Sistemes d'equacions lineals: Rouché-Frobenius, Gauss i Cramer

⏱ 9 min de lectura🔄 Actualitzat el 7 de setembre del 2026Selectivitat

Els sistemes d'equacions lineals són l'exercici d'àlgebra que cau cada any a les PAU de Matemàtiques II. Gairebé sempre té la mateixa forma: un sistema de tres equacions amb tres incògnites i un paràmetre, i et demanen primer discutir-lo (dir quantes solucions té segons el valor del paràmetre) i després resoldre'l per a un valor concret. En aquesta pàgina veuràs tot el que cal per fer-ho sense deixar-te cap cas.

Què és un sistema lineal i com s'escriu en forma matricial

Un sistema de $m$ equacions lineals amb $n$ incògnites té la forma

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} ⋮ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{mn} x_{n} = b_{m}

Els nombres $a_{ij}$ són els coeficients i els $b_{i}$ són els termes independents. Tot el sistema es pot resumir amb una sola igualtat de matrius, $A X = B$ :

A a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn} X x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} = B b_{1} b_{2} ⋮ b_{m}

La matriu $A$ s'anomena matriu de coeficients, i si hi afegim la columna dels termes independents obtenim la matriu ampliada, que s'escriu $(A ∣ B)$ . Aquestes dues matrius són les protagonistes de tota la discussió: comparar-ne els rangs és el que ens dirà quantes solucions hi ha.

Tipus de sistemes segons el nombre de solucions

Sistema compatible determinat (SCD): té exactament una solució.
Sistema compatible indeterminat (SCI): té infinites solucions.
Sistema incompatible (SI): no té cap solució.

El teorema de Rouché-Frobenius

El teorema de Rouché-Frobenius diu com classificar un sistema només mirant dos rangs. Si $n$ és el nombre d'incògnites:

Teorema de Rouché-Frobenius

Si $rang (A) \neq = rang (A ∣ B)$ , el sistema és incompatible.
Si $rang (A) = rang (A ∣ B) = n$ , el sistema és compatible determinat.
Si $rang (A) = rang (A ∣ B) < n$ , el sistema és compatible indeterminat, i el nombre de paràmetres lliures de la solució és $n - rang (A)$ .

La idea intuïtiva és senzilla. El rang de $A$ compta quantes equacions són realment independents. Si en afegir la columna $B$ el rang puja, vol dir que hi ha una equació que contradiu les altres (com $0 = 3$ ) i per tant no hi ha solució. Si els rangs coincideixen, el sistema és compatible, i només queda veure si hi ha prou equacions independents per fixar totes les incògnites.

Condició	Tipus	Solucions
$rang (A) \neq = rang (A ∣ B)$	SI	Cap
$rang (A) = rang (A ∣ B) = n$	SCD	Una
$rang (A) = rang (A ∣ B) < n$	SCI	Infinites, amb $n - rang (A)$ paràmetres

Atenció PAU

El rang de la matriu ampliada mai no pot ser més petit que el de $A$ , perquè $(A ∣ B)$ conté $A$ a dins. Per tant només hi ha dues opcions: o són iguals o $rang (A ∣ B) = rang (A) + 1$ . Si et surt una altra cosa, hi ha un error de càlcul.

Mètode de Gauss

El mètode de Gauss consisteix a transformar el sistema en un altre d'equivalent (amb les mateixes solucions) que sigui escalonat, és a dir, que cada equació tingui una incògnita menys que l'anterior. Les úniques operacions permeses són:

Intercanviar dues equacions.
Multiplicar una equació per un nombre diferent de zero.
Sumar a una equació un múltiple d'una altra.

En la pràctica es treballa amb la matriu ampliada, fent zeros sota la diagonal columna a columna.

Exemple resolt amb Gauss

Resol el sistema

⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 6 2 x - y + z = 3 x + 2 y - z = 2

Escrivim la matriu ampliada i fem zeros a la primera columna amb $F_{2} \to F_{2} - 2 F_{1}$ i $F_{3} \to F_{3} - F_{1}$ :

121 1 - 1 2 11 - 1 632 ⟶ 100 1 - 3 1 1 - 1 - 2 6 - 9 - 4

Ara fem un zero a la segona columna de la tercera fila amb $F_{3} \to 3 F_{3} + F_{2}$ :

100 1 - 3 0 1 - 1 - 7 6 - 9 - 21

El sistema ja és escalonat. De l'última fila, $- 7 z = - 21$ , de manera que $z = 3$ . De la segona, $- 3 y - 3 = - 9$ , així que $y = 2$ . De la primera, $x + 2 + 3 = 6$ i per tant $x = 1$ .

Solució: $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ . Comprovació ràpida a la segona equació: $2 \cdot 1 - 2 + 3 = 3$ . Correcte.

Què pot passar en fer Gauss?

Si apareix una fila del tipus $0 = 0$ , aquella equació era redundant: la treiem i seguim.
Si apareix una fila del tipus $0 = c$ amb $c \neq = 0$ , el sistema és incompatible.
Si queden menys equacions útils que incògnites, el sistema és compatible indeterminat i les incògnites sobrants es converteixen en paràmetres.

Regla de Cramer

Quan el sistema és quadrat (tantes equacions com incògnites) i el determinant de la matriu de coeficients no és zero, cada incògnita es pot calcular directament amb un quocient de determinants:

x_{i} = \frac{∣ A _{i} ∣}{∣ A ∣},

on $A_{i}$ és la matriu que s'obté en substituir la columna $i$ de $A$ per la columna $B$ dels termes independents.

El mateix sistema amb Cramer

Per al sistema de l'exemple anterior, el determinant de coeficients és

∣ A ∣ = 121 1 - 1 2 11 - 1 = 1 - 4 + 1 - (- 1) - 2 - (- 2) = 7.

Com que $∣ A ∣ \neq = 0$ , podem aplicar Cramer. Per a $x$ substituïm la primera columna per $B = (6, 3, 2)$ :

x = \frac{1}{7} 632 1 - 1 2 11 - 1 = \frac{7}{7} = 1, y = \frac{1}{7} 121632 11 - 1 = \frac{14}{7} = 2, z = \frac{1}{7} 121 1 - 1 2 632 = \frac{21}{7} = 3.

Obtenim la mateixa solució $(1, 2, 3)$ , com havia de ser.

Gauss o Cramer?

A l'examen, Gauss és més segur per resoldre un sistema $3 \times 3$ complet, perquè cada pas és petit i es pot comprovar. Cramer és molt ràpid si el determinant surt senzill o si només et demanen una de les incògnites. El que no pots fer mai és aplicar Cramer quan $∣ A ∣ = 0$ : en aquest cas el sistema no és compatible determinat i cal discutir els rangs.

Discussió d'un sistema amb paràmetre

Aquest és l'apartat que dona més punts. El procediment és sempre el mateix:

Escriu la matriu de coeficients $A$ i l'ampliada $(A ∣ B)$ .
Calcula $∣ A ∣$ en funció del paràmetre i resol l'equació $∣ A ∣ = 0$ .
Per als valors del paràmetre que no anul·len el determinant, $rang (A) = 3 = rang (A ∣ B)$ i el sistema és compatible determinat.
Per a cada valor que sí que l'anul·la, substitueix el paràmetre a les matrius i calcula $rang (A)$ i $rang (A ∣ B)$ per separat. Aplica Rouché-Frobenius.
Si et demanen resoldre algun cas, fes-ho amb Gauss (o amb Cramer si és SCD).

Exemple resolt: discussió amb paràmetre

Discuteix el sistema segons els valors de $a$ i resol-lo quan sigui compatible.

⎩ ⎨ ⎧ x + y + a z = 1 x + a y + z = 1 a x + y + z = 1

Pas 1 i 2. El determinant de la matriu de coeficients és

∣ A ∣ = 11 a 1 a 1 a 11 = a + a + a - a^{3} - 1 - 1 = - a^{3} + 3 a - 2.

Resolem $- a^{3} + 3 a - 2 = 0$ , és a dir $a^{3} - 3 a + 2 = 0$ . Per Ruffini, $a = 1$ és arrel i el polinomi es factoritza com $(a - 1)^{2} (a + 2)$ . Els valors crítics són $a = 1$ i $a = - 2$ .

Pas 3. Cas $a \neq = 1$ i $a \neq = - 2$ . Com que $∣ A ∣ \neq = 0$ , tenim $rang (A) = rang (A ∣ B) = 3$ , igual al nombre d'incògnites: sistema compatible determinat. Per resoldre'l, fixa't que les tres equacions són simètriques en $x$ , $y$ , $z$ , de manera que la solució ha de complir $x = y = z$ . Substituint a la primera equació, $(a + 2) x = 1$ , i la solució única és

x = y = z = \frac{1}{a + 2} .

(Si no veus la simetria, Cramer dona el mateix resultat.)

Pas 4. Cas $a = 1$ . Les tres equacions es converteixen en la mateixa: $x + y + z = 1$ . Aleshores $rang (A) = rang (A ∣ B) = 1 < 3$ : sistema compatible indeterminat amb $3 - 1 = 2$ paràmetres. Les solucions són

(x, y, z) = (1 - λ - μ, λ, μ), λ, μ \in R .

Pas 4. Cas $a = - 2$ . El sistema queda

⎩ ⎨ ⎧ x + y - 2 z = 1 x - 2 y + z = 1 - 2 x + y + z = 1

El menor $11 1 - 2 = - 3 \neq = 0$ , així que $rang (A) = 2$ . Per a la matriu ampliada, agafem el menor format per les columnes primera, segona i dels termes independents:

11 - 2 1 - 2 1 111 = - 2 - 2 + 1 - 4 - 1 - 1 = - 9 \neq = 0,

de manera que $rang (A ∣ B) = 3$ . Com que els rangs no coincideixen, el sistema és incompatible. (Una manera ràpida de veure-ho: si sumes les tres equacions obtens $0 = 3$ , que és impossible.)

Resum de la discussió:

Valor de $a$	Rangs	Tipus
$a \neq = 1, a \neq = - 2$	$rang (A) = rang (A ∣ B) = 3$	SCD, solució $x = y = z = \frac{1}{a + 2}$
$a = 1$	$rang (A) = rang (A ∣ B) = 1$	SCI, 2 paràmetres
$a = - 2$	$rang (A) = 2 \neq = rang (A ∣ B) = 3$	SI

L'error que més punts costa

Dir que «com que el determinant és zero, el sistema no té solució». És fals: $∣ A ∣ = 0$ només vol dir que no és compatible determinat. Pot ser incompatible o compatible indeterminat, i per saber-ho cal comparar el rang de $A$ amb el de $(A ∣ B)$ . Cada valor crític del paràmetre s'ha d'estudiar per separat.

Sistemes homogenis

Un sistema és homogeni quan tots els termes independents són zero: $A X = 0$ . Aquests sistemes tenen dues propietats que simplifiquen molt la discussió:

Sempre són compatibles, perquè $x = y = z = 0$ (la solució trivial) compleix totes les equacions. Un sistema homogeni mai no pot ser incompatible.
Si és quadrat, hi ha solucions diferents de la trivial si i només si $∣ A ∣ = 0$ .

Per tant, en un sistema homogeni $3 \times 3$ la pregunta «per a quins valors del paràmetre té solucions no trivials?» es respon simplement resolent $∣ A ∣ = 0$ .

Interpretació geomètrica

Cada equació lineal amb tres incògnites és un pla de l'espai. Discutir un sistema $3 \times 3$ és, doncs, estudiar com es tallen tres plans:

SCD: els tres plans es tallen en un únic punt.
SCI amb 1 paràmetre: els tres plans tenen una recta en comú (com les pàgines d'un llibre obert).
SCI amb 2 paràmetres: els tres plans són el mateix pla.
SI: no hi ha cap punt comú als tres plans. Pot ser que dos siguin paral·lels, o que es tallin dos a dos formant un «prisma triangular».

Aquesta interpretació apareix sovint a les PAU com a pregunta curta i enllaça amb el bloc de geometria.

Problemes amb enunciat

A vegades el sistema no ve escrit, sinó amagat en un text. Els passos són:

Defineix les incògnites amb el seu significat i unitats (« $x$ = preu d'una entrada d'adult, en euros»).
Tradueix cada frase de l'enunciat a una equació.
Resol el sistema.
Interpreta la solució i comprova que té sentit (no hi pot haver preus negatius ni mig alumne).

Exemple amb enunciat

Un museu ven entrades d'adult, de jove i infantil. Una família paga 33 € per dues entrades d'adult, una de jove i una infantil. Un grup paga 36 € per una d'adult, dues de jove i dues infantils. Un altre grup paga 35 € per una d'adult, una de jove i tres infantils. Quant val cada entrada?

Siguin $a$ , $j$ , $i$ els preus (en euros) de l'entrada d'adult, de jove i infantil. El sistema és

⎩ ⎨ ⎧ 2 a + j + i = 33 a + 2 j + 2 i = 36 a + j + 3 i = 35

Restant la tercera equació a la segona s'obté $j - i = 1$ . Restant el doble de la tercera a la primera, $- j - 5 i = - 37$ , és a dir $j + 5 i = 37$ . Restant ara la primera d'aquestes dues igualtats a la segona, $6 i = 36$ , de manera que $i = 6$ i, per tant, $j = 7$ . Finalment, de la tercera equació, $a = 35 - 7 - 18 = 10$ .

Resposta: l'entrada d'adult val 10 €, la de jove 7 € i la infantil 6 €. Comprovació amb la primera: $20 + 7 + 6 = 33$ . Correcte.

Com redactar la resposta a l'examen

Els correctors valoren que la discussió sigui completa i clara. Una redacció model:

Calculem el determinant de la matriu de coeficients: $∣ A ∣ = \dots$ , que s'anul·la per a $a = \dots$ . Si $a \neq = \dots$ , aleshores $rang (A) = rang (A ∣ B) = 3$ , que coincideix amb el nombre d'incògnites, i el sistema és compatible determinat. Si $a = \dots$ , substituïm i obtenim $rang (A) = \dots$ i $rang (A ∣ B) = \dots$ ; per tant el sistema és $\dots$

I sempre acaba amb una frase de conclusió: «El sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat, i les solucions són $(\dots)$ ».

Llista de comprovació abans d'entregar

Has escrit la matriu de coeficients i l'ampliada?
Has trobat tots els valors que anul·len el determinant?
Has estudiat cada valor crític per separat, comparant els dos rangs?
Si hi ha infinites solucions, les has escrit totes amb paràmetres?
Has acabat amb una frase que digui SCD, SCI o SI?

Exercicis proposats

Exercici 1. Discuteix el sistema segons el valor de $m$ i resol-lo en el cas en què sigui compatible indeterminat.

⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - z = 3 2 x + 4 y + m z = 6 x - y + z = 0

Solució de l'exercici 1

$∣ A ∣ = 3 m + 6$ , que s'anul·la només per a $m = - 2$ .

Si $m \neq = - 2$ : $rang (A) = rang (A ∣ B) = 3$ , sistema compatible determinat.
Si $m = - 2$ : la segona equació és exactament el doble de la primera, així que $rang (A) = rang (A ∣ B) = 2 < 3$ . Sistema compatible indeterminat amb un paràmetre.

Per resoldre'l quan $m = - 2$ , ens quedem amb la primera i la tercera equació. Sumant-les, $2 x + y = 3$ , d'on $y = 3 - 2 x$ ; de la tercera, $z = y - x = 3 - 3 x$ . Amb $x = λ$ :

(x, y, z) = (λ, 3 - 2 λ, 3 - 3 λ), λ \in R .

Exercici 2. Troba totes les solucions del sistema homogeni

⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 0 2 x - y + 3 z = 0 4 x + y + 5 z = 0

Solució de l'exercici 2

El determinant és $∣ A ∣ = - 5 + 12 + 2 + 4 - 3 - 10 = 0$ , així que hi ha solucions no trivials (SCI). De la primera equació, $y = - x - z$ ; substituint a la segona, $2 x + x + z + 3 z = 0$ , és a dir $3 x = - 4 z$ . Prenent $z = 3 λ$ per evitar fraccions, $x = - 4 λ$ i $y = 4 λ - 3 λ = λ$ :

(x, y, z) = (- 4 λ, λ, 3 λ), λ \in R .

Comprovació a la tercera equació: $- 16 λ + λ + 15 λ = 0$ .

📄 Vols aquest tema en paper? Descarrega el resum del bloc en PDF.

Descarrega el PDF