Freqüència relativa i simulació: estimar una probabilitat

⏱ 7 min de lecturaESO

Vols practicar? Aquest tema té 102 exercicis interactius de 4 tipus, de deu en deu, amb correcció immediata i explicació pas a pas.

Hi ha dues coses que es confonen sovint: la probabilitat del model, que és un número fix, i la freqüència observada, que canvia cada vegada que repeteixes l'experiment. Aquest tema serveix per distingir-les.

El que has de dominar abans: freqüències i esdeveniments.

La freqüència relativa

Si un esdeveniment apareix $k$ vegades en $n$ repeticions:

f = \frac{k}{n}.

És una estimació experimental de la probabilitat, i depèn de les repeticions que hagis fet.

L'estabilització

En un model amb repeticions independents i la mateixa probabilitat cada vegada, les freqüències relatives tendeixen a estabilitzar-se al voltant de la probabilitat quan el nombre de repeticions creix.

Dues coses que això NO vol dir:

No vol dir que coincideixin exactament amb la probabilitat, per moltes repeticions que facis.

No vol dir que millorin a cada pas. La freqüència pot allunyar-se temporalment en passar de $100$ a $200$ repeticions i tornar-s'hi a acostar després. La tendència és a llarg termini, no monòtona.

Simular

Una simulació substitueix l'experiment per un procediment aleatori que conserva les probabilitats.

Per simular un $30\,\%$ , per exemple, es poden generar enters uniformes del $0$ al $9$ i considerar èxit els resultats $0$ , $1$ i $2$ : tres resultats dels deu possibles.

Repetir la simulació moltes vegades serveix per observar la variabilitat i per comprovar si una estimació és plausible: si en mil simulacions de $200$ llançaments gairebé mai no surten $112$ cares, el resultat observat és sospitós; si surt sovint, no té res d'estrany.

No hi ha compensació immediata

Després d'una ratxa de cinc cares, la creu no és més probable al llançament següent. Si els llançaments són independents, la probabilitat continua sent la mateixa, i la moneda no recorda res.

Aquesta creença es coneix com la fal·làcia del jugador, i és una de les intuïcions equivocades més persistents.

Com es conciliava amb l'estabilització? L'estabilització passa perquè les ratxes es dilueixen entre moltes repeticions, no perquè es compensin. Si després de $10$ llançaments vas $8$ a $2$ , no cal que surtin creus de més per arreglar-ho: amb $10\,000$ llançaments més, aquells $6$ de diferència queden irrellevants en el percentatge.

La diferència és subtil i important: el desequilibri no es corregeix, simplement deixa de pesar.

Cent dotze cares en dos-cents llançaments

En $200$ llançaments d'una moneda surten $112$ cares. Què es pot concloure?

La freqüència relativa.

f = \frac{112}{200} = 0{,}56 = 56\,\%.

Què NO demostra. No demostra que la probabilitat de cara sigui $0{,}56$ , ni que la moneda estigui desequilibrada. És una observació de $200$ repeticions, i una moneda perfectament equilibrada també dona resultats com aquest amb certa freqüència.

Com es decideix si és sospitós. Cal comparar-ho amb la variabilitat esperable. Amb una moneda equilibrada i $200$ llançaments, el nombre de cares es mou habitualment entre uns $86$ i uns $114$ (aproximadament dues desviacions típiques al voltant de $100$ ). El valor $112$ queda dins d'aquest rang: no és un resultat estrany.

Què es podria fer per decidir-ho. Recollir més dades. Si amb $2\,000$ llançaments la freqüència es mantingués al $56\,\%$ , el resultat ja seria molt difícil d'explicar amb una moneda equilibrada, perquè la variabilitat esperable es redueix a mesura que creix el nombre de repeticions.

La conclusió honesta. «La freqüència observada és del $56\,\%$ , compatible amb una moneda equilibrada en $200$ llançaments. Les dades no permeten afirmar que estigui desequilibrada.»

Per què aquesta manera de respondre importa. És exactament el raonament dels contrastos d'hipòtesis de batxillerat: no es pregunta si el resultat és igual a l'esperat, sinó si la diferència observada és més gran del que l'atzar explicaria.

Dissenyar una simulació

Com simularies un esdeveniment de probabilitat $1/4$ amb un dau de quatre cares equilibrat? I un de probabilitat $3/10$ ?

Primer cas, probabilitat $1/4$ . Un dau de quatre cares equilibrat dona quatre resultats equiprobables, cada un amb probabilitat $1/4$ . N'hi ha prou amb triar un resultat i considerar-lo èxit:

Èxit si surt un $1$ ; fracàs si surt $2$ , $3$ o $4$ .

Comprovació. $P(\text{èxit}) = 1/4$ ✓ I la simulació és vàlida perquè conserva exactament la probabilitat de l'esdeveniment original.

Segon cas, probabilitat $3/10$ . Amb el dau de quatre cares no es pot fer directament: $3/10$ no es pot escriure amb denominador $4$ . Cal un generador amb deu resultats equiprobables, per exemple enters del $0$ al $9$ :

Èxit si surt $0$ , $1$ o $2$ ; fracàs en els altres set casos.

Comprovació. $3$ resultats favorables de $10$ possibles, tots equiprobables: $P = 3/10$ ✓

La condició que ha de complir qualsevol simulació. El procediment ha de tenir resultats equiprobables i s'ha de poder repartir en favorables i desfavorables en la proporció exacta que es vol. Si la probabilitat és $1/3$ , un generador de deu resultats no serveix, perquè $10$ no és múltiple de $3$ .

Un cas que no es pot fer exactament. Simular una probabilitat irracional, com $1/\pi$ , amb un nombre finit de resultats equiprobables és impossible: només s'hi pot aproximar. Als problemes de l'ESO això no apareix, però val la pena saber que el mètode té aquest límit.

Dona sempre k i n, no només la freqüència

Quan reportis una freqüència relativa, escriu també quantes repeticions s'han fet: « $0{,}56$ en $200$ llançaments», no només « $0{,}56$ ».

El número sol no es pot interpretar: $0{,}56$ sobre $25$ repeticions no diu pràcticament res, i sobre $10\,000$ és una dada molt sòlida. És la mateixa idea que donar el percentatge amb la magnitud absoluta al bloc d'estadística.

Exercici resolt: una freqüència relativa

En $80$ intents hi ha $22$ èxits. Calcula la freqüència relativa.

Aplica la definició.

f = \frac{22}{80} = 0{,}275 = 27{,}5\,\%.

Comprovació. $0{,}275 \cdot 80 = 22$ ✓

Com s'ha de reportar. « $0{,}275$ sobre $80$ intents», o bé « $22$ èxits en $80$ intents ( $27{,}5\,\%$ )». Les dues versions donen tota la informació.

Què es pot afirmar amb això. Que l'estimació experimental de la probabilitat d'èxit és del $27{,}5\,\%$ . No que la probabilitat real sigui exactament aquesta: amb $80$ intents, la variabilitat encara és considerable.

Una referència sobre la precisió. Com a regla aproximada, la incertesa d'una proporció estimada baixa amb l'arrel del nombre de repeticions: per reduir-la a la meitat cal quadruplicar els intents. Per això passar de $80$ a $160$ intents millora poc, i passar a $8\,000$ millora molt.

Exercici resolt: contradiu l'estabilització?

Una simulació dona un $52\,\%$ de cares amb $100$ llançaments i un $53\,\%$ amb $200$ . Contradiu l'estabilització a llarg termini?

No, no la contradiu. I el raonament és el que es demana.

Què diu exactament l'estabilització. Que les freqüències tendeixen a acostar-se a la probabilitat a mesura que el nombre de repeticions creix indefinidament. És una afirmació sobre la tendència a llarg termini.

Què NO diu. Que la freqüència s'acosti a cada pas. Passar de $52\,\%$ a $53\,\%$ és allunyar-se una mica del $50\,\%$ , i això pot passar perfectament: el camí no és monòton.

Per què és així. Entre els llançaments $101$ i $200$ han sortit $54$ cares (perquè $53\,\%$ de $200$ són $106$ , i $52$ ja n'hi havia). Una tanda de $54$ cares en $100$ llançaments és absolutament normal, i fa pujar lleugerament el percentatge acumulat.

Les dues desviacions, en nombre absolut. Amb $100$ llançaments, $52$ cares són $2$ de més que l'esperat. Amb $200$ , $106$ cares són $6$ de més. La desviació absoluta ha crescut, i tot i així la relativa (el percentatge) s'ha mogut només un punt. Aquesta és exactament la manera com funciona l'estabilització: el desequilibri absolut pot créixer mentre el percentatge es va aquietant.

Quina observació sí que seria sospitosa. Que amb $100\,000$ llançaments el percentatge continués sent del $53\,\%$ . Amb tantes repeticions, una moneda equilibrada dona percentatges molt a prop del $50\,\%$ , i una desviació de tres punts seria pràcticament impossible.

On ho faràs servir

La distinció entre freqüència observada i probabilitat del model és la base de tota l'estadística: les dades donen freqüències, i els models donen probabilitats.

Les simulacions són una eina pràctica molt potent: quan un problema de probabilitat és massa complicat per resoldre'l amb fórmules, simular-lo milers de vegades amb un full de càlcul o un programa dona una resposta aproximada perfectament utilitzable. És el que es fa a la indústria i a la recerca.

I la fal·làcia del jugador val la pena conèixer-la per raons que van més enllà de l'assignatura: és la base psicològica de bona part del joc d'atzar, i de molts raonaments equivocats sobre ratxes en esports, mercats i prediccions.

Ara prova-ho tu. 102 exercicis d'aquest tema, de 4 tipus diferents, per resoldre en línia, de deu en deu: escrius la resposta, te la corregeix a l'instant i, si falles, t'explica com es fa pas a pas. Quan acabis una tanda, en tens deu més, amb dades noves.

Fer els exercicis Simulacre d'examen