Llegir una gràfica: domini, recorregut, zeros i extrems

⏱ 7 min de lecturaESO

Vols practicar? Aquest tema té 103 exercicis interactius de 4 tipus, de deu en deu, amb correcció immediata i explicació pas a pas.

D'una gràfica es pot extreure gairebé tota la informació important d'una funció sense tenir-ne la fórmula. Aquest tema és el que t'ensenya a fer-ho, i és una de les habilitats que més es demanen a les proves de competències.

El que has de dominar abans: coordenades i el concepte de funció.

Domini i recorregut

El domini és el conjunt d'entrades admeses, i es llegeix projectant la gràfica sobre l'eix horitzontal: quins valors de $x$ tenen un punt a sobre.

El recorregut (o imatge) és el conjunt de sortides que s'obtenen, i es llegeix projectant sobre l'eix vertical: quines alçades arriba a assolir la gràfica.

La paraula clau de tots dos és projectar. Imagina que l'ombra de la gràfica cau sobre cada eix: l'ombra horitzontal és el domini i la vertical el recorregut.

Zeros

Els zeros són les entrades on la funció val zero, és a dir on la gràfica talla o toca l'eix horitzontal.

Es donen com a valors de $x$ , no com a punts. Si la gràfica talla l'eix a $(3,0)$ , el zero és $x=3$ .

Creixement i decreixement

Una funció és creixent en un tram quan entrades més grans donen sortides més grans, i decreixent quan les sortides disminueixen. En un tram constant, les sortides no canvien.

Es llegeix d'esquerra a dreta, i es dona en intervals de $x$ , no de $y$ .

Extrems: absoluts i locals

Un màxim absolut és el valor més alt de tot el domini. Un màxim local només és el més alt comparat amb els punts propers: pot haver-hi altres punts més alts en una altra part de la gràfica.

El mateix val per als mínims. Un màxim absolut és sempre local; un local no té per què ser absolut.

Un salt és una ruptura de la gràfica: en el punt del salt, els valors dels dos costats no coincideixen.

Tot això es llegeix sense derivades. Les derivades, que veuràs a batxillerat, serveixen per trobar aquesta informació a partir de la fórmula; aquí la treus directament del dibuix.

Un màxim té dues dades: on i quant

No confonguis la posició amb el valor.

Si una funció té el seu punt més alt a $x=2$ i allà val $4$ , les dues frases correctes són:

el màxim s'assoleix a $x = 2$ ;
el valor màxim és $4$ .

Dir «el màxim és $2$ » és ambigu i normalment incorrecte. Quan et demanin un màxim, dona les dues dades: el punt $(2,4)$ , o bé «màxim de valor $4$ a $x=2$ ».

I una segona advertència: si el domini es restringeix, els extrems i el recorregut poden canviar. La mateixa funció pot tenir un màxim en un interval i cap en un altre. Per això el domini és la primera cosa que es llegeix, abans dels extrems.

Lectura completa d'una paràbola en un interval

Considerem la funció $f(x) = 4 - (x-2)^{2}$ només per a $0 \leq x \leq 4$ . Troba domini, recorregut, zeros, trams de variació i extrems.

Domini. L'enunciat el dona: $[0, 4]$ . No hi ha res a calcular, però sí a respectar: tota la resta de la lectura s'ha de fer dins d'aquest interval.

Zeros. Resolem $4 - (x-2)^{2} = 0$ :

(x-2)^{2} = 4 \qquad\Longrightarrow\qquad x - 2 = \pm 2 \qquad\Longrightarrow\qquad x = 0 \ \text{ o } \ x = 4.

Els dos zeros són $x=0$ i $x=4$ , i tots dos són dins del domini.

Extrems. L'expressió $(x-2)^{2}$ és sempre positiva o zero, i es resta. Per tant $f$ és més gran com més petit sigui aquest quadrat, i el quadrat val zero a $x=2$ :

f(2) = 4 - 0 = 4.

Màxim absolut de valor $4$ , assolit a $x=2$ . I el mínim és $0$ , assolit a $x=0$ i a $x=4$ .

Recorregut. Les sortides van del mínim al màxim: $[0, 4]$ .

Variació. Creix de $0$ a $2$ i decreix de $2$ a $4$ :

\text{creixent a } [0,2], \qquad \text{decreixent a } [2,4].

Una observació sobre la coincidència dels dos intervals. Aquí el domini i el recorregut són tots dos $[0,4]$ , però és una casualitat d'aquest exemple: el domini es llegeix horitzontalment i el recorregut verticalment, i en general no tenen res a veure.

I l'efecte de restringir. Si el domini fos tot $\mathbb{R}$ , els zeros i el màxim serien els mateixos, però el recorregut seria $(-\infty, 4]$ i no hi hauria mínim. Canviar el domini canvia la resposta.

Domini i recorregut d'una funció afí restringida

Per a $g(x) = 2x+1$ amb $0 \leq x \leq 3$ , troba el domini i el recorregut.

Domini. El dona l'enunciat: $[0, 3]$ .

Recorregut. Com que $g$ és creixent (el pendent $2$ és positiu), el valor més petit s'assoleix a l'extrem esquerre i el més gran a l'extrem dret:

g(0) = 1, \qquad g(3) = 7.

Recorregut: $[1, 7]$ .

Per què n'hi ha prou amb els extrems. Perquè la funció és creixent en tot l'interval: no fa cap volta ni cap salt, de manera que passa per tots els valors entre $1$ i $7$ i per cap altre.

Atenció: això no val sempre. Si la funció tingués un màxim o un mínim dins de l'interval, com la paràbola de l'exemple anterior, mirar només els extrems donaria un recorregut equivocat. El procediment correcte és: mira els valors als extrems i els extrems interiors, i agafa el mínim i el màxim de tots.

Un detall sobre els claudàtors. El domini $[0,3]$ és tancat, de manera que els valors $g(0)=1$ i $g(3)=7$ s'assoleixen i el recorregut també és tancat. Si el domini fos $(0,3)$ , el recorregut seria $(1,7)$ i no hi hauria ni màxim ni mínim.

Llegeix sempre en aquest ordre

Davant d'una gràfica: 1) eixos i unitats, 2) domini, 3) recorregut, 4) zeros, 5) trams de creixement, 6) extrems amb les dues dades.

Fer-ho sempre en aquest ordre evita les dues errades típiques: donar extrems fora del domini i confondre el domini amb el recorregut. I si l'enunciat et demana només una d'aquestes coses, haver mirat les anteriors no et fa perdre temps: te la confirma.

Exercici resolt: valor i zeros d'una gràfica

En la funció $f(x) = 4-(x-2)^{2}$ de l'exemple, quant val $f(2)$ i on s'anul·la?

Valor a $x=2$ .

f(2) = 4 - (2-2)^{2} = 4 - 0 = 4.

On s'anul·la. Cal resoldre $f(x) = 0$ :

4 - (x-2)^{2} = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad (x-2)^{2} = 4.

Treient l'arrel amb els dos signes:

x - 2 = 2 \ \Rightarrow \ x = 4, \qquad x - 2 = -2 \ \Rightarrow \ x = 0.

S'anul·la a $x=0$ i a $x=4$ .

Comprovació. $f(0) = 4-4 = 0$ ✓ i $f(4) = 4-4 = 0$ ✓

L'error que amenaça aquest exercici. Treure l'arrel amb un sol signe i donar només $x=4$ . En qualsevol equació del tipus «alguna cosa al quadrat igual a un número positiu», hi ha dues solucions.

I una distinció de vocabulari. $f(2)=4$ és un valor de la funció; $x=0$ i $x=4$ són zeros. Es demanen coses de naturalesa diferent: la primera és una alçada i les altres són posicions.

Exercici resolt: es pot afirmar que és el màxim del dia?

Una gràfica de temperatura creix de les $8$ a les $12$ i decreix de les $12$ a les $18$ . Podem afirmar que a les $12$ hi ha el màxim de tot el dia?

La resposta és que no, i el raonament és el que es valora.

Què sí que podem afirmar. Dins de l'interval observat, de les $8$ a les $18$ , la temperatura puja fins a les $12$ i baixa després. Per tant a les $12$ hi ha el màxim d'aquest interval.

Què no sabem. El dia té $24$ hores, i de la gràfica no en coneixem res fora de l'interval $[8, 18]$ . La temperatura entre les $18$ i la mitjanit, o entre la mitjanit i les $8$ , podria haver estat més alta: no tenim dades per descartar-ho.

La distinció precisa. A les $12$ hi ha un màxim local i, més exactament, el màxim absolut dins del domini observat. Dir que és el màxim del dia seria extrapolar fora de les dades, i és una afirmació que la gràfica no sosté.

Com s'ha de redactar la resposta. «A les $12$ hi ha el màxim de l'interval observat $[8,18]$ . No es pot afirmar que sigui el màxim del dia, perquè no tenim dades de la resta d'hores.»

Per què aquest tipus de pregunta apareix tant. Perquè confondre «el màxim del que veig» amb «el màxim que hi ha» és un dels errors de lectura de dades més freqüents i més conseqüents, dins i fora de les matemàtiques. La precaució és sempre la mateixa: mira quin és el domini de les dades abans de generalitzar.

On ho faràs servir

Llegir gràfiques és el que faràs a tots els temes següents del bloc, i a estadística quan interpretis sèries temporals i diagrames.

A física, qualsevol gràfica de posició, velocitat o temperatura en funció del temps es llegeix amb aquestes mateixes eines: on creix, on decreix, on té màxims, on talla els eixos.

I a batxillerat, l'estudi complet d'una funció té exactament aquesta llista d'apartats (domini, recorregut, zeros, creixement, extrems), només que es fa a partir de la fórmula amb límits i derivades en comptes de a partir del dibuix. Saber què busques és la meitat d'aquell tema.

Ara prova-ho tu. 103 exercicis d'aquest tema, de 4 tipus diferents, per resoldre en línia, de deu en deu: escrius la resposta, te la corregeix a l'instant i, si falles, t'explica com es fa pas a pas. Quan acabis una tanda, en tens deu més, amb dades noves.

Fer els exercicis Simulacre d'examen