Exercicis de geometria afí i formes quadràtiques

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$3x^{2} + 2x = 3\left(x + \frac{1}{3}\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-2}{2\cdot3} = - \frac{1}{3} \approx -0.3333$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$3x^{2} + 2x = 3\left(x + \frac{1}{3}\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-2}{2\cdot3} = - \frac{1}{3} \approx -0.3333$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$3x^{2} + 6x = 3\left(x + 1\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-6}{2\cdot3} = -1$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$3x^{2} + 6x = 3\left(x + 1\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-6}{2\cdot3} = -1$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$3x^{2} + 6x = 3\left(x + 1\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-6}{2\cdot3} = -1$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$3x^{2} - 8x = 3\left(x - \frac{4}{3}\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-(-8)}{2\cdot3} = \frac{4}{3} \approx 1.3333$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$3x^{2} - 8x = 3\left(x - \frac{4}{3}\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-(-8)}{2\cdot3} = \frac{4}{3} \approx 1.3333$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$3x^{2} - 8x = 3\left(x - \frac{4}{3}\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-(-8)}{2\cdot3} = \frac{4}{3} \approx 1.3333$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$3x^{2} - 4x = 3\left(x - \frac{2}{3}\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-(-4)}{2\cdot3} = \frac{2}{3} \approx 0.6667$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$3x^{2} - 4x = 3\left(x - \frac{2}{3}\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-(-4)}{2\cdot3} = \frac{2}{3} \approx 0.6667$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.