Exercicis de mètodes d'integració

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = e^{6 x}\,dx \Rightarrow v = \frac{e^{6 x}}{6}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x e^{6 x}\,dx = \frac{\left(6 x - 1\right) e^{6 x}}{36} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x e^{6 x}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 3 x + 2$ i $u' = 3$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $3$.

$\int \frac{1}{3 x + 2}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{3}{3 x + 2}\,dx = \frac{1}{3}\ln|3 x + 2| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = \sin(6 x)\,dx \Rightarrow v = -\frac{\cos(6 x)}{6}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x \sin{\left(6 x \right)}\,dx = - \frac{x \cos{\left(6 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{36} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x \sin{\left(6 x \right)}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 3 x + 3$ i $u' = 3$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $3$.

$\int \frac{1}{3 x + 3}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{3}{3 x + 3}\,dx = \frac{1}{3}\ln|3 x + 3| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = \cos(6 x)\,dx \Rightarrow v = \frac{\sin(6 x)}{6}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x \cos{\left(6 x \right)}\,dx = \frac{x \sin{\left(6 x \right)}}{6} + \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{36} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x \cos{\left(6 x \right)}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 3 x - 2$ i $u' = 3$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $3$.

$\int \frac{1}{3 x - 2}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{3}{3 x - 2}\,dx = \frac{1}{3}\ln|3 x - 2| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = e^{7 x}\,dx \Rightarrow v = \frac{e^{7 x}}{7}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x e^{7 x}\,dx = \frac{\left(7 x - 1\right) e^{7 x}}{49} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x e^{7 x}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 3 x + 4$ i $u' = 3$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $3$.

$\int \frac{1}{3 x + 4}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{3}{3 x + 4}\,dx = \frac{1}{3}\ln|3 x + 4| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = \sin(7 x)\,dx \Rightarrow v = -\frac{\cos(7 x)}{7}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x \sin{\left(7 x \right)}\,dx = - \frac{x \cos{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{49} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x \sin{\left(7 x \right)}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 3 x + 5$ i $u' = 3$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $3$.

$\int \frac{1}{3 x + 5}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{3}{3 x + 5}\,dx = \frac{1}{3}\ln|3 x + 5| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.