Simulacre d'examen de geometria afí i formes quadràtiques

Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:

$A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det A = 5 \cdot 5 - \left(3\right)^{2} = 16$

Pas 3 — classificar. Com que és positiu, els dos autovalors tenen el mateix signe. Amb el terme independent positiu, és una el·lipse.

L'error que cal evitar. Si haguessis posat $6$ fora de la diagonal en comptes de $3$, el determinant hauria sortit $-11$ i la classificació podria canviar per complet.

Pas 1 — la matriu. El coeficient del terme creuat es reparteix entre les dues entrades de fora de la diagonal:

$A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$

Pas 2 — el determinant.

$\det A = 5 \cdot 5 - \left(4\right)^{2} = 9$

Pas 3 — classificar. Com que és positiu, els dos autovalors tenen el mateix signe. Amb el terme independent positiu, és una el·lipse.

L'error que cal evitar. Si haguessis posat $8$ fora de la diagonal en comptes de $4$, el determinant hauria sortit $-39$ i la classificació podria canviar per complet.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$x^{2} - 8x = \left(x - 4\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-(-8)}{2\cdot1} = 4$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$x^{2} + 2x = \left(x + 1\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-2}{2\cdot1} = -1$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$2x^{2} - 4x = 2\left(x - 1\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-(-4)}{2\cdot2} = 1$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$2x^{2} - 8x = 2\left(x - 2\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-(-8)}{2\cdot2} = 2$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$3x^{2} + 6x = 3\left(x + 1\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-6}{2\cdot3} = -1$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.

Completant quadrats en $x$. El terme quadràtic i el lineal es combinen:

$3x^{2} + 2x = 3\left(x + \frac{1}{3}\right)^{2} - \ldots$

de manera que el centre té

$x_0 = \frac{-2}{2\cdot3} = - \frac{1}{3} \approx -0.3333$

El mètode general. Amb terme creuat no pots completar quadrats directament: el centre és la solució del sistema $Ax_0 = -b$, on $A$ és la matriu simètrica i $b$ és la meitat del vector de coeficients lineals. Sense terme creuat, aquest sistema és diagonal i es resol coordenada a coordenada, que és el que has fet.

I si la matriu fos singular? Llavors no hi hauria centre: seria una paràbola o un cilindre.