Repte del bloc: dues opcions de transport

⏱ 8 min de lecturaESO

Dues rectes, un punt d'intersecció i dos trams: aquest repte és el bloc de funcions convertit en una decisió. El que es valora no és resoldre l'equació sinó interpretar els coeficients i dir quina opció convé a cada tram.

El que has de dominar abans: tot el bloc de funcions, especialment les funcions afins.

La situació

Una empresa cobra $A(d) = 12 + 1{,}5\,d$ euros i una altra $B(d) = 3\,d$ euros, amb $d$ en quilòmetres i $d \geq 0$ .

1. Interpreta els coeficients de les dues funcions.

2. Troba la distància d'empat i compara els preus per a $5$ i $20$ km.

3. Representa les dues rectes en un mateix sistema d'eixos i explica quina convé a cada interval.

L'estratègia

Llegeix els coeficients abans de calcular res. Cada número de les dues fórmules té un significat amb unitats, i l'apartat 1 demana exactament això.

El punt d'empat és la intersecció de les dues rectes, i es troba igualant les dues expressions.

Els dos trams surten d'una desigualtat, no d'una igualtat: un cop tens el punt d'empat, cal dir quina de les dues queda per sota a cada costat.

El domini importa. L'enunciat diu $d \geq 0$ : no hi ha distàncies negatives, i per tant només es treballa amb la meitat dreta del pla.

El pendent no és el preu total

A $A(d) = 12 + 1{,}5d$ , l' $1{,}5$ no és el que costa el servei: és el que costa cada quilòmetre addicional.

El preu total d'un trajecte depèn dels dos coeficients, i la quota de $12$ euros pesa molt en trajectes curts i poc en trajectes llargs.

L'error típic de lectura. Veure que $1{,}5 < 3$ i concloure que A és sempre més barata. És fals per a distàncies curtes, precisament per la quota: a $0$ km, A costa $12$ euros i B en costa $0$ .

La comprovació que ho detecta. Avalua les dues funcions a $d = 0$ abans de treure cap conclusió. És el criteri del tema de proporcionalitat: si a l'entrada zero la sortida no és zero, hi ha una part fixa que cal tenir en compte.

Les rectes de les dues tarifes al mateix sistema d'eixos: la de l'empresa A surt de dotze euros amb pendent suau i la de B surt de zero amb pendent doble, i es tallen al punt vuit quilòmetres i vint-i-quatre euros, amb les dues zones ombrejades — El punt d'empat $(8, 24)$ separa els dos trams: abans convé B i després convé A.

Apartat 1: què vol dir cada coeficient

La funció A: $A(d) = 12 + 1{,}5\,d$ .

El $12$ és l'ordenada a l'origen: el que es paga encara que no es faci cap quilòmetre. És una quota fixa, i les seves unitats són euros.

L' $1{,}5$ és el pendent: el que costa cada quilòmetre addicional. Les seves unitats són euros per quilòmetre.

Com que té terme fix, $A$ és una funció afí i no hi ha proporcionalitat directa entre la distància i el preu.

La funció B: $B(d) = 3\,d$ .

El $3$ és el pendent, en euros per quilòmetre. I com que no hi ha terme fix, l'ordenada a l'origen és $0$ : a zero quilòmetres no es paga res.

$B$ és una funció lineal, és a dir de proporcionalitat directa: doblar la distància dobla el preu.

La comparació dels dos models, en paraules. A és més cara d'entrada ( $12$ euros de quota contra cap) i més barata per quilòmetre ( $1{,}5$ contra $3$ euros). És el patró de sempre: qui cobra quota és competitiu quan es fa servir molt.

Una comprovació de coherència amb el pendent. El pendent de B és el doble del d'A, de manera que la recta de B és el doble d'inclinada. Si en dibuixar-les no es veu aquesta diferència, el dibuix està malament escalat.

Apartat 2: el punt d'empat i dos casos concrets

El punt d'empat. Iguala les dues expressions:

12 + 1{,}5\,d = 3\,d \qquad\Longrightarrow\qquad 12 = 1{,}5\,d \qquad\Longrightarrow\qquad d = 8 \ \text{km}.

El preu a l'empat.

A(8) = 12 + 12 = 24, \qquad B(8) = 24.

Les dues costen $24$ euros als $8$ km ✓ El punt d'intersecció de les dues rectes és $(8, 24)$ .

A $5$ km.

A(5) = 12 + 7{,}5 = 19{,}50, \qquad B(5) = 15.

Guanya B, amb $4{,}50$ euros de diferència.

A $20$ km.

A(20) = 12 + 30 = 42, \qquad B(20) = 60.

Guanya A, amb $18$ euros de diferència.

Comprovació de coherència amb l'empat. El $5$ està per sota de $8$ i hi guanya B; el $20$ està per damunt i hi guanya A. Els dos casos són als costats correctes del punt d'empat ✓

Per què la diferència creix tan de pressa. La diferència entre les dues funcions és

B(d) - A(d) = 3d - 12 - 1{,}5d = 1{,}5\,d - 12,

una recta de pendent $1{,}5$ : per cada quilòmetre de més, A estalvia un euro i mig. Als $20$ km, l'estalvi és $1{,}5\cdot 20 - 12 = 18$ euros ✓ coincideix amb el càlcul directe.

Aquesta funció diferència és útil. El seu zero és el punt d'empat, i el seu signe diu qui guanya: positiva vol dir que B és més cara, és a dir que convé A.

Calcula la funció diferència

Quan compares dos models, resta'ls: $D(x) = B(x) - A(x)$ .

El zero de $D$ és el punt d'empat, el signe de $D$ diu quina opció convé a cada tram, i el pendent de $D$ diu com de ràpid creix l'avantatge. Tres respostes amb un sol càlcul, i serveix igualment amb funcions que no siguin rectes.

Apartat 3: la gràfica i els dos trams

Com es dibuixen les dues rectes.

$B(d) = 3d$ passa per l'origen $(0,0)$ . Amb el pendent $3$ : des de l'origen, un a la dreta i tres amunt. Un segon punt còmode és $(8, 24)$ .

$A(d) = 12 + 1{,}5d$ talla l'eix vertical a $(0, 12)$ . Amb el pendent $1{,}5$ : dos a la dreta i tres amunt. Un segon punt còmode és també $(8, 24)$ .

Les dues es tallen a $(8, 24)$ , que és el punt d'empat. Dibuixar-les amb aquest punt marcat és el que fa llegible la gràfica.

Els dos trams, llegits del dibuix.

Per a $0 \leq d < 8$ , la recta de B va per sota: B és més barata.

Per a $d > 8$ , la recta d'A va per sota: A és més barata.

Per a $d = 8$ exactament, les dues costen el mateix.

Comprovació algebraica del primer tram. B és més barata quan

3d < 12 + 1{,}5d \qquad\Longrightarrow\qquad 1{,}5d < 12 \qquad\Longrightarrow\qquad d < 8 \quad\checkmark

El que ha de tenir la gràfica per estar bé feta. Els eixos etiquetats amb magnitud i unitats («distància (km)» i «preu (€)»), el domini limitat a $d \geq 0$ , el punt de tall d'A amb l'eix vertical visible a $12$ , i el punt d'empat marcat amb les seves coordenades. Sense les etiquetes dels eixos, la gràfica no es pot interpretar, i és el descompte més habitual en aquest tipus d'exercici.

La resposta completa de l'apartat. «Per a trajectes de menys de $8$ km convé l'empresa B; per a trajectes de més de $8$ km convé l'empresa A; als $8$ km exactes és indiferent, perquè totes dues cobren $24$ euros.»

Extensió: el preu per quilòmetre de cada opció

Calcula el cost per quilòmetre de cada empresa en funció de la distància, i explica què hi passa.

L'empresa B.

\frac{B(d)}{d} = \frac{3d}{d} = 3 \ \text{euros per km},

constant, per a qualsevol distància. És el que caracteritza una funció de proporcionalitat directa: el quocient entre les dues magnituds no canvia.

L'empresa A.

\frac{A(d)}{d} = \frac{12 + 1{,}5d}{d} = \frac{12}{d} + 1{,}5.

No és constant: depèn de la distància. Mira alguns valors:

d = 2: \ 7{,}5, \qquad d = 8: \ 3, \qquad d = 20: \ 2{,}1, \qquad d = 100: \ 1{,}62.

Què hi passa. El cost per quilòmetre d'A decreix a mesura que creix la distància, i s'acosta a $1{,}5$ sense arribar-hi mai. Els $12$ euros de quota es reparteixen entre cada vegada més quilòmetres.

El reconeixes? És una funció del tipus $\frac{k}{d} + c$ : una hipèrbola desplaçada, i la seva asímptota horitzontal és $y = 1{,}5$ . El tema de proporcionalitat inversa apareix aquí sol, sense que l'enunciat el demani.

La lectura pràctica. El pendent $1{,}5$ és el preu per quilòmetre que A cobraria si la quota es diluís del tot, és a dir en trajectes molt llargs. Per això A no pot ser mai més barata que $1{,}5$ euros per quilòmetre, i tampoc no pot superar B indefinidament: el seu avantatge té un límit.

El punt d'empat, vist des d'aquí. És on el cost per quilòmetre d'A iguala els $3$ euros de B:

\frac{12}{d} + 1{,}5 = 3 \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{12}{d} = 1{,}5 \qquad\Longrightarrow\qquad d = 8 \quad\checkmark

El mateix resultat per un camí completament diferent, i amb una interpretació més rica: als $8$ km, la quota d'A ja s'ha repartit prou perquè el seu cost unitari baixi al nivell de B.

Què s'ha fet servir de cada tema

Funcions constants, lineals i afins (tema 3): la interpretació del pendent i de l'ordenada a l'origen amb les seves unitats, la distinció entre model lineal i afí, i el punt d'empat com a intersecció de dues rectes.

Llegir una gràfica (tema 2): el domini restringit a $d \geq 0$ , els punts de tall i la lectura de quina corba va per sota a cada tram.

Variables i coordenades (tema 1): la notació $A(d)$ , el significat del punt $(8, 24)$ i l'etiquetatge dels eixos amb unitats.

Funcions de proporcionalitat inversa (tema 5): l'extensió del cost per quilòmetre, que surt com una hipèrbola amb asímptota.

I de fora del bloc: els dos trams es decideixen amb una inequació (bloc d'àlgebra), i la comparació d'ofertes amb quota és exactament el repte del bloc de proporcionalitat vist ara amb gràfica.

La idea per endur-se'n: comparar dos models no és calcular dos números, és trobar on es creuen i dir què passa a cada costat. I la resposta a «quina és millor» gairebé mai no és una de les dues: és «depèn, i aquest és el llindar».