Transformacions geomètriques: afinitats, isometries i coordenades homogènies

Una transformació geomètrica és una manera de moure o deformar l'espai. El que les fa interessants és què conserven: una isometria conserva distàncies, una semblança conserva angles, una afinitat conserva paral·lelisme, i totes les invertibles multipliquen els volums per un factor fix. Classificar-les per allò que preserven és molt més útil que memoritzar matrius.

Aplicacions afins

Una aplicació afí té la forma $T(x) = Ax + b$: una part lineal i una translació. La seva propietat definitòria és que preserva les combinacions afins, és a dir les combinacions lineals amb coeficients que sumen $1$. D'aquí surt que preserva alineació, paral·lelisme i raons de longitud sobre una mateixa recta.

Si la part lineal és invertible, preserva també les dimensions. Si és singular, pot col·lapsar: una recta es pot convertir en un punt i un pla en una recta.

La composició és

$$(A_2,b_2)\circ(A_1,b_1) = (A_2A_1,\ A_2b_1+b_2),$$

i en general no commuta. L'ordre en què apliques les transformacions canvia el resultat.

Isometries

Una aplicació afí és una isometria euclidiana exactament quan la seva part lineal compleix $A^{T}A = I$, és a dir quan és ortogonal. La prova és directa: el quadrat de la distància entre imatges és la forma quadràtica de $A^{T}A$ aplicada al desplaçament, i exigir que coincideixi amb el quadrat de la distància original per a tot desplaçament força la condició.

Al pla, una rotació d'angle $\theta$ al voltant de l'origen té la matriu habitual amb cosinus a la diagonal i sinus fora, amb un signe menys a dalt a la dreta. Al voltant d'un altre punt, la fórmula és traslladar, girar i desfer la translació:

$$T(x) = c + R_\theta(x-c).$$

A l'espai, tota matriu ortogonal de determinant $1$ és una rotació amb algun eix fix. El determinant $-1$ indica inversió d'orientació, però no necessàriament una sola reflexió en un pla: pot ser una rotació composta amb una reflexió.

La reflexió respecte de l'hiperplà $n\cdot x = d$ és

$$T(x) = x - 2\,\frac{n\cdot x - d}{\lVert n\rVert^{2}}\,n.$$

Semblances, cisallaments i volums

Una semblança té part lineal de la forma $sQ$ amb $s > 0$ i $Q$ ortogonal: multiplica totes les distàncies pel mateix factor i preserva els angles. És el que fa un canvi d'escala d'un mapa.

Qualsevol transformació lineal invertible multiplica els volums per $|\det A|$. Però preservar volums no implica preservar res més: un cisallament com $(x,y)\mapsto(x+ky,\ y)$ té determinant $1$, de manera que conserva les àrees, i tanmateix deforma completament els angles i les longituds.

La descomposició polar d'una matriu invertible és $A = QS$, amb $Q$ ortogonal i $S$ simètrica definida positiva. Geomètricament separa l'acció en dues fases: primer una deformació al llarg d'unes direccions ortogonals, i després una isometria. Els factors d'estirament de la part simètrica són els valors singulars, i per això la descomposició singular i aquesta estan tan lligades.

Exercici resolt: reflectir un punt respecte d'una recta

Reflecteix el punt $(2,3)$ respecte de la recta $x+y = 1$.

Dades. Normal $n = (1,1)$, norma al quadrat $2$, i $d = 1$.

El factor. El producte escalar del punt amb la normal val $2+3 = 5$, i restant $d$ queda $4$. El coeficient de la fórmula és

$$2\cdot\frac{4}{2} = 4.$$

El reflectit.

$$(2,3) - 4\cdot(1,1) = (-2,-1).$$

Comprovació obligatòria. El punt mitjà entre l'original i el reflectit és

$$\frac{(2,3)+(-2,-1)}{2} = (0,1),$$

i efectivament $0+1 = 1$: pertany a la recta. A més, la diferència entre els dos punts és $(4,4)$, paral·lela a la normal. Les dues comprovacions passen.

De pas, la projecció hauria estat $(2,3) - 2(1,1) = (0,1)$, que és exactament el punt mitjà. Aquesta relació entre projecció i reflexió és la manera més fàcil de recordar el factor $2$.

Exercici resolt: compondre gir i translació

Escriu, en coordenades homogènies, la transformació que gira $90$ graus al voltant del punt $(1,1)$.

Descomposició en tres passos: traslladar $(1,1)$ a l'origen, girar, i desfer la translació.

La matriu de gir de $90$ graus té files $(0,-1)$ i $(1,0)$. Per tant

$$T(x) = (1,1) + R\big(x - (1,1)\big) = Rx + \big((1,1) - R(1,1)\big).$$

Calculem el terme de translació: $R(1,1) = (-1,1)$, de manera que $(1,1)-(-1,1) = (2,0)$.

Resultat: la matriu homogènia té la part de gir a dalt a l'esquerra, la columna $(2,0)$ com a translació, i l'última fila $(0,0,1)$.

Comprovació. El centre de gir ha de quedar fix. Aplicant: $R(1,1) + (2,0) = (-1,1)+(2,0) = (1,1)$. Correcte.

El patró general. Qualsevol transformació «al voltant d'un punt» o «respecte d'un element que no passa per l'origen» es construeix igual: trasllada, aplica, desfés. Amb coordenades homogènies, això és simplement un producte de tres matrius.