Exercicis de mètodes d'integració

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = \cos(7 x)\,dx \Rightarrow v = \frac{\sin(7 x)}{7}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x \cos{\left(7 x \right)}\,dx = \frac{x \sin{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{49} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x \cos{\left(7 x \right)}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 3 x + 7$ i $u' = 3$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $3$.

$\int \frac{1}{3 x + 7}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{3}{3 x + 7}\,dx = \frac{1}{3}\ln|3 x + 7| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = e^{- 3 x}\,dx \Rightarrow v = -\frac{e^{- 3 x}}{3}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x e^{- 3 x}\,dx = \frac{\left(- 3 x - 1\right) e^{- 3 x}}{9} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x e^{- 3 x}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 3 x + 6$ i $u' = 3$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $3$.

$\int \frac{1}{3 x + 6}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{3}{3 x + 6}\,dx = \frac{1}{3}\ln|3 x + 6| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = \sin(- 3 x)\,dx \Rightarrow v = \frac{\cos(- 3 x)}{3}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int - x \sin{\left(3 x \right)}\,dx = \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $- x \sin{\left(3 x \right)}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 3 x - 1$ i $u' = 3$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $3$.

$\int \frac{1}{3 x - 1}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{3}{3 x - 1}\,dx = \frac{1}{3}\ln|3 x - 1| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 3 x + 9$ i $u' = 3$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $3$.

$\int \frac{1}{3 x + 9}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{3}{3 x + 9}\,dx = \frac{1}{3}\ln|3 x + 9| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 4 x + 1$ i $u' = 4$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $4$.

$\int \frac{1}{4 x + 1}\,dx = \frac{1}{4}\int \frac{4}{4 x + 1}\,dx = \frac{1}{4}\ln|4 x + 1| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 4 x + 2$ i $u' = 4$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $4$.

$\int \frac{1}{4 x + 2}\,dx = \frac{1}{4}\int \frac{4}{4 x + 2}\,dx = \frac{1}{4}\ln|4 x + 2| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 4 x + 3$ i $u' = 4$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $4$.

$\int \frac{1}{4 x + 3}\,dx = \frac{1}{4}\int \frac{4}{4 x + 3}\,dx = \frac{1}{4}\ln|4 x + 3| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.