Potències, arrels n-èsimes i equacions amb nombres complexos: De Moivre

Elevar a una potència, extreure arrels $n$-èsimes i resoldre equacions són les operacions on la forma exponencial demostra tot el seu valor: una potència multiplica l'argument, una arrel el divideix, i el terme $2k\pi$ que a la pàgina de representació i operacions semblava una curiositat es converteix aquí en la font de totes les solucions. En aquesta pàgina veuràs la fórmula de De Moivre, per què $z^n = w$ té exactament $n$ solucions disposades en un polígon regular, com resoldre equacions de grau superior factoritzant, i com la fórmula quadràtica funciona igual amb coeficients complexos si saps calcular l'arrel quadrada d'un complex. Tot amb comprovació al final, que és el que distingeix una resposta d'examen completa.

Les potències multipliquen l'argument

Si $z = r e^{j\theta}$ i $n \in \mathbb{N}$, aplicar $n$ vegades la regla del producte (mòduls es multipliquen, arguments se sumen) dona

$$z^n = r^n e^{jn\theta} .$$

Escrit en forma trigonomètrica, això és la fórmula clàssica:

Geomètricament, elevar a $n$ transforma el mòdul $r \mapsto r^n$ i l'argument $\theta \mapsto n\theta$ (mòdul $2\pi$). Si $r > 1$ les potències s'allunyen de l'origen en espiral; si $0 < r < 1$ s'hi acosten; si $r = 1$ es queden a la circumferència unitat donant voltes. La fórmula també val per a exponents negatius: $z^{-1} = \tfrac{1}{r}e^{-j\theta}$, que és el conjugat dividit pel quadrat del mòdul, coherent amb $z\bar z = |z|^2$.

Quan la forma binòmica és més curta

Si l'argument no és notable, la forma exponencial explica el resultat (el mòdul, per exemple) però no dona una forma binòmica exacta sense passar per decimals. Per a exponents petits, sovint és més curt quadrar repetidament en binòmica.

Les potències de $j$ fan un cicle

Com que $j^2 = -1$, tenim $j^3 = -j$ i $j^4 = 1$, i a partir d'aquí tot es repeteix amb període $4$: $j^n$ només depèn del residu de $n$ mòdul $4$.

$n \bmod 4$	$0$	$1$	$2$	$3$
$j^n$	$1$	$j$	$-1$	$-j$

Per exemple, $2026 = 4 \cdot 506 + 2$, de manera que $j^{2026} = j^2 = -1$. És De Moivre amb $r = 1$ i $\theta = \pi/2$: $j^n = e^{jn\pi/2}$, i cada quatre passos es completa una volta.

El teorema fonamental fixa quantes arrels esperem

Dues conseqüències pràctiques. Primera: "$n$ arrels comptant multiplicitats" no vol dir $n$ valors diferents ($z^2 - 2z + 1$ té l'arrel $1$ doble). Segona: si tots els coeficients són reals i $z_0$ és arrel, aleshores $\bar z_0$ també ho és, perquè conjugar respecta sumes i productes: $\overline{p(z_0)} = p(\bar z_0)$. Les arrels no reals d'un polinomi real apareixen, doncs, en parelles conjugades, i un polinomi real de grau senar té almenys una arrel real. Aquest fet és una comprovació gratuïta: si resols $z^3 - 8 = 0$ i les dues arrels no reals no són conjugades, hi ha un error.

Arrels n-èsimes: n direccions

Volem resoldre $z^n = w$ amb $w = r e^{j\theta} \neq 0$. El truc és escriure $w$ amb tots els seus arguments, $w = r e^{j(\theta + 2k\pi)}$, i aplicar l'arrel real al mòdul i dividir l'argument per $n$:

Totes les arrels tenen el mateix mòdul $\sqrt[n]{r}$ i els arguments consecutius se separen $2\pi/n$. Per tant, són els vèrtexs d'un polígon regular de $n$ costats inscrit a la circumferència de radi $\sqrt[n]{r}$. Aquesta geometria és una comprovació de completitud: si has trobat $n$ punts equiespaiats a la mateixa circumferència, hi són totes.

Si $w = 0$, l'única solució és $z = 0$ (amb multiplicitat $n$). I una observació de notació: escriurem sempre "solucions de $z^n = w$" en lloc d'usar $\sqrt[n]{w}$ com si fos un sol valor, perquè a $\mathbb{C}$ no ho és.

Equacions $z^n = w$ i equacions de grau superior

Una equació de la forma $z^n = w$ es resol directament amb la fórmula de les arrels. Si l'equació és més complicada, la primera feina és reconèixer-ne l'estructura abans de calcular:

Estructura	Decisió
$z^n = w$	Arrels $n$-èsimes
$z^4 + az^2 + b = 0$	Canvi $t = z^2$; després $z^2 = t_i$
$z^6 + az^3 + b = 0$	Canvi $t = z^3$; després arrels cúbiques
Factor comú $z$	Extreu-lo: una de les solucions és $z = 0$
Coeficients reals	Busca parelles conjugades
Factorització disponible	Resol cada factor per separat

Arrels quadrades exactes d'un complex

Abans d'atacar la quadràtica cal saber resoldre $\delta^2 = \Delta$ per a un $\Delta = p + qj$ donat. Hi ha dues vies.

Via polar. Passa $\Delta$ a exponencial i aplica la fórmula amb $n = 2$: dues solucions $\pm\sqrt{|\Delta|}\,e^{j\operatorname{Arg}(\Delta)/2}$, separades $\pi$. És immediata si l'argument és notable: per exemple $\delta^2 = 2j = 2e^{j\pi/2}$ dona $\delta = \pm\sqrt2\,e^{j\pi/4} = \pm(1 + j)$. Si l'argument no és notable, el resultat queda en decimals.

Via binòmica. Escriu $\delta = u + vj$ amb $u, v$ reals. Com que $(u + vj)^2 = (u^2 - v^2) + 2uv\,j$, cal

$$u^2 - v^2 = p, \qquad 2uv = q .$$

Afegint-hi $u^2 + v^2 = |\delta|^2 = |\Delta| = \sqrt{p^2 + q^2}$ (el mòdul de $\delta^2$ és el quadrat del mòdul de $\delta$), les dues primeres es resolen sumant i restant:

Equació de segon grau amb coeficients complexos

Per a $az^2 + bz + c = 0$ amb $a, b, c \in \mathbb{C}$ i $a \neq 0$, la deducció per compleció de quadrats és idèntica a la real, i la fórmula no canvia:

$$\Delta = b^2 - 4ac, \qquad z_{1,2} = \frac{-b \pm \delta}{2a}, \quad \text{on } \delta \text{ és una solució de } \delta^2 = \Delta .$$

El que canvia és el coll d'ampolla: $\Delta$ és en general un complex i cal trobar-ne una arrel quadrada amb els mètodes anteriors. Es tria una sola $\delta$; el $\pm$ de la fórmula ja genera les dues solucions. I com que el discriminant és complex, no té sentit classificar les solucions per "signe de $\Delta$": sempre n'hi ha dues (o una de doble si $\Delta = 0$), en general no conjugades.

Per comprovar, les relacions de Vieta continuen valent: $z_1 + z_2 = -b/a$ i $z_1 z_2 = c/a$.

Protocol de resolució

1. Reconeix l'estructura: potència, $z^n = w$, canvi de variable, factor comú, quadràtica.
2. Potències: exponencial si $n$ és gran o l'angle és notable; quadrats successius en binòmica si $n$ és petit i l'angle no ho és. Redueix l'argument final a $(-\pi, \pi]$.
3. Arrels: escriu $w = re^{j(\theta + 2k\pi)}$, aplica $\sqrt[n]{r}$ al mòdul i divideix l'argument per $n$ per a $k = 0, \ldots, n - 1$. Dibuixa mentalment el polígon.
4. Quadràtica: identifica $a, b, c$ amb signes, calcula $\Delta$, troba una $\delta$ (via binòmica si l'argument no és notable), aplica la fórmula i divideix pel conjugat de $2a$.
5. Comprova: mòdul del resultat en potències, nombre i separació d'arrels, Vieta o substitució directa en equacions.

Exercicis proposats

Exercici 1. Calcula $(\sqrt3 - j)^{12}$.

Solució de l'exercici 1

$\sqrt3 - j$ té mòdul $2$ i és al quadrant IV amb angle de referència $\pi/6$: $\sqrt3 - j = 2e^{-j\pi/6}$. Aleshores $(\sqrt3 - j)^{12} = 2^{12} e^{-j12\pi/6} = 4096\,e^{-2\pi j} = 4096$. Un real positiu: dotze girs de $-30^\circ$ són exactament una volta sencera.

Exercici 2. Resol $z^3 = -27j$ i escriu les solucions en forma binòmica. Quina figura formen?

Solució de l'exercici 2

$-27j = 27e^{-j\pi/2}$. Mòdul de les arrels $\sqrt[3]{27} = 3$; arguments $\dfrac{-\pi/2 + 2k\pi}{3}$: $-\pi/6$, $\pi/2$ i $7\pi/6 \equiv -5\pi/6$.

$$z_0 = 3e^{-j\pi/6} = \frac{3\sqrt3}{2} - \frac32 j, \qquad z_1 = 3e^{j\pi/2} = 3j, \qquad z_2 = 3e^{-j5\pi/6} = -\frac{3\sqrt3}{2} - \frac32 j .$$

Triangle equilàter de radi $3$. Comprovació: $(3j)^3 = 27j^3 = -27j$.

Exercici 3. Resol $z^2 - (1 + 2j)z + (3 + 3j) = 0$ i comprova amb Vieta.

Solució de l'exercici 3

$a = 1$, $b = -(1 + 2j)$, $c = 3 + 3j$. Discriminant: $\Delta = (1 + 2j)^2 - 4(3 + 3j) = (1 + 4j - 4) - 12 - 12j = -15 - 8j$.

Arrel quadrada: $|\Delta| = \sqrt{225 + 64} = 17$; $u^2 = (17 - 15)/2 = 1$, $v^2 = (17 + 15)/2 = 16$; $q = -8 < 0$, signes oposats: $\delta = 1 - 4j$. Comprovació: $(1 - 4j)^2 = 1 - 8j - 16 = -15 - 8j$.

$$z = \frac{(1 + 2j) \pm (1 - 4j)}{2} \;\Longrightarrow\; z_1 = \frac{2 - 2j}{2} = 1 - j, \qquad z_2 = \frac{6j}{2} = 3j .$$

Vieta: $z_1 + z_2 = 1 + 2j = -b/a$ i $z_1 z_2 = (1 - j)(3j) = 3j + 3 = c/a$. Correcte.

A la pàgina següent, les funcions complexes, el terme $2k\pi$ torna a aparèixer, aquesta vegada dins del logaritme. I si vols practicar en format d'examen, tens els exàmens resolts.