixa't que aquí no és una binomial: les persones es trien sense reposició d'un grup petit.

Exercici 3. El 12 % de la població és esquerrana. Es tria a l'atzar un grup de 15 persones. a) Justifica quin model segueix el nombre d'esquerrans del grup. b) Probabilitat que hi hagi exactament 2 esquerrans. c) Probabilitat que n'hi hagi 2 o més. d) Quants esquerrans s'espera trobar en el grup?

Solució de l'exercici 3

a) $X$ = «nombre d'esquerrans entre les 15 persones». Cada persona és una prova amb dos resultats (esquerrà o no), la probabilitat $p = 0.12$ és la mateixa per a tothom i, com que la població és molt gran, les tries són independents. Per tant $X \sim B (15, 0.12)$ .

b) $P (X = 2) = (2 15) 0.1 2^{2} 0.8 8^{13} = 105 \cdot 0.0144 \cdot 0.1898 \approx 0.287$ .

c) Complementari: $P (X \geq 2) = 1 - P (X = 0) - P (X = 1) = 1 - 0.8 8^{15} - 15 \cdot 0.12 \cdot 0.8 8^{14} = 1 - 0.1470 - 0.3006 \approx 0.552$ .

d) $E (X) = 15 \cdot 0.12 = 1.8$ esquerrans. La desviació típica és $σ = 15 \cdot 0.12 \cdot 0.88 \approx 1.26$ .

📄 Vols aquest tema en paper? Descarrega el resum del bloc en PDF.

Descarrega el PDF