Trigonometria en triangles rectangles: sinus, cosinus i tangent

La trigonometria resol una cosa que Pitàgores no pot: relacionar angles amb longituds. I funciona per una raó que ja coneixes del tema anterior: tots els triangles rectangles amb el mateix angle agut són semblants, de manera que les raons entre els seus costats depenen només de l'angle.

El que has de dominar abans: semblança, Pitàgores i els quocients.

Les tres raons

Per a un angle agut $\alpha$ d'un triangle rectangle:

$$\sin\alpha = \frac{\text{catet oposat}}{\text{hipotenusa}}, \qquad \cos\alpha = \frac{\text{catet adjacent}}{\text{hipotenusa}}, \qquad \tan\alpha = \frac{\text{catet oposat}}{\text{catet adjacent}}.$$

Per què són constants per a cada angle. Si dos triangles rectangles tenen el mateix angle agut, són semblants (dos angles iguals: el recte i aquest). I en figures semblants les raons entre costats corresponents es mantenen. Per això el sinus de $30^{\circ}$ val el mateix en un triangle petit i en un de gegant.

El procediment: identificar abans de calcular

1. Identifica l'angle amb què treballes.

2. Identifica els costats respecte d'aquest angle: quin és l'oposat, quin l'adjacent i quin la hipotenusa.

3. Tria la raó que contingui la dada que tens i la incògnita que busques. Aquesta és la decisió del problema; la resta és aritmètica.

Els catets canvien de nom segons l'angle. El que és oposat per a un angle agut és adjacent per a l'altre. La hipotenusa, en canvi, sempre és la mateixa.

Trobar un angle

Si coneixes una raó i vols l'angle, necessites les funcions inverses de la calculadora: $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ (a les tecles solen aparèixer com $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).

Comprova que la calculadora està en mode graus (DEG). En mode radiants els resultats surten completament diferents, i és l'error més habitual quan es comencen a fer aquests exercicis.

Dues relacions que connecten les tres raons

$$\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1, \qquad \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.$$

La primera és Pitàgores dividit per la hipotenusa al quadrat. I una conseqüència útil: per a angles aguts, el sinus i el cosinus són positius i no superen $1$, perquè un catet no pot ser més gran que la hipotenusa.

Exercici resolt: el catet oposat amb la hipotenusa i l'angle

En un triangle rectangle, la hipotenusa fa $10$ cm i un angle és $30^{\circ}$. Troba el catet oposat.

Identifica les dades. Tens la hipotenusa i l'angle; busques el catet oposat.

La raó que conté oposat i hipotenusa és el sinus.

$$\sin 30^{\circ} = \frac{x}{10} \qquad\Longrightarrow\qquad x = 10\sin 30^{\circ} = 10\cdot\frac12 = 5 \ \text{cm}.$$

Comprovació de sentit. El catet ($5$) és menys que la hipotenusa ($10$), com ha de ser sempre ✓

Un resultat que val la pena recordar. $\sin 30^{\circ} = 1/2$ exactament, de manera que el catet oposat a un angle de $30^{\circ}$ és sempre la meitat de la hipotenusa. És una propietat del triangle rectangle amb angles de $30$ i $60$ graus, i surt de partir un triangle equilàter per la meitat.

L'altre catet, de passada.

$$y = 10\cos 30^{\circ} = 10\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3 \approx 8{,}66 \ \text{cm}.$$

Comprovació amb Pitàgores: $25 + 75 = 100 = 10^{2}$ ✓

Exercici resolt: l'altura d'un arbre amb un angle d'elevació

Des d'un punt a $20$ m d'un arbre, s'observa el capdamunt amb un angle d'elevació de $35^{\circ}$. L'aparell és a $1{,}6$ m del terra i el terreny és horitzontal. Troba l'altura de l'arbre.

Pas 1 — identifica el triangle. El vèrtex de l'angle és a l'aparell, no al terra. El triangle rectangle té:

• catet adjacent: la distància horitzontal, $20$ m;
• catet oposat: l'altura de l'arbre per damunt de l'aparell, que anomenem $y$;
• angle: $35^{\circ}$.

Pas 2 — tria la raó. Tens l'adjacent i busques l'oposat: és la tangent.

$$\tan 35^{\circ} = \frac{y}{20} \qquad\Longrightarrow\qquad y = 20\tan 35^{\circ} \approx 20\cdot 0{,}7002 = 14{,}00 \ \text{m}.$$

Pas 3 — suma l'altura de l'aparell. Aquest és el pas que decideix l'exercici:

$$h = 14{,}00 + 1{,}6 = 15{,}60 \ \text{m}.$$

L'altura de l'arbre és aproximadament $15{,}6$ m.

Per què cal sumar l'$1{,}6$. La trigonometria dona l'altura des del nivell de l'aparell, perquè el vèrtex de l'angle és allà. L'$1{,}6$ m que hi ha des del terra fins a l'aparell no apareix al triangle i s'ha d'afegir al final. Oblidar-ho és l'error més freqüent de tots els problemes d'angles d'elevació.

Comprovació de sentit. $15{,}6$ m és plausible per a un arbre. I l'angle de $35^{\circ}$ és menor de $45^{\circ}$, de manera que l'altura per damunt de l'aparell ($14$ m) ha de ser menor que la distància horitzontal ($20$ m) ✓

Els supòsits del model. El terreny és horitzontal i l'arbre vertical: sense aquestes dues condicions, el triangle no seria rectangle i el càlcul no valdria. L'enunciat les dona, i convé citar-les a la resposta.

On ho faràs servir

La trigonometria és l'eina de tota la mesura indirecta professional: topografia, navegació, construcció i astronomia. Els angles d'elevació i de depressió són el tipus de problema que més apareix.

A física, serveix per descompondre vectors en components: la component horitzontal d'una força és el seu mòdul pel cosinus de l'angle, i la vertical pel sinus. És literalment el mateix càlcul de l'escala.

I a batxillerat s'estén a angles de qualsevol mida amb la circumferència goniomètrica, a triangles no rectangles amb els teoremes del sinus i del cosinus, i a les funcions trigonomètriques com a models de tot el que és periòdic.