Geometria afí i formes quadràtiques: canvis de referència i classificació de còniques

⏱ 5 min de lecturaUniversitat

Vols practicar? Aquest tema té 164 exercicis interactius de 2 tipus, de deu en deu, amb correcció immediata i explicació pas a pas.

La geometria analítica universitària separa dues coses que a batxillerat van juntes: l'estructura afí (punts, rectes, paral·lelisme, proporcions) i l'estructura mètrica (distàncies i angles), que necessita un producte escalar. Molts resultats sobre còniques són purament afins i no depenen de com mesuris; d'altres, com dir si una el·lipse és una circumferència, sí.

Espai afí i canvis de referència

Un espai afí és un conjunt de punts modelat sobre un espai vectorial: la diferència de dos punts és un vector, i a un punt se li pot sumar un vector. El que no hi ha és un origen privilegiat; l'origen te'l tries tu en fixar una referència.

Si les columnes d'una matriu $P$ són els nous vectors de base escrits en l'antiga, i $a$ és el nou origen, el canvi de coordenades és

x = a + P\,y.

Canviar coordenades no és moure l'objecte

Són dues operacions inverses l'una de l'altra i es confonen contínuament. Canviar de referència deixa l'objecte quiet i canvia la manera de descriure'l. Transformar l'objecte el mou de veritat. Les matrius involucrades són inverses, de manera que confondre-les dona sempre el resultat contrari.

Si les dues bases són ortonormals, la matriu de canvi és ortogonal i la seva inversa és la transposada, cosa que estalvia tots els càlculs d'inversió.

L'equació general

Una cònica o una quàdrica s'escriu com

q(x) = x^{T}Ax + 2b^{T}x + c = 0,

amb $A$ simètrica. Qualsevol matriu es pot substituir per la seva part simètrica sense canviar la forma quadràtica, de manera que suposar-ho no perd generalitat.

El coeficient del terme creuat és el doble de l'entrada

Si l'equació és $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\cdots$ , la matriu simètrica té $A$ i $C$ a la diagonal i $B/2$ fora d'ella, no $B$ .

És l'error número u d'aquest tema i altera tots els autovalors i tota la classificació. Sempre que escriguis la matriu, comprova-ho multiplicant-la i veient que recuperes l'equació original.

El teorema espectral dona $A = QDQ^{T}$ amb $Q$ ortogonal. Substituint-hi el canvi corresponent desapareixen els termes creuats: geomètricament, has girat els eixos fins a alinear-los amb els eixos de la cònica. Els termes lineals poden sobreviure, i llavors cal a més una translació.

Si $A$ és invertible, el centre és la solució de $Ax_0 = -b$ , i el desenvolupament al voltant seu deixa

q(x_0+z) = z^{T}Az + c - b^{T}A^{-1}b.

Si $A$ és singular no hi ha aquesta inversa i el cas és diferent: apareixen paràboles, paraboloides i cilindres, que són justament les figures sense centre.

Una el·lipse girada, identificada de cap a peus

Classifica la cònica $5x^{2}+6xy+5y^{2} = 8$ .

Pas 1 — la matriu. Diagonal $5$ i $5$ , i fora de la diagonal $6/2 = 3$ . Comprovació: el producte dona $5x^{2}+3xy+3xy+5y^{2}$ , correcte.

Pas 2 — autovalors. El polinomi característic és $(5-\lambda)^{2}-9 = 0$ , d'on $\lambda = 8$ i $\lambda = 2$ . Els vectors propis unitaris són $(1,1)/\sqrt2$ i $(1,-1)/\sqrt2$ : els eixos estan girats $45$ graus.

Pas 3 — en els eixos nous. Amb $u = (x+y)/\sqrt2$ i $v = (x-y)/\sqrt2$ , l'equació queda

8u^{2} + 2v^{2} = 8 \qquad\Longleftrightarrow\qquad u^{2} + \frac{v^{2}}{4} = 1.

Conclusió. És una el·lipse amb semieixos $1$ (en la direcció $(1,1)$ ) i $2$ (en la direcció $(1,-1)$ ), centrada a l'origen i girada $45$ graus.

Fixa't que l'autovalor gran correspon al semieix petit: van en sentit invers, perquè l'autovalor multiplica el quadrat de la coordenada.

Val la pena veure per què la diagonalització funciona: el teorema espectral garanteix que tota matriu simètrica real té una base ortonormal de vectors propis, i canviar a aquesta base és exactament girar els eixos de coordenades fins a alinear-los amb els eixos de simetria de la figura. Per això el procediment sempre acaba: no hi ha cap cònica ni cap quàdrica que resisteixi aquest canvi, i la forma que queda al final ja és reconeixible d'un cop d'ull.

Classificació i degeneracions

En dimensió dos, un cop portada a eixos i sense termes lineals, l'equació és d'un dels tres tipus: el·lipse (dos autovalors del mateix signe, terme independent compatible), hipèrbola (signes oposats) o paràbola (un autovalor nul i terme lineal sobrevivent).

El discriminant $B^{2}-4AC$ orienta la classificació de la part quadràtica: negatiu apunta a el·lipse, positiu a hipèrbola i zero a paràbola. Però no decideix per si sol, perquè el terme independent pot degenerar-ho tot.

Tres equacions amb la mateixa part quadràtica

Mira aquestes tres:

x^{2}+y^{2} = 4, \qquad x^{2}+y^{2} = 0, \qquad x^{2}+y^{2} = -1.

La part quadràtica és idèntica i el discriminant també. I tanmateix:

La primera és una circumferència de radi $2$ .
La segona és un sol punt, l'origen.
La tercera no té cap punt real.

La conclusió. No pots dir «és una el·lipse» només perquè la forma quadràtica sigui definida positiva: has de mirar també el nivell. El discriminant classifica la part quadràtica, no el conjunt de solucions.

En dimensió tres passa el mateix i amb més varietat: signes mixtos donen hiperboloides o cons, i una direcció absent de la forma quadràtica dona un cilindre.

Procediment complet per classificar

Escriu la matriu simètrica comprovant el factor $1/2$ al terme creuat.
Si és invertible, troba el centre resolent el sistema i trasllada-hi l'origen.
Diagonalitza ortogonalment: els autovalors donen els eixos i els vectors propis les direccions.
Mira el signe del terme independent transformat i decideix la figura real.
Comprova que la figura té sentit: un punt de la cònica hauria de satisfer l'equació original.

Exercici resolt: completar quadrats

Classifica $x^{2}+y^{2}-4x+2y+1 = 0$ .

Sense diagonalitzar. No hi ha terme creuat, de manera que els eixos ja estan alineats i només cal traslladar. Completem quadrats:

(x^{2}-4x) + (y^{2}+2y) + 1 = (x-2)^{2} - 4 + (y+1)^{2} - 1 + 1 = 0,

és a dir

(x-2)^{2}+(y+1)^{2} = 4.

És una circumferència de centre $(2,-1)$ i radi $2$ .

Comprovació amb el mètode general. El centre hauria de sortir de $Ax_0 = -b$ , és a dir de la identitat aplicada a $x_0$ igual a $(2,-1)$ : coincideix. I el terme independent transformat és $1 - (-2,1)\cdot(2,-1)\cdot$ ... que dona $-4$ , i passat a l'altre costat, el radi al quadrat. Tot quadra.

Quan completar quadrats és suficient: sempre que no hi hagi terme creuat. Si n'hi ha, primer has de girar.

Exercici resolt: identificar una hipèrbola

Classifica $xy = 1$ .

La matriu. No hi ha termes quadràtics purs, de manera que la diagonal és nul·la i fora de la diagonal hi ha $1/2$ . Els autovalors d'aquesta matriu són $\pm 1/2$ : de signes oposats.

Conclusió immediata: és una hipèrbola. I els vectors propis són $(1,1)/\sqrt2$ i $(1,-1)/\sqrt2$ , de manera que els eixos estan girats $45$ graus respecte dels eixos coordenats.

En els eixos nous. Amb el canvi corresponent, l'equació es converteix en

\frac{u^{2}}{2} - \frac{v^{2}}{2} = 1,

la forma canònica d'una hipèrbola amb els dos semieixos iguals a $\sqrt2$ . És una hipèrbola equilàtera, i les seves asímptotes són precisament els dos eixos coordenats originals.

Aquest exemple és útil perquè mostra que una equació sense cap terme quadràtic pur pot ser perfectament una cònica no degenerada: el que importa són els autovalors, no l'aspecte de l'equació.

Ara prova-ho tu. 164 exercicis d'aquest tema, de 2 tipus diferents, per resoldre en línia, de deu en deu: escrius la resposta, te la corregeix a l'instant i, si falles, t'explica com es fa pas a pas. Quan acabis una tanda, en tens deu més, amb dades noves.

Fer els exercicis Simulacre d'examen