Exercicis de mètodes d'integració

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = \cos(2 x)\,dx \Rightarrow v = \frac{\sin(2 x)}{2}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x \cos{\left(2 x \right)}\,dx = \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x \cos{\left(2 x \right)}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = x + 5$ i $u' = 1$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $1$.

$\int \frac{1}{x + 5}\,dx = \frac{1}{1}\int \frac{1}{x + 5}\,dx = \frac{1}{1}\ln|x + 5| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = e^{3 x}\,dx \Rightarrow v = \frac{e^{3 x}}{3}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x e^{3 x}\,dx = \frac{\left(3 x - 1\right) e^{3 x}}{9} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x e^{3 x}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = x + 7$ i $u' = 1$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $1$.

$\int \frac{1}{x + 7}\,dx = \frac{1}{1}\int \frac{1}{x + 7}\,dx = \frac{1}{1}\ln|x + 7| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = \sin(3 x)\,dx \Rightarrow v = -\frac{\cos(3 x)}{3}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x \sin{\left(3 x \right)}\,dx = - \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x \sin{\left(3 x \right)}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = x + 6$ i $u' = 1$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $1$.

$\int \frac{1}{x + 6}\,dx = \frac{1}{1}\int \frac{1}{x + 6}\,dx = \frac{1}{1}\ln|x + 6| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = \cos(3 x)\,dx \Rightarrow v = \frac{\sin(3 x)}{3}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x \cos{\left(3 x \right)}\,dx = \frac{x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x \cos{\left(3 x \right)}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = x - 1$ i $u' = 1$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $1$.

$\int \frac{1}{x - 1}\,dx = \frac{1}{1}\int \frac{1}{x - 1}\,dx = \frac{1}{1}\ln|x - 1| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = e^{- x}\,dx \Rightarrow v = -e^{- x}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x e^{- x}\,dx = \left(- x - 1\right) e^{- x} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x e^{- x}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = x + 9$ i $u' = 1$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $1$.

$\int \frac{1}{x + 9}\,dx = \frac{1}{1}\int \frac{1}{x + 9}\,dx = \frac{1}{1}\ln|x + 9| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.