Multiplicadors de Lagrange: restriccions d'igualtat i qualificació

Quan el domini no és tot l'espai sinó una superfície definida per equacions, el gradient de la funció objectiu no s'anul·la a l'òptim: només s'anul·la la seva component tangent a la restricció. Aquesta frase és tot el mètode de Lagrange; la resta és àlgebra.

La geometria

Vols minimitzar una funció subjecta a unes quantes equacions $h(x) = 0$, amb menys equacions que variables. Si la matriu jacobiana de les restriccions té rang màxim al punt, el conjunt factible és localment una superfície llisa i el seu espai tangent és el nucli d'aquesta jacobiana.

En un extrem, la derivada de la funció objectiu al llarg de qualsevol direcció tangent ha de ser zero. Això vol dir que el gradient és perpendicular a tot l'espai tangent, i per tant és una combinació lineal dels gradients de les restriccions, que són justament les direccions normals.

El signe amb què escrius els multiplicadors és una convenció: canviar-lo només els canvia el signe, no els punts candidats. El que no és convenció és la hipòtesi de rang.

Un exemple complet

Quan el mètode no s'aplica

Segon ordre amb restriccions

Amb funcions de classe $C^{2}$ i regularitat, la condició necessària de mínim és que la hessiana del lagrangià respecte de les variables sigui semidefinida positiva restringida a l'espai tangent. I la positivitat estricta sobre totes les direccions tangents no nul·les és suficient per a mínim local estricte.

Dues coses que aquí es fan malament:

• Cal la hessiana del lagrangià, no la de la funció objectiu sola. La curvatura de la restricció hi entra a través dels multiplicadors, i ignorar-la pot invertir la conclusió.
• Cal restringir-la a l'espai tangent. Una hessiana indefinida a tot l'espai pot ser perfectament definida positiva sobre el subespai que importa.

Desigualtats: el conjunt actiu

Amb restriccions del tipus $g_i(x)\leq 0$, una restricció és activa al punt si s'hi compleix amb igualtat. Les inactives no limiten les variacions petites i, a efectes locals, és com si no hi fossin.

Les condicions que generalitzen Lagrange són les KKT, amb multiplicadors no negatius per a les desigualtats i la condició de complementarietat que obliga cada multiplicador a anul·lar-se si la seva restricció és inactiva. Es tracten al tema de convexitat i KKT.

Amb molt poques desigualtats, un mètode elemental és enumerar conjunts actius: per a cada subconjunt de restriccions que suposes actives, resols les equacions i després comproves que totes les desigualtats i tots els signes dels multiplicadors es compleixen. Funciona, però el nombre de combinacions creix exponencialment i no escala.

Exercici resolt: distància mínima a una recta

Minimitza $x^{2}+y^{2}$ subjecte a $x+y = 3$.

Equacions. Amb $\mathcal{L} = x^{2}+y^{2}+\lambda(x+y-3)$:

$$2x+\lambda = 0, \qquad 2y+\lambda = 0, \qquad x+y = 3.$$

De les dues primeres surt $x = y$, i amb la restricció $x = y = 3/2$. El valor és $9/2$.

Globalitat, demostrada sense Lagrange. Amb la identitat

$$x^{2}+y^{2} = \frac{(x+y)^{2}+(x-y)^{2}}{2} = \frac{9 + (x-y)^{2}}{2}\geq \frac92,$$

i la igualtat només quan $x = y$. Per tant és el mínim global i és únic.

Interpretació. El resultat és la distància al quadrat de l'origen a la recta, i el punt òptim és el peu de la perpendicular. El multiplicador val $-3$, i el seu mòdul és la taxa a la qual canviaria el valor òptim si mogués la constant de la restricció: aquesta lectura dels multiplicadors com a sensibilitats és el que els fa útils en aplicacions.

Exercici resolt: caixa de volum màxim

Una caixa rectangular sense tapa ha de tenir una superfície total de $12$ unitats. Quin és el volum màxim?

Amb base $x$ per $y$ i alçada $z$, volem maximitzar $xyz$ amb $xy + 2xz + 2yz = 12$ i totes les variables positives.

Equacions de Lagrange.

$$yz = \lambda(y+2z), \qquad xz = \lambda(x+2z), \qquad xy = \lambda(2x+2y).$$

Restant les dues primeres surt $z(y-x) = \lambda(y-x)$, i com que $z$ i $\lambda$ no poden coincidir amb la tercera equació a menys que $x = y$, es dedueix $x = y$.

Substituint a la tercera, $x^{2} = 4\lambda x$, o sigui $x = 4\lambda$; i de la primera, $z = 2\lambda$, és a dir $z = x/2$.

Amb la restricció: $x^{2} + 2x^{2} = 12$, d'on $x = 2$, $y = 2$ i $z = 1$. El volum és $4$.

Per què és el màxim. El conjunt factible amb variables positives no és compacte, però quan qualsevol variable tendeix a zero o a infinit el volum tendeix a zero amb la restricció activa. L'únic candidat interior és, doncs, el màxim.