Arrels i radicals: quadrades, cúbiques i com simplificar-les

Una arrel és la pregunta inversa d'una potència. Si la potència et diu quant fa $3$ elevat a $2$, l'arrel et diu quin nombre elevat a $2$ fa $9$. Tot aquest tema surt d'aquesta idea.

El que has de dominar abans: potències i les seves propietats.

Què vol dir una arrel

$$\sqrt[n]{a} = b \qquad\text{vol dir}\qquad b^{n} = a.$$

La $n$ és l'índex i la $a$ és el radicand. Quan no s'escriu cap índex, s'entén que és $2$: $\sqrt{a}$ és l'arrel quadrada.

$$\sqrt{49} = 7 \ \text{ perquè } \ 7^{2} = 49, \qquad \sqrt[3]{8} = 2 \ \text{ perquè } \ 2^{3} = 8.$$

Comprovar una arrel és trivial: eleva el resultat i mira si recuperes el radicand. Fes-ho sempre.

Índex parell i índex senar

Aquí hi ha la diferència important del tema.

Índex parell (arrel quadrada, quarta...): el radicand no pot ser negatiu. Qualsevol nombre elevat a un exponent parell surt positiu, de manera que no hi ha cap nombre que elevat al quadrat faci $-9$. $\sqrt{-9}$ no existeix entre els nombres reals.

Índex senar (arrel cúbica, cinquena...): el radicand sí que pot ser negatiu, i l'arrel en conserva el signe.

$$\sqrt[3]{-27} = -3 \qquad\text{perquè}\qquad (-3)^{3} = -27.$$

Les propietats que sí que valen

L'arrel es reparteix pels productes i pels quocients:

$$\sqrt{a\cdot b} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}, \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b} \quad (a,b\geq 0,\ b\neq 0).$$

Simplificar un radical

Extreure factors. Descompon el radicand en factors primers i treu fora tots els grups complets segons l'índex. Amb arrel quadrada, cada parella de factors iguals en surt un de fora.

Sumar radicals. Només es poden ajuntar els que són semblants, és a dir, els que tenen el mateix índex i el mateix radicand després de simplificar-los. $2\sqrt3 + 5\sqrt3 = 7\sqrt3$, però $\sqrt2 + \sqrt3$ no es pot ajuntar de cap manera. Simplifica sempre abans de decidir que dos radicals no són semblants.

Racionalitzar. És treure l'arrel del denominador multiplicant a dalt i a baix pel mateix, que no canvia el valor de la fracció. Avui té poc sentit pràctic (les calculadores no es queixen), però es demana molt i serveix per comparar resultats.

Exercici resolt: simplificar una arrel gran

Simplifica $\sqrt{200}$.

Descompon. $200 = 2^{3}\cdot 5^{2}$.

Treu els grups complets. Una parella de dosos (sobra un $2$) i una parella de cincs:

$$\sqrt{200} = \sqrt{2^{2}\cdot 5^{2}\cdot 2} = 2\cdot 5\cdot\sqrt2 = 10\sqrt2.$$

Comprovació elevant al quadrat: $(10\sqrt2)^{2} = 100\cdot 2 = 200$ ✓

Comprovació de mida: $10\sqrt2\approx 14{,}1$, i efectivament $\sqrt{200}$ ha d'estar entre $14$ i $15$ perquè $14^{2}=196$ i $15^{2}=225$ ✓

Exercici resolt: una suma que primer sembla impossible

Calcula $\sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{32}$.

Simplifica'ls tots tres.

$$\sqrt{18} = \sqrt{3^{2}\cdot 2} = 3\sqrt2, \qquad \sqrt{8} = \sqrt{2^{2}\cdot 2} = 2\sqrt2, \qquad \sqrt{32} = \sqrt{2^{4}\cdot 2} = 4\sqrt2.$$

(En l'últim, $2^{4}$ són dues parelles de dosos, i per això surten $2\cdot 2 = 4$ a fora.)

Tots tenen radicand $2$: són semblants. Opera els coeficients d'esquerra a dreta:

$$3\sqrt2 - 2\sqrt2 + 4\sqrt2 = 5\sqrt2.$$

Comprovació numèrica. $\sqrt{18}\approx 4{,}24$, $\sqrt8\approx 2{,}83$, $\sqrt{32}\approx 5{,}66$:

$$4{,}24 - 2{,}83 + 5{,}66 = 7{,}07, \qquad 5\sqrt2 \approx 5\cdot 1{,}414 = 7{,}07 \quad\checkmark$$

La lliçó. Davant d'una suma de radicals, el primer moviment sempre és simplificar-los. Si no ho fas, conclouràs que no es poden sumar quan en realitat sí.

L'arrel com a potència d'exponent fraccionari

Hi ha una manera d'escriure les arrels que fa que totes les seves propietats deixin de ser noves: una arrel és una potència amb l'exponent en forma de fracció.

$$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}, \qquad\text{i en particular}\qquad \sqrt{a} = a^{1/2}.$$

Amb això, les regles dels radicals ja no s'han d'aprendre: són les propietats de les potències que ja coneixies. Que l'arrel es reparteixi pels productes és la propietat del producte elevat. Que l'arrel d'una arrel multipliqui els índexs és la propietat de la potència d'una potència. I que l'arrel no es reparteixi per les sumes és, exactament, que $(a+b)^{n}$ no és $a^{n}+b^{n}$.

Això explica també per què l'arrel quadrada d'un negatiu no existeix mentre que la cúbica sí. Amb exponent $1/2$ estàs preguntant per un nombre que al quadrat doni el radicand, i cap quadrat no és negatiu. Amb exponent $1/3$ preguntes per un nombre que al cub doni el radicand, i els cubs sí que poden ser negatius.

No cal que facis servir aquesta notació als exercicis si no te la demanen, però tenir-la al cap et deixa deduir qualsevol regla que no recordis en comptes d'endevinar-la.

Quan el radicand té lletres

A tercer i quart d'ESO començaràs a veure arrels amb lletres a dins, i allà apareix una subtilesa que convé conèixer abans d'hora.

$$\sqrt{x^{2}} = |x|, \qquad\text{no simplement } x.$$

El motiu és que l'arrel quadrada sempre dona un resultat positiu o zero. Si $x = -5$, llavors $x^{2} = 25$ i $\sqrt{25} = 5$, que és $|x|$ i no $x$. Quan al problema et diuen que la lletra representa una longitud o una quantitat positiva, el valor absolut es pot treure sense més; quan no t'ho diuen, s'ha de mantenir.

Amb exponent senar no hi ha aquest problema, perquè l'arrel cúbica conserva el signe: $\sqrt[3]{x^{3}} = x$ sempre.

On ho faràs servir

Les arrels apareixen a tot arreu a partir d'ara. En el teorema de Pitàgores, cada vegada que calcules una hipotenusa o un catet. En la fórmula de les equacions de segon grau, dins del discriminant. En el càlcul de distàncies entre punts del pla. I en física, en les fórmules de caiguda lliure, de períodes del pèndol o de velocitats.

En tots aquests casos et sortiran radicals que convindrà simplificar, perquè un resultat escrit com $10\sqrt2$ és molt més informatiu que un $14{,}142135\ldots$ arrodonit. La forma exacta et permet seguir calculant sense acumular errors, i és la que es demana als exàmens quan no es diu res del contrari.