Repte del bloc: temps de desplaçament
Sis dades, un valor molt més gran que els altres i tres preguntes. Aquest repte és el bloc d'estadística en la seva forma més honesta: els càlculs són immediats i el que es valora és la interpretació i el que no es pot afirmar.
El que has de dominar abans: tot el bloc d'estadística, especialment les mesures de centre i el disseny d'estudis.
La situació
Sis alumnes registren els minuts que triguen a arribar al centre:
1. Troba la mitjana, la mediana i el rang.
2. Si el valor és correcte, quina informació aporta comparar la mitjana amb la mediana? Es pot eliminar només perquè és gran?
3. Proposa com ampliar l'estudi per parlar de tot l'institut.
L'estratègia
L'apartat 1 és mecànic, però les dades han d'estar ordenades (ja ho estan) i cal donar les tres mesures.
L'apartat 2 no és un càlcul: és una interpretació i una decisió metodològica. La pregunta «es pot eliminar?» té una resposta clara i una justificació que és el que es puntua.
L'apartat 3 és disseny d'estudi. Es demana passar d'una mostra de sis a una afirmació sobre tot l'institut, i això exigeix parlar de selecció, no només de mida.
Un valor gran no es pot eliminar perquè molesta
Si el és una dada correcta, forma part de la realitat i no es pot descartar. Eliminar les dades que no encaixen amb el que esperaves és una de les maneres més greus de falsejar un estudi.
Què sí que es pot fer:
- Triar una mesura de centre més adequada (la mediana) i dir per què.
- Reportar les dues i comentar la diferència.
- Investigar la dada: si resulta que és un error d'enregistrament (algú va escriure en comptes de ), llavors sí que es corregeix o s'exclou, i es documenta.
El que mai no val és eliminar-la sense justificació i presentar la mitjana restant com si fos la de totes les dades.
Apartat 1: les tres mesures
Les dades, ja ordenades: .
La mitjana.
La mediana. Hi ha dades, un nombre parell, de manera que és la mitjana dels dos valors centrals, que són el tercer i el quart:
El rang.
Comprovació de la mitjana. Si val i hi ha sis dades, la suma ha de ser ✓
La moda, de passada. El apareix dues vegades i la resta una: la moda és minuts.
La primera lectura, abans d'interpretar res. La mitjana () és més gran que cinc de les sis dades. Només un alumne triga més de minuts, i tot i així la mitjana diu . Això ja avisa que la mitjana no descriu bé aquest conjunt.
I el rang. minuts de rang amb dades que van de a : una dispersió enorme per a sis observacions. El rang, que depèn només dels dos extrems, està dominat completament pel .
Apartat 2: què diu comparar mitjana i mediana
La comparació.
La mitjana és molt més gran que la mediana, i la diferència és de minuts, més de la meitat de la mediana.
Què informa això. Quan la mitjana supera clarament la mediana, és un senyal que la distribució és asimètrica cap a la dreta: hi ha un o pocs valors molt grans que estiren la mitjana, mentre que la mediana es queda on hi ha el gruix de les dades.
És un diagnòstic que es fa amb dos números i sense dibuixar res.
Quina mesura descriu millor el centre, aquí. La mediana. Dir «un alumne típic triga uns o minuts» és una descripció fidel: quatre dels sis trigan minuts o menys. Dir «de mitjana triguen minuts» dona una imatge equivocada del grup.
Comprovació de la sensibilitat. Si el fos un , la mitjana baixaria a
mentre que la mediana continuaria sent : no es mouria gens. La mediana depèn de la posició central, no de la magnitud dels extrems.
Es pot eliminar el ? No, si és correcte. I aquesta és la resposta que es demana.
Si un alumne triga realment una hora a arribar, aquesta és una informació rellevant de l'estudi, probablement la més rellevant: indica que hi ha alumnes amb desplaçaments molt llargs, cosa que pot tenir conseqüències pràctiques (horaris, transport, puntualitat).
Com es reporta correctament. «Mitjana min, mediana min, rang min, sobre observacions. La diferència entre mitjana i mediana ve d'una observació de min; la mediana descriu millor el centre del grup, i l'observació de min s'informa a part perquè és la dada més significativa del conjunt.»
Això és una descripció completa. Amagar el o presentar només la mitjana serien les dues maneres de descriure-ho malament.
Dona mitjana i mediana juntes, i comenta la diferència
Amb dues mesures de centre i una frase comparant-les, ja has fet un diagnòstic de la forma de les dades.
Si són semblants, la distribució és bastant simètrica i qualsevol de les dues serveix. Si la mitjana és clarament més gran, hi ha valors extrems per la dreta. Si és més petita, per l'esquerra. No costa cap càlcul extra i és el que distingeix una descripció d'un número.
Apartat 3: com ampliar l'estudi
Per parlar de tot l'institut calen quatre coses, i la mida de la mostra només és una.
1. Declarar la població i el període. «Els alumnes matriculats al centre el curs actual», i «el temps del desplaçament habitual d'anada, en un dia escolar normal». Sense definir la variable amb precisió, cada alumne respondrà a una pregunta diferent: anada o anada i tornada? porta a porta o de la parada al centre? un dia qualsevol o el pitjor dia?
2. Triar la mostra amb un mètode aleatori. Seleccionar alumnes a l'atzar de la llista del centre, no de qui passi per un lloc concret. Sis alumnes d'una mateixa classe no representen l'institut: probablement viuen en zones semblants.
Convé estratificar per curs, amb quotes proporcionals a la mida de cada curs, perquè els alumnes grans poden tenir mitjans de transport diferents.
3. Dimensionar la mostra. Sis observacions són molt poques: amb aquesta dispersió, la mitjana pot variar molt d'una mostra a una altra. Unes a observacions ben triades donarien una estimació molt més estable.
Però la mida no és el més important. Cent respostes recollides només entre els que arriben en bicicleta serien pitjors que trenta triades a l'atzar. La mida redueix l'error aleatori; no corregeix el biaix.
4. Preveure les absències i els valors impossibles. Cal decidir com es marquen els qui no responen (i comptar-los), i revisar les dades impossibles: un temps negatiu o de sis hores és un error d'enregistrament, i una absència no és un zero.
Què es podria reportar amb un estudi així. Mediana i mitjana, el recorregut interquartílic, un diagrama de caixa per veure la dispersió i els atípics, i el nombre d'observacions i d'absències. I si es volgués comparar per cursos o per mitjà de transport, les mateixes mesures per subgrups.
El que continuaria sense poder-se afirmar. Res sobre altres centres, altres cursos escolars o altres períodes de l'any. L'estudi descriu la població i el període que s'han mostrejat, i la conclusió ha de dir-ho.
Extensió: el diagrama de caixa d'aquestes dades
Calcula els quartils i digues què mostraria un diagrama de caixa.
Les dades ordenades: . Hi ha dades, un nombre parell.
La mediana ja la tenim: .
Els quartils extrems, amb la convenció del bloc (les medianes de cada meitat; amb parell les dues meitats són de tres dades cada una):
El recorregut interquartílic.
La comparació amb el rang, que és la part interessant.
El rang és cinc vegades i mitja el recorregut interquartílic. Això vol dir que la meitat central de les dades està molt concentrada (entre i minuts) i que l'amplada total ve gairebé tota d'un sol valor extrem.
Què mostraria el diagrama de caixa. Una caixa estreta de a amb la mediana a , el bigoti esquerre curt fins al , i el dret molt llarg fins al . La forma del dibuix delataria l'asimetria immediatament.
L'atípic, amb el criteri habitual. Una regla molt utilitzada marca com a atípics els valors que passen de
El supera aquest llindar, de manera que amb aquest criteri es marcaria com a valor atípic i es dibuixaria com un punt a part del bigoti.
Què vol dir «atípic» i què no vol dir. Vol dir que destaca respecte de la resta de la distribució, i que convé mirar-la per comprovar que no sigui un error. No vol dir que sigui incorrecta ni que s'hagi d'eliminar. Si és una dada real, es reporta i s'explica.
I una advertència sobre el criteri. La regla de l' és una convenció, i amb només sis dades els quartils són molt poc estables. Amb una mostra tan petita, el diagrama de caixa és més una il·lustració que una anàlisi: és un argument més per ampliar l'estudi, com demanava l'apartat 3.
Què s'ha fet servir de cada tema
Mitjana, mediana, moda i quartils (tema 3): les tres mesures de centre, la mediana amb parell, els quartils i la comparació entre mitjana i mediana com a diagnòstic d'asimetria.
Dispersió (tema 4): el rang, el recorregut interquartílic, el diagrama de caixa i el criteri de valors atípics.
Dissenyar una investigació (tema 1): tot l'apartat 3, amb la definició de població, variable i període, la selecció aleatòria estratificada i la distinció entre error aleatori i biaix.
Lectura crítica (tema 6): el tractament de les absències, els valors impossibles i els límits del que es pot afirmar.
I de fora del bloc: les quotes proporcionals per curs són proporcionalitat directa, i la decisió entre mitjana i mediana té el mateix esperit que triar el model adequat al bloc de funcions.
La idea per endur-se'n: amb sis dades es poden calcular totes les mesures del bloc, i cap d'elles no permet parlar de l'institut. El que limita una conclusió no és el càlcul sinó les dades, i reconèixer-ho forma part de la resposta, no és una excusa per no respondre.