Introducció a la geometria diferencial: curvatura, Frenet i teorema egregi

La geometria diferencial mesura com de corbat és un objecte, i separa dues coses molt diferents: el que depèn de com està col·locat dins de l'espai i el que un habitant de la superfície podria mesurar sense sortir-ne. El resultat que fa famós aquest tema, el teorema egregi de Gauss, diu que una d'aquestes magnituds pertany sorprenentment al segon grup.

Curvatura i torsió d'una corba

Per a una corba parametritzada per arc, el vector tangent és unitari, i per tant la seva derivada hi és perpendicular. La curvatura és la norma d'aquesta derivada: mesura com de ràpid gira la direcció. Si és positiva, el vector normal principal és la derivada normalitzada i el binormal és el producte vectorial dels dos. Les fórmules de Frenet descriuen com gira tot el triedre:

$$T' = \kappa N, \qquad N' = -\kappa T + \tau B, \qquad B' = -\tau N,$$

on $\tau$ és la torsió, que mesura com de ràpid la corba s'escapa del pla que la conté instantàniament.

Per a un paràmetre qualsevol, sense reparametritzar per arc:

$$\kappa = \frac{\lVert r'\times r''\rVert}{\lVert r'\rVert^{3}}, \qquad \tau = \frac{\det(r',r'',r''')}{\lVert r'\times r''\rVert^{2}},$$

i la segona només té sentit quan el denominador no s'anul·la.

Operador de forma i curvatures principals

En una superfície orientada, l'operador de forma mesura com canvia la normal en moure't per la superfície. Adoptem la convenció $S = -dn$, i llavors $S$ actua sobre el pla tangent i és autoadjunt respecte del producte escalar induït. Els seus autovalors són les curvatures principals $k_1$ i $k_2$, i els seus vectors propis les direccions principals, que són ortogonals.

Amb una carta, a més dels coeficients de la primera forma fonamental, es defineixen els de la segona com els productes escalars de les segones derivades amb la normal. I llavors:

Gaussiana i mitjana

$$K = k_1k_2 = \frac{eg-f^{2}}{EG-F^{2}}, \qquad H = \frac{k_1+k_2}{2} = \frac{eG - 2fF + gE}{2(EG-F^{2})}.$$

La curvatura gaussiana és el determinant de l'operador i la mitjana és la meitat de la traça.

Una diferència essencial: invertir la normal canvia el signe de les curvatures principals i de $H$, però no de $K$, perquè el producte de dos signes canviats no canvia. Això ja suggereix que la gaussiana és més intrínseca que la mitjana, i el teorema egregi ho confirmarà.

Amb la convenció adoptada, una esfera de radi $a$ amb normal exterior té les dues curvatures principals iguals a $-1/a$, de manera que $K = 1/a^{2}$ i $H = -1/a$. Un cilindre té una curvatura principal nul·la (la direcció de la generatriu és recta) i per tant $K = 0$.

La curvatura normal en una direcció tangent unitària és el producte escalar de la seva imatge per l'operador amb ella mateixa, i la fórmula d'Euler la dona en funció de l'angle amb la primera direcció principal:

$$k_n = k_1\cos^{2}\theta + k_2\sin^{2}\theta.$$

Es dedueix descomponent la direcció en la base ortonormal de direccions principals. Una conseqüència immediata és que les curvatures principals són el màxim i el mínim de la curvatura normal.

Geodèsiques i geometria intrínseca

Una geodèsica parametritzada per arc té l'acceleració purament normal a la superfície: vista des de dins, no gira gens. Al pla són rectes; a l'esfera són arcs de cercles màxims.

Exercici resolt: curvatures d'un paraboloide a l'origen

Per a la superfície $z = (x^{2}+y^{2})/2$, calcula les curvatures a l'origen amb normal cap amunt.

Parametrització. $r(u,v) = (u,\ v,\ (u^{2}+v^{2})/2)$, amb derivades $(1,0,u)$ i $(0,1,v)$.

Primera forma a l'origen. A $u=v=0$ les derivades són $(1,0,0)$ i $(0,1,0)$, de manera que $E = G = 1$ i $F = 0$: la matriu de la primera forma és la identitat, i per tant aquí l'operador sí que coincideix amb la segona forma.

Normal. El producte vectorial a l'origen dona $(0,0,1)$: cap amunt, com demana l'enunciat.

Segona forma. Les segones derivades són $r_{uu} = (0,0,1)$, $r_{uv} = (0,0,0)$ i $r_{vv} = (0,0,1)$. Fent el producte escalar amb la normal: $e = 1$, $f = 0$, $g = 1$.

Curvatures. Amb la convenció $S = -dn$, les curvatures principals valen $k_1 = k_2 = -1$, i per tant

$$K = k_1k_2 = 1, \qquad H = \frac{k_1+k_2}{2} = -1.$$

El signe. Amb la normal cap amunt i la superfície que s'obre cap amunt, el signe negatiu de les curvatures principals és el mateix conveni amb què l'esfera de radi $a$ amb normal exterior té curvatures $-1/a$. Si invertissis la normal, $H$ canviaria de signe però $K$ no.

Lectura. Que $K$ sigui positiva vol dir que la superfície es corba cap al mateix costat en totes les direccions, com una cúpula. Amb $K$ negativa tindries una sella.

Exercici resolt: curvatura gaussiana d'un cilindre

Calcula la curvatura gaussiana d'un cilindre de radi $a$.

Direccions principals. En cada punt hi ha dues direccions naturals: la generatriu (paral·lela a l'eix), al llarg de la qual la superfície és una recta, i la circumferència perpendicular, de radi $a$.

Curvatures principals. En la direcció de la generatriu, la curvatura normal és zero. En la direcció de la circumferència, val $1/a$ en mòdul.

Gaussiana i mitjana.

$$K = 0\cdot\left(\pm\frac1a\right) = 0, \qquad |H| = \frac{1}{2a}.$$

La conclusió notable. La gaussiana és zero, igual que la del pla, tot i que el cilindre òbviament està corbat dins de l'espai. Aquesta curvatura extrínseca la recull $H$, que no és nul·la.

Pel teorema egregi, com que $K$ coincideix amb la del pla, el cilindre és localment isomètric al pla, cosa que confirma l'experiència de cargolar un full sense arrugar-lo. La curvatura que veiem amb els ulls és extrínseca; la que un habitant de la superfície podria mesurar és zero.