Perímetres i àrees: contorn, superfície i figures compostes

El perímetre és la longitud del contorn i es mesura en unitats de longitud. L'àrea mesura la superfície i es mesura en unitats quadrades. Són dues coses diferents, i confondre-les és l'error que més apareix a les figures compostes.

El que has de dominar abans: unitats quadrades i les propietats de les figures planes.

Les fórmules bàsiques

$$\text{rectangle: } A = b\,h, \qquad \text{triangle: } A = \frac{b\,h}{2},$$ $$\text{paral·lelogram: } A = b\,h, \qquad \text{trapezi: } A = \frac{(B+b)\,h}{2}.$$

L'altura sempre és perpendicular a la base, encara que per dibuixar-la calgui sortir de la figura. En un triangle obtusangle, l'altura cau fora del triangle, i això no canvia res de la fórmula.

El cercle

$$\text{longitud de la circumferència: } L = 2\pi r, \qquad \text{àrea del cercle: } A = \pi r^{2}.$$

Un sector d'angle $\alpha$ en graus és una fracció del cercle, i la fracció és $\alpha/360^{\circ}$:

$$A_{\text{sector}} = \frac{\alpha}{360^{\circ}}\,\pi r^{2}, \qquad L_{\text{arc}} = \frac{\alpha}{360^{\circ}}\,2\pi r.$$

No cal memoritzar aquestes dues: surten de multiplicar la fórmula completa per la fracció de volta.

El polígon regular

$$A = \frac{P\,a}{2},$$

on $P$ és el perímetre i $a$ l'apotema (la distància del centre al punt mig d'un costat).

D'on surt. Descomponent el polígon en $n$ triangles amb vèrtex al centre. Cada triangle té base un costat i altura l'apotema, de manera que la seva àrea és $(\text{costat} \cdot a)/2$. Sumant els $n$ triangles, les bases sumen el perímetre i queda la fórmula.

Figures compostes

Dues estratègies, i totes dues valen:

Dividir en peces i sumar les àrees.

Partir d'una figura gran i restar els buits.

En tots dos casos: etiqueta les longituds desconegudes abans d'operar i comprova que no comptes dues vegades cap regió.

Exercici resolt: l'àrea d'un triangle

Calcula l'àrea d'un triangle amb base $12$ cm i altura perpendicular $7$ cm.

Aplica la fórmula.

$$A = \frac{b\,h}{2} = \frac{12\cdot 7}{2} = \frac{84}{2} = 42 \ \text{cm}^{2}.$$

Per què es divideix per dos. Un triangle és exactament la meitat d'un paral·lelogram amb la mateixa base i la mateixa altura: duplicant el triangle i girant-ne la còpia, s'obté el paral·lelogram sencer. La fórmula no és arbitrària.

Comprovació de la unitat. El resultat és en cm², com ha de ser una àrea ✓

El detall que l'enunciat subratlla. Diu «altura perpendicular», i ho diu perquè és el que decideix si la fórmula s'aplica. Si et donessin un costat inclinat de $7$ cm en comptes de l'altura, el resultat seria diferent i caldria calcular l'altura abans, normalment amb Pitàgores.

Exercici resolt: mateix perímetre, àrees diferents

Un rectangle de costats $4$ i $6$ i un quadrat de costat $5$ tenen el mateix perímetre? Tenen la mateixa àrea?

Perímetres.

$$P_{\text{rect}} = 2(4+6) = 20, \qquad P_{\text{quad}} = 4\cdot 5 = 20.$$

Sí: tenen el mateix perímetre, $20$ unitats.

Àrees.

$$A_{\text{rect}} = 4\cdot 6 = 24, \qquad A_{\text{quad}} = 5^{2} = 25.$$

No: les àrees són diferents. El quadrat té una unitat quadrada més.

Què mostra aquest exercici. Que el perímetre no determina l'àrea. Amb el mateix contorn es poden tancar superfícies diferents, i entre tots els rectangles d'un perímetre donat, el que tanca més àrea és el quadrat.

La connexió amb el bloc de funcions. Això és exactament el problema d'àrea màxima del tema de quadràtiques: amb perímetre $20$, els costats són $x$ i $10-x$, l'àrea és $A(x) = x(10-x)$, i el vèrtex d'aquesta paràbola és a $x=5$, que dona el quadrat i l'àrea màxima de $25$.

Comprovació amb un cas extrem. Un rectangle de $1 \times 9$ també té perímetre $20$, i la seva àrea és només $9$. Com més allargat és el rectangle, menys àrea tanca amb el mateix contorn.

On ho faràs servir

Les àrees i els perímetres són la base dels problemes de materials i de superfícies: quanta pintura, quanta tanca, quanta gespa, quant paper.

A dibuix tècnic i a tecnologia, calcular àrees de figures compostes és una tasca constant, i l'estratègia de dividir o restar és la mateixa.

I la relació entre perímetre i àrea, que no és la que la intuïció suggereix, reapareixerà al tema de semblança (on les àrees creixen amb el quadrat de la raó) i als problemes d'optimització de batxillerat.