Biblioteca de 164 exercicis de 2 tipus diferents, de 10 en 10: els del mateix tipus canvien les dades. Escriu la resposta, comprova-la i, si falla, mira les pistes abans de rendir-te.
Classifica la part quadràtica de la cònica 5x2+6xy+5y2=8 (amb 8>0).
Pista 1.
La matriu simètrica és la que té 5 i 5 a la diagonal i 6/2 fora, no 6.
Pista 2.
El signe del determinant decideix: positiu vol dir el·lipse, negatiu hipèrbola.
Com es fa
Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:
A=(5335)
Pas 2 — el determinant.
detA=5⋅5−(3)2=16
Pas 3 — classificar. Com que és positiu, els dos autovalors tenen el mateix signe. Amb el terme independent positiu, és una el·lipse.
L'error que cal evitar. Si haguessis posat 6 fora de la diagonal en comptes de 3, el determinant hauria sortit −11 i la classificació podria canviar per complet.
Compte amb això.
Posar el coeficient del terme creuat sencer fora de la diagonal, en comptes de la meitat.
Exercici 2
Quina és la coordenada x del centre de la cònica x2+y2−4x+2y+1=0?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Sense terme creuat, els eixos ja estan alineats: només cal completar quadrats.
Pista 2.
El centre en x surt de 2x−4=0.
Com es fa
Completant quadrats en x. El terme quadràtic i el lineal es combinen:
x2−4x=(x−2)2−…
de manera que el centre té
x0=2⋅1−(−4)=2
El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema Ax0=−b, on A és la matriu simètrica i b és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.
I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.
Compte amb això.
Oblidar el factor 2 del denominador, o el signe.
Exercici 3
Classifica la part quadràtica de la cònica x2+y2=4 (amb 4>0).
Pista 1.
La matriu simètrica és la que té 1 i 1 a la diagonal i 0/2 fora, no 0.
Pista 2.
El signe del determinant decideix: positiu vol dir el·lipse, negatiu hipèrbola.
Com es fa
Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:
A=(1001)
Pas 2 — el determinant.
detA=1⋅1−(0)2=1
Pas 3 — classificar. Com que és positiu, els dos autovalors tenen el mateix signe. Amb el terme independent positiu, és una el·lipse.
L'error que cal evitar. Si haguessis posat 0 fora de la diagonal en comptes de 0, el determinant hauria sortit 1 i la classificació podria canviar per complet.
Compte amb això.
Posar el coeficient del terme creuat sencer fora de la diagonal, en comptes de la meitat.
Exercici 4
Quina és la coordenada x del centre de la cònica x2+y2−4x−6y+1=0?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Sense terme creuat, els eixos ja estan alineats: només cal completar quadrats.
Pista 2.
El centre en x surt de 2x−4=0.
Com es fa
Completant quadrats en x. El terme quadràtic i el lineal es combinen:
x2−4x=(x−2)2−…
de manera que el centre té
x0=2⋅1−(−4)=2
El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema Ax0=−b, on A és la matriu simètrica i b és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.
I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.
Compte amb això.
Oblidar el factor 2 del denominador, o el signe.
Exercici 5
Classifica la part quadràtica de la cònica x2−y2=1 (amb 1>0).
Pista 1.
La matriu simètrica és la que té 1 i −1 a la diagonal i 0/2 fora, no 0.
Pista 2.
El signe del determinant decideix: positiu vol dir el·lipse, negatiu hipèrbola.
Com es fa
Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:
A=(100−1)
Pas 2 — el determinant.
detA=1⋅(−1)−(0)2=−1
Pas 3 — classificar. Com que és negatiu, els autovalors tenen signes oposats: és una hipèrbola.
L'error que cal evitar. Si haguessis posat 0 fora de la diagonal en comptes de 0, el determinant hauria sortit −1 i la classificació podria canviar per complet.
Compte amb això.
Posar el coeficient del terme creuat sencer fora de la diagonal, en comptes de la meitat.
Exercici 6
Quina és la coordenada x del centre de la cònica x2+y2−4x+4y+1=0?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Sense terme creuat, els eixos ja estan alineats: només cal completar quadrats.
Pista 2.
El centre en x surt de 2x−4=0.
Com es fa
Completant quadrats en x. El terme quadràtic i el lineal es combinen:
x2−4x=(x−2)2−…
de manera que el centre té
x0=2⋅1−(−4)=2
El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema Ax0=−b, on A és la matriu simètrica i b és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.
I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.
Compte amb això.
Oblidar el factor 2 del denominador, o el signe.
Exercici 7
Classifica la part quadràtica de la cònica 2x2+3y2=6 (amb 6>0).
Pista 1.
La matriu simètrica és la que té 2 i 3 a la diagonal i 0/2 fora, no 0.
Pista 2.
El signe del determinant decideix: positiu vol dir el·lipse, negatiu hipèrbola.
Com es fa
Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:
A=(2003)
Pas 2 — el determinant.
detA=2⋅3−(0)2=6
Pas 3 — classificar. Com que és positiu, els dos autovalors tenen el mateix signe. Amb el terme independent positiu, és una el·lipse.
L'error que cal evitar. Si haguessis posat 0 fora de la diagonal en comptes de 0, el determinant hauria sortit 6 i la classificació podria canviar per complet.
Compte amb això.
Posar el coeficient del terme creuat sencer fora de la diagonal, en comptes de la meitat.
Exercici 8
Quina és la coordenada x del centre de la cònica x2+y2+2x+2y+1=0?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Sense terme creuat, els eixos ja estan alineats: només cal completar quadrats.
Pista 2.
El centre en x surt de 2x+2=0.
Com es fa
Completant quadrats en x. El terme quadràtic i el lineal es combinen:
x2+2x=(x+1)2−…
de manera que el centre té
x0=2⋅1−2=−1
El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema Ax0=−b, on A és la matriu simètrica i b és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.
I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.
Compte amb això.
Oblidar el factor 2 del denominador, o el signe.
Exercici 9
Classifica la part quadràtica de la cònica x2+2xy+y2=1 (amb 1>0).
Pista 1.
La matriu simètrica és la que té 1 i 1 a la diagonal i 2/2 fora, no 2.
Pista 2.
El signe del determinant decideix: positiu vol dir el·lipse, negatiu hipèrbola.
Com es fa
Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:
A=(1111)
Pas 2 — el determinant.
detA=1⋅1−(1)2=0
Pas 3 — classificar. Com que val zero, un autovalor s'anul·la: és una paràbola o un cas degenerat (dues rectes, una recta o el conjunt buit), segons els termes lineals.
L'error que cal evitar. Si haguessis posat 2 fora de la diagonal en comptes de 1, el determinant hauria sortit −3 i la classificació podria canviar per complet.
Compte amb això.
Posar el coeficient del terme creuat sencer fora de la diagonal, en comptes de la meitat.
Exercici 10
Quina és la coordenada x del centre de la cònica x2+y2+2x−6y+1=0?
Escriu només el número. Si no és enter, posa tres o quatre decimals.
Pots escriure fraccions (3/4), decimals amb punt o coma, e, π i arrels (sqrt(2)).
Pista 1.
Sense terme creuat, els eixos ja estan alineats: només cal completar quadrats.
Pista 2.
El centre en x surt de 2x+2=0.
Com es fa
Completant quadrats en x. El terme quadràtic i el lineal es combinen:
x2+2x=(x+1)2−…
de manera que el centre té
x0=2⋅1−2=−1
El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema Ax0=−b, on A és la matriu simètrica i b és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.
I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.
Compte amb això.
Oblidar el factor 2 del denominador, o el signe.
Com escriure les respostes. A les integrals pots posar-hi la constant (+ C) o deixar-la: es dona per bona igual. Fes servir ^ per als exponents (x^2), * o res per multiplicar (3x i 3*x valen igual), / per dividir i sqrt( ) per a les arrels. Les funcions s'escriuensin(x), cos(x), ln(x), e^x. No cal que simplifiquis: qualsevol forma equivalent es dona per bona.
Has fallat algun exercici.Repassa'ls abans de continuar: el que has de repetir és justament el que no et surt.
Galetes
Fem servir galetes tècniques (necessàries perquè el lloc funcioni) i, si ens hi dones permís, galetes d'analítica i de publicitat que ens ajuden a mantenir els apunts gratuïts. Pots acceptar-les, rebutjar-les o triar-les una per una. Detall a la política de galetes.