Extrems lliures: existència, punts crítics i condicions de segon ordre

Optimitzar té tres preguntes separades i és molt fàcil barrejar-les. Existeix un mínim? Quins són els candidats? I dels candidats, quin és el bo? Un exercici resolt correctament respon les tres; un exercici mal resolt normalment s'ha saltat la primera i ha presentat un punt crític com si fos la resposta.

Existència, abans de calcular res

Un punt és mínim local si hi ha un entorn on la funció no pren valors menors, i global si la desigualtat val a tot el domini. «Estricte» vol dir desigualtat estricta per a la resta de punts.

Els dos resultats d'existència que has de tenir a mà:

• Weierstrass: una funció contínua sobre un conjunt compacte (tancat i acotat) i no buit assoleix màxim i mínim globals. És gratuït i s'ha d'invocar sempre que es pugui.
• Coercivitat: si el domini és tancat però no acotat i la funció tendeix a infinit quan la norma creix, hi ha mínim global. Intuïtivament: fora d'una bola prou gran la funció ja és pitjor que al centre, de manera que el problema es redueix a un compacte.

Condicions necessàries

Si la funció és diferenciable i el punt és un extrem local interior, el gradient s'hi anul·la. La prova és restringir-se a cada recta que hi passa i aplicar el resultat d'una variable. La paraula interior no és decorativa: a la frontera, les direccions admissibles no són totes, i el gradient no té per què anul·lar-se.

Amb segones derivades contínues, si el punt és un mínim local interior, la hessiana hi és semidefinida positiva. Es veu derivant dues vegades la restricció a una recta: la segona derivada de la funció d'una variable ha de ser no negativa, i això és exactament la forma quadràtica de la hessiana aplicada a la direcció.

Classificació amb la hessiana

El desenvolupament de Taylor en un punt crític diu que, a segon ordre,

$$f(x_*+h) = f(x_*) + \tfrac12 h^{T}H h + o(\lVert h\rVert^{2}).$$

Per tant el signe de la forma quadràtica decideix:

• Definida positiva: mínim local estricte.
• Definida negativa: màxim local estricte.
• Indefinida: punt de sella.
• Semidefinida o nul·la: no decideix.

En dues variables hi ha la regla ràpida amb el determinant de la hessiana. Si és positiu, el signe de la segona derivada respecte de la primera variable diu si és mínim o màxim; si és negatiu, és sella; i si és zero, no hi ha conclusió. En dimensió superior es fan servir els autovalors o el criteri de Sylvester: tots els menors principals líders positius equival a definida positiva.

Estratègia per al global

En un domini compacte el procediment és exhaustiu: punts crítics de l'interior, punts de la frontera regular (on caldrà Lagrange o una parametrització), cantonades i punts on la funció no sigui diferenciable. Després es comparen els valors i es tria. Saltar-se les cantonades és l'error clàssic dels problemes amb restriccions de desigualtat.

En dominis no compactes cal a més estudiar el comportament cap a l'infinit o a prop de fronteres excloses.

Exercici resolt: classificar punts crítics

Classifica els punts crítics de $f(x,y) = x^{3}-3x+y^{2}$.

Pas 1 — candidats. El gradient és $(3x^{2}-3,\ 2y)$. S'anul·la a $(1,0)$ i $(-1,0)$.

Pas 2 — hessiana. És diagonal amb entrades $6x$ i $2$.

• A $(1,0)$: entrades $6$ i $2$, totes dues positives. Mínim local estricte, amb valor $-2$.
• A $(-1,0)$: entrades $-6$ i $2$, de signes oposats. Punt de sella, amb valor $2$.

Pas 3 — i el global? Aquí està el matís que decideix l'exercici. Mirant la funció sobre l'eix horitzontal, $f(x,0) = x^{3}-3x$ tendeix a menys infinit quan $x$ tendeix a menys infinit. Per tant no hi ha mínim global, per molt que $(1,0)$ sigui un mínim local perfectament vàlid.

Donar $(1,0)$ com a «el mínim» sense aquesta comprovació és l'error que costa mitja nota.

Exercici resolt: existència per coercivitat

Justifica que $f(x,y) = x^{4}+y^{4}-4xy$ té mínim global a tot el pla.

Coercivitat. Cal veure que la funció tendeix a infinit quan la norma creix. Amb la desigualtat elemental $2|xy| \leq x^{2}+y^{2}$ i, aplicant-la de nou, $x^{2}+y^{2} \leq \frac{1}{2} + \frac{x^{4}+y^{4}}{2}\cdot 2$, els termes de grau quatre dominen el terme creuat:

$$f(x,y) \geq x^{4}+y^{4} - 2(x^{2}+y^{2}) \longrightarrow +\infty.$$

Conclusió. La funció és contínua a tot el pla i coerciva, de manera que assoleix el mínim global. Ara ja pots buscar-lo amb tranquil·litat entre els punts crítics, sabent que existeix.

(De fet el gradient s'anul·la a l'origen i a $(1,1)$ i $(-1,-1)$; comparant valors, el mínim global val $-2$ i s'assoleix als dos últims.)

L'ordre correcte és aquest: primer garanteixes existència, després busques candidats, i al final compares. Si no garanteixes existència, comparar candidats no demostra res.