Exercicis de mètodes d'integració

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = \sin(- x)\,dx \Rightarrow v = \cos(- x)$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int - x \sin{\left(x \right)}\,dx = x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $- x \sin{\left(x \right)}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 2 x + 1$ i $u' = 2$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $2$.

$\int \frac{1}{2 x + 1}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{2}{2 x + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln|2 x + 1| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 2 x + 2$ i $u' = 2$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $2$.

$\int \frac{1}{2 x + 2}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{2}{2 x + 2}\,dx = \frac{1}{2}\ln|2 x + 2| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = e^{4 x}\,dx \Rightarrow v = \frac{e^{4 x}}{4}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x e^{4 x}\,dx = \frac{\left(4 x - 1\right) e^{4 x}}{16} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x e^{4 x}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 2 x + 3$ i $u' = 2$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $2$.

$\int \frac{1}{2 x + 3}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{2}{2 x + 3}\,dx = \frac{1}{2}\ln|2 x + 3| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = \sin(4 x)\,dx \Rightarrow v = -\frac{\cos(4 x)}{4}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x \sin{\left(4 x \right)}\,dx = - \frac{x \cos{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x \sin{\left(4 x \right)}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 2 x - 2$ i $u' = 2$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $2$.

$\int \frac{1}{2 x - 2}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{2}{2 x - 2}\,dx = \frac{1}{2}\ln|2 x - 2| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = \cos(4 x)\,dx \Rightarrow v = \frac{\sin(4 x)}{4}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x \cos{\left(4 x \right)}\,dx = \frac{x \sin{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{16} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x \cos{\left(4 x \right)}$.

Aquesta és gairebé immediata. Sabem que:

$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C$

Aquí $u = 2 x + 4$ i $u' = 2$, però a dalt només hi tenim un $1$. El truc és ajustar la constant: multiplicar i dividir per $2$.

$\int \frac{1}{2 x + 4}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{2}{2 x + 4}\,dx = \frac{1}{2}\ln|2 x + 4| + C$

Això es pot fer amb qualsevol constant, però no amb una $x$: no es pot treure una variable fora de la integral.

Tenim un producte de dues funcions de naturalesa diferent, i això és el senyal de la integració per parts:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

La tria de $u$ és el que decideix si això funciona. La regla pràctica: tria com a $u$ la que se simplifiqui en derivar-se. Aquí $u = x$, perquè $du = dx$ i la $x$ desapareix.

• $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = e^{5 x}\,dx \Rightarrow v = \frac{e^{5 x}}{5}$

Substituint a la fórmula queda una integral més fàcil que la de partida, que és tot l'objectiu del mètode. Resolent-la:

$\int x e^{5 x}\,dx = \frac{\left(5 x - 1\right) e^{5 x}}{25} + C$

Comprova-ho derivant el resultat: has de tornar a obtenir $x e^{5 x}$.