Funcions exponencials: creixement multiplicatiu i la base del model

La diferència entre sumar sempre el mateix i multiplicar sempre pel mateix sembla petita i és la més gran de tot el bloc. En poques unitats de temps no es nota gens; en moltes, la diferència és de diversos ordres de magnitud.

El que has de dominar abans: potències, progressions geomètriques i percentatges.

La funció

$$f(x) = C\,a^{x}, \qquad C > 0,\quad a > 0,\quad a \neq 1.$$

$C$ és el valor inicial, perquè $f(0) = C\cdot a^{0} = C$.

$a$ és el factor per cada unitat d'entrada. En augmentar l'entrada en una unitat, la sortida es multiplica per $a$:

$$f(x+1) = C\,a^{x+1} = a\cdot f(x).$$

Aquesta és la propietat que la defineix, i és la que distingeix el model exponencial de qualsevol altre: el quocient entre valors consecutius és constant, mentre que a les funcions afines el que és constant és la diferència.

Creixement o decreixement

• $a > 1$: creixement. La sortida es multiplica per un número més gran que u a cada pas.
• $0 < a < 1$: decreixement. La sortida es multiplica per un número menor que u, de manera que minva.

A $a = 1$ la funció seria constant, i per això s'exclou.

Construir la base a partir d'un percentatge

Aquí es connecta amb el bloc de proporcionalitat:

$$\text{créixer un } p\,\% \text{ per període}: \qquad a = 1 + \frac{p}{100},$$ $$\text{disminuir un } p\,\% \text{ per període (amb } 0<p<100 \text{)}: \qquad a = 1 - \frac{p}{100}.$$

És exactament el factor multiplicatiu del tema de canvis percentuals, aplicat $x$ vegades.

El domini: discret o continu

Si el temps només es compta en períodes complets (anys, mesos, generacions), el domini és discret: $x = 0, 1, 2, \ldots$ i la gràfica són punts aïllats.

Si es vol fer servir temps fraccionari, cal adoptar explícitament un model continu, i això és una decisió de modelatge que s'ha de declarar, no una conseqüència de la fórmula.

El logaritme, de passada

El logaritme respon a la pregunta quin exponent necessito:

$$a^{x} = b \qquad\Longleftrightarrow\qquad x = \log_a b,$$

amb $a>0$, $a\neq 1$ i $b>0$. En els casos senzills es reconeix la potència directament: si $2^{x} = 8$, llavors $x = 3$.

Exercici resolt: una quantitat que es duplica

Una quantitat comença en $80$ i es duplica cada període. Escriu el model i calcula el tercer període.

La base. Duplicar-se és multiplicar per $2$, de manera que $a = 2$.

El model.

$$f(n) = 80\cdot 2^{\,n}.$$

Comprovació a $n=0$: $80\cdot 1 = 80$ ✓

Tercer període.

$$f(3) = 80\cdot 2^{3} = 80\cdot 8 = 640.$$

Comprovació pas a pas. $80 \to 160 \to 320 \to 640$ ✓

L'error que convé evitar. Escriure $f(n) = 80\cdot 2n$ en comptes de $80\cdot 2^{n}$. El primer és un model afí (de fet, lineal) i donaria $f(3) = 480$. La diferència entre multiplicar per $n$ i elevar a $n$ és tot el tema.

Una nota sobre la velocitat d'aquest creixement. Al desè període, $f(10) = 80\cdot 1\,024 = 81\,920$. Duplicar-se deu vegades multiplica per més de mil: és la raó per la qual els creixements exponencials sorprenen sempre.

Exercici resolt: un valor que disminueix un 20 % anual

Un valor de $1\,000$ disminueix un $20\,\%$ cada any. Quin valor té al cap de dos anys?

La base. Una disminució del $20\,\%$ dona

$$a = 1 - \frac{20}{100} = 0{,}8.$$

El model.

$$V(n) = 1\,000\cdot 0{,}8^{\,n}.$$

Al cap de dos anys.

$$V(2) = 1\,000\cdot 0{,}8^{2} = 1\,000\cdot 0{,}64 = 640.$$

Comprovació any per any. El primer any es perd el $20\,\%$ de $1\,000$, és a dir $200$, i queden $800$. El segon any es perd el $20\,\%$ de $800$, és a dir $160$, i queden $640$ ✓

L'error que aquest exercici vol detectar. Restar dues vegades el $20\,\%$ de la quantitat inicial: $1\,000 - 200 - 200 = 600$, que no és correcte. El segon any el percentatge s'aplica sobre la quantitat ja reduïda, i per això es perden $160$ i no $200$.

El factor global de dos anys. $0{,}8^{2} = 0{,}64$, és a dir que en dos anys s'ha perdut el $36\,\%$ i no el $40\,\%$. És exactament el fenomen dels canvis percentuals successius del bloc de proporcionalitat, vist ara com una funció.

I una observació sobre el decreixement exponencial. Per molts anys que passin, el valor mai no arriba a zero: cada any es queda el $80\,\%$ del que hi havia. Es fa tan petit com vulguis, però no s'anul·la. És el mateix comportament asimptòtic que has vist a la hipèrbola.

On ho faràs servir

L'interès compost del bloc de proporcionalitat és un model exponencial, i ara en tens la gràfica i el vocabulari. També ho són la depreciació d'un vehicle, la desintegració radioactiva, la càrrega d'una bateria i el creixement inicial de qualsevol població o epidèmia.

A batxillerat, la funció exponencial i el logaritme són un tema sencer, i el logaritme és l'eina per respondre preguntes com «quants anys calen per duplicar el capital», que amb la fórmula sola no es pot aïllar.

I hi ha una idea d'aquest tema que val més que les fórmules: quan algú et dona una taxa de creixement percentual constant, el que té al davant és una exponencial, i les exponencials sempre acaben donant números més grans del que la intuïció espera.